一笔画成果

A. 华罗庚的成就

华罗庚1924年金坛中学初中毕业，后刻苦自学。1930年后在清华大学任教。1936年赴英国剑桥大学访问、学习。1938年回国后任西南联合大学教授。1946年赴美国，任普林斯顿数学研究所研究员、普林斯顿大学和伊利诺斯大学教授，1950年回国。历任清华大学教授，中国科学院数学研究所、应用数学研究所所长、名誉所长，中国数学学会理事长、名誉理事长，全国数学竞赛委员会主任，美国国家科学院国外院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士，中国科学院物理学数学化学部副主任、副院长、主席团成员，中国科学技术大学数学系主任、副校长，中国科协副主席，国务院学位委员会委员等职。曾任一至六届全国人大常务委员，六届全国政协副主席。曾被授予法国南锡大学、香港中文大学和美国伊利诺斯大学荣誉博士学位。主要从事解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等领域的研究与教授工作并取得突出成就。40年代，解决了高斯完整三角和的估计这一历史难题，得到了最佳误差阶估计（此结果在数论中有着广泛的应用）；对G.H.哈代与J.E.李特尔伍德关于华林问题及E.赖特关于塔里问题的结果作了重大的改进，至今仍是最佳纪录。

B. 韩滉的主要成就

充实仓廪 自肃宗以来，各地征收赋税没有法度，仓库出入物资没有章法，国家财政空虚。韩滉为人清廉勤勉，精通文簿登记事务，他与刘晏分掌天下财赋时，制定赋税收支的法规，因他驾驭部下严厉，官吏都不敢欺骗。当时正值连年丰收，边境无患，从此仓库积蓄才开始充实。但韩滉过于严苛，审理反复，用法严峻，也招致了百姓的嗟叹怨恨。 安定徐州 韩滉任镇海节度使等职时，信安县人洪光、东阳县捍狼山的僧人惟晓等，联合数郡之人反叛，并迷惑百姓，韩滉率军将其讨平。
韩滉曾派兵马使董晏率三千人镇守徐州，董晏部将沈清等人稍稍违反了军禁。韩滉派了一个使者，在辕门拿着文书，处罚董晏笞刑二十，并按军令处理了沈清等六十八人。 运发粮帛 泾原兵变时，淮、汴地区惊乱，韩滉训练士卒，有完靖东南之功。他又调发粮帛来帮助朝廷，深受朝廷依赖。当时关中战乱不息，每斗米价值五百钱，等到韩滉将米运到后，米价减少了五分之四。 韩滉绘画远师南朝陆探微。善画人物，尤喜画农村风俗和牛、马、羊、驴等。其画牛之精妙乃为中国绘画史千载传誉之佳话：古人说韩滉画牛“落笔绝人”；对于其牛畜画，陆游谓之有生难见之“尤物”，赵孟頫称其为“稀世名笔”、金农叹为“神物”；又有清代画家钱维成将韩滉与韩干并称为“牛马专家”。《五牛图》是韩滉在牛畜画方面巨大成就的最有力的证明。韩滉作为“画牛专家”史有定论，且除《五牛图》外韩滉画迹不传于世，《五牛图》及其后人题跋自然就成为韩滉研究的极为重要的依据。
考之画史，韩滉不仅擅画牛羊，还擅