數學歸納法的研究成果

『壹』 數學歸納法及其在中學數學中的應用 畢業論文

1.研究的背景、目的及意義
主要寫三層意思，
第一，從給學生開闊視野的角度，在中學數學，數學歸納法主要用於證明題，給學生提供一個新的思路解題；
第二，從未來應用的角度，（不太確定文科教材里有沒有數學歸納法），對於理科生，將來會涉及到計算機編程，數學歸納法是遞歸循環的簡單形式，有利於學生今後理工科知識的理解和學習
第三，從應試角度，數學歸納法是中學數學的必修課，也是考試必考的知識點，也是比較好拿分的知識點
2.主要研究內容和預期目標
結合背景目的里的三層意思，主要研究內容圍繞學生的認知水平，以及學生舉一反三的能力來寫：
第一，統計數學歸納法在學生中的理解程度，或者說，數學歸納法對大部分學生來說的難易程度，學生在那些方面理解不清楚，這些理解不清楚的情況是屬於普遍現象還是個別現象；（比如文科生和理科生理解上有何不同）
預期目標：知道數學歸納法難在哪裡，容易在哪裡，要有統計數據
第二，學生對數學歸納法的認識，是否有學生認識到數學歸納法在實際生活中的意義，還是應試的情況居多，一些對數學感興趣的同學有沒有覺得數學歸納法給他們帶來的方便
第三，學會了數學歸納法的同學是不是能更容易的理解計算機的遞歸循環演算法，例如漢諾塔
3.擬採用方法，步驟
結合2中所說，主要通過統計方法，結合對學生的調查

差不多就這樣吧，我不是學教育的，不知道合不合您的要求

『貳』 急需一篇關於數學歸納法的形式及其應用的開題報告要有設計論文工作的理論意義和應用價值目前研究的概況和

數學歸納法可以說是貫穿了整個數學的始終，就像我們大家所熟知的奇數與偶數的定義，合數與質數，等腰三角形與等邊三角形定義，等差數列與等比數列的定義等等都是由歸納與類比得出來的，在看近幾年的高考題時，我看到了幾乎每個省每一年的高考題都會涉及用數學歸納法證明或是求解數列的問題。而我們讀師范類院校的同學們畢業以後很有可能成為教師，作為教師的職責就是為學生們服務，我想初中的教師就應該研究中考題，高中的教師應該研究高考題，要是以後我們成了一名高中教師，我們就必須去把握高考動向，透徹把握高考考點，研究數學歸納法一方面可以為高考服務。

『叄』 什麼叫數學歸納法，最好再有舉例說明

在科學研究中運用歸納方法提出和建立假說，在實驗基礎上抽象和概括事物之間關系的一種科研方法。它是一種由個別到一般、從特殊到普遍、從經驗事實到事物內在規律性的認識手段和模式。按照它自身的特點，大體可分為枚舉歸納、消去歸納、漸近歸納、綜合歸納4種類型。

科學歸納法的特點是：歸納邏輯的結論內容超出了前提所包含的內容，因而它是人們擴大知識、增加知識內容的一種邏輯手段。因此，其結論與前提之間的關系是或然關系 。歸納方法可用於提出假說和形成科學理論，但其歸納過程和思想上的直接猜測與假設不同。基於以上原因，運用科學歸納法應注意時時用經驗、事實和實驗對歸納的合理性和正確性給予驗證，還必須注意用更概括的歸納校正所歸納的結果，在歸納過程中還應綜合使用各種邏輯方法並使之有機結合起來。
例如，得出金屬受熱體積必然增大就可用這種科學
歸納法。

因為：銅受熱體積增大，鐵受熱體積增大，如果金屬受熱，那麼分子距離加大，如果金屬分子距離加大，那麼體積增大，所以，金屬受熱體積增大。

科學歸納法不僅適用於有限類，而且適用於無限類；不僅可以作為科學發現的方法，而且可以作為證明方法。它在科學認識過程中具有廣泛的、重要的作用。

是指數學歸納法嗎?它是一種數學證明方法，典型地用於確定一個表達式在所有自然數范圍內是成立的或者用於確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。有一種用於數理邏輯和計算機科學廣義的形式的觀點指出能被求出值的表達式是等價表達式；這就是著名的結構歸納法。最簡單和常見的數學歸納法證明方法是證明當n屬於所有自然數時一個表達式成，這種方法是由下面兩步組成:

遞推的基礎: 證明當n = 1時表達式成立。

遞推的依據: 證明如果當n = m時成立，那麼當n = m + 1時同樣成立。(遞推的依據中的「如果」被定義為歸納假設。 不要把整個第二步稱為歸納假設。)

這個方法的原理在於第一步證明起始值在表達式中是成立的，然後證明一個值到下一個值的證明過程是有效的。如果這兩步都被證明了，那麼任何一個值的證明都可以被包含在重復不斷進行的過程中。或許想成多米諾效應更容易理解一些；如果你有一排很長的直立著的多米諾骨牌那麼如果你可以確定：

第一張骨牌將要倒下。

只要某一個骨牌倒了,與他相臨的下一個骨牌也要倒。

那麼你就可以推斷所有的的骨牌都將要倒。

『肆』 什麼是數學歸納法

數學歸納法
數學歸納法是一種數學證明方法，典型地用於確定一個表達式在所有自然數范圍內是成立的或者用於確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。有一種用於數理邏輯和計算機科學廣義的形式的觀點指出能被求出值的表達式是等價表達式；這就是著名的結構歸納法。
已知最早的使用數學歸納法的證明出現於
Francesco
Maurolico
的
Arithmeticorum
libri
o
(1575年)。Maurolico
證明了前
n
個奇數的總和是
n^2。
最簡單和常見的數學歸納法證明方法是證明當n屬於所有自然數時一個表達式成，這種方法是由下面兩步組成:
遞推的基礎:
證明當n
=
1時表達式成立。
遞推的依據:
證明如果當n
=
m時成立，那麼當n
=
m
+
1時同樣成立。(遞推的依據中的「如果」被定義為歸納假設。
不要把整個第二步稱為歸納假設。)
這個方法的原理在於第一步證明起始值在表達式中是成立的，然後證明一個值到下一個值的證明過程是有效的。如果這兩步都被證明了，那麼任何一個值的證明都可以被包含在重復不斷進行的過程中。或許想成多米諾效應更容易理解一些；如果你有一排很長的直立著的多米諾骨牌那麼如果你可以確定：
第一張骨牌將要倒下。
只要某一個骨牌倒了,與他相臨的下一個骨牌也要倒。
那麼你就可以推斷所有的的骨牌都將要倒。
數學歸納法的原理作為自然數公理，通常是被規定了的(參見皮亞諾公理第五條)。但是它可以用一些邏輯方法證明；比如，如果下面的公理：
自然數集是有序的
被使用。
注意到有些其他的公理確實的是數學歸納法原理中的二者擇一的公式化。更確切地說，兩個都是等價的。
用數學歸納法進行證明的步驟：
（1）（歸納奠基）證明當
取第一個值時命題成立；證明了第一步，就獲得了遞推的基礎，但僅靠這一步還不能說明結論的普遍性.在第一步中，考察結論成立的最小正整數就足夠了，沒有必要再考察幾個正整數，即使命題對這幾個正整數都成立，也不能保證命題對其他正整數也成立；
（2）（歸納遞推）假設
時命題成立，證明當
時命題也成立；證明了第二步，就獲得了遞推的依據，但沒有第一步就失去了遞推的基礎.只有把第一步和第二步結合在一起，才能獲得普遍性的結論；
（3）下結論：命題對從
開始的所有正整數
都成立。
註：
（1）用數學歸納法進行證明時，「歸納奠基」和「歸納遞推」兩個步驟缺一不可；
（2）在第二步中，在遞推之前，
時結論是否成立是不確定的，因此用假設二字，這一步的實質是證明命題對
的正確性可以傳遞到時的情況.有了這一步，聯系第一步的結論（命題對
成立），就可以知道命題對
也成立，進而再由第二步可知
即也成立，…，這樣遞推下去就可以知道對於所有不小於
的正整數都成立.在這一步中，
時命題成立，可以作為條件加以運用，而時的情況則有待利用歸納假設、已知的定義、公式、定理加以證明，不能直接將
代入命題.

『伍』 數學歸納法論文怎麼寫

這一類論文很多，你可以網路一下：第八次課題會研究成果。希望對你有參考。

『陸』 數學歸納法的基本步驟

1、(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立；

2、(歸納遞推)假設n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立。

這種方法的原理在於：首先證明在某個起點值時命題成立，然後證明從一個值到下一個值的過程有效。當這兩點都已經證明，那麼任意值都可以通過反復使用這個方法推導出來。

(6)數學歸納法的研究成果擴展閱讀

沒有運用歸納假設的證明不是數學歸納法．在n＝k到n＝k＋1的證明過程中尋找由n＝k到n＝k＋1的變化規律是難點，突破的關鍵是分析清楚p(k)與p(k＋1)的差異與聯系，

利用拆、添、並、放、縮等手段，從p(k＋1)中分離出p(k)．證明不等式的方法多種多樣，故在用數學歸納法證明不等式的過程中，比較法、放縮法、分析法等要靈活運用。

『柒』 數學歸納法的詳細分類

數學歸納法是嚴謹的歸納,是一種證明方法

『捌』 自然數系與數學歸納法的研究意義

一，在數物體個數的時候，用來表示物體的個數的1，2，3，4，.....叫自然數，一個物體也沒有的用0表示，沒有最大的自然數，自然數都是整數。
二，自然的數有兩方面的意義有兩方面，一是表示滿意事物的多少，稱基數，二是表示事物的次序，稱序數。如有3個學生，3是基數，第3個學生是序數。
三0表示一個也沒有，表示正負數的分界，表示起點，計數時0還起佔位作用。

『玖』 什麼是歸納法

歸納法一般指歸納推理，是一種由個別到一般的推理。由一定程度的關於個別事物的觀點過渡到范圍較大的觀點，由特殊具體的事例推導出一般原理、原則的解釋方法。

1、歸納推理的思維進程是從個別到一般，而演繹推理的思維進程不是從個別到一般，是一個必然地得出的思維進程。

2、歸納推理除了完全歸納推理前提與結論間的聯系是必然的外，前提和結論間的聯系都是或然的，也就是說，前提真實，推理形式也正確，但不能必然推出真實的結論。

(9)數學歸納法的研究成果擴展閱讀：

1、歸納可分為完全歸納法和不完全歸納法。完全歸納法是前提包含該類對象的全體，從而對該類對象作出一般性結論的方法。

2、歸納和演繹反映了人們認識事物兩條方向相反的思維途徑，前者是從個別到一般的思維運動，後者是從一般到個別的思維運動。

3、歸納推理是從認識研究個別事物到總結、概括一般性規律的推斷過程。在進行歸納和概括的時候，解釋者不單純運用歸納推理，同時也運用演繹法。

4、科學歸納推理由於其主要特點是考察對象與屬性之間的因果聯系，因而有助於引導人們去探求事物的本質，發現事物的規律，從而比較可靠地把感性認識提升到理性認識。

『拾』 數學歸納法產生的歷史背景

已知最早的使用數學歸納法的證明出現於 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri o (1575年)。Maurolico 利用遞推關系巧妙的證明出證明了前 n 個奇數的總和是 n^2，由此揭開了數學歸納法之謎。

無論是毛羅利科還是帕斯卡．也無論是伯努利還是其後的效學家們，雖然都在不斷地使用效學歸納法．但在很長的時期內並授有給他們的方法以任何名稱．只是由於沃利斯以及雅各布·伯努利的工作．才引進了 歸納法 這一名稱．並在兩種截然不同的意義上應用於效學：(1)以特惻獲得一般結論的沃利斯方式I(2)指定從到 +l的論證．並且影響了其後的效學家們．使這種混用狀態大約持續了140年．倒如，l9世紀上半葉，英國的效學家皮科克(G．Peacc~k，1791—1858)在他的《代效學)(Treatise∞ Algebra．劍橋．1830)的排列與組合部分．談到。梅成的規律用歸納法延伸到任意效 ．是從。預攫f 意義上以沃利斯方式使用 歸納法 的．後來，他又將從「到R+1的論證稱之為。證明歸納法 (demonstrativeinction)．在名稱上邁出重要一步的是英國效學家德摩根(A．de Morgan，1806—1871)．1838年在倫敦出版的『小網路全書》(Penny Cydopedia)中．越摩根在他的條目「歸納法(效學) 里建議使用「逐收歸納法 (Succesiveinction)．但在該條目的最後他偶然地使用了術語 效學歸納法 ，這是我們所能看到這一術語的最早一孜使用．
皮科克和德摩根的名稱後來為英國效學家托德亨特(I．Todhunter．1B2O一1884)的『代效)(1866年第4敝)所採用並因而得到廣泛傳播．他在該書中介紹這種證明方法時．使用了兩個名稱 「效學歸納法」和。證明歸納法 ，但該章的題目卻用的是前者．這兩十名稱後來又為英國邏輯學家傑文斯(w．S．Jevons，1835—1882)的『邏輯初等教程)(ElementaryLessons in Lo ，1882)以及菲科林(J．Ficklin)的『完全代效)(CompteteAlgebra．1874)所使用，後者宣稱是受惠於托德亨特．隨著時間的推移，後來的通用教科書的作者們，倒如英國教育家、效學家克里斯托(chrysta1．1851-1911)的『代效)第2卷以及霍爾(H．S．Hal1)和納特(s．R．KmgM)台著的『代效》(1898)、奧爾迪斯(w．S．Aktis)的『代效教科書~(Textbook 0f Algebra．1887)等都只用。效學歸納法 而不再使用「證明歸納法」．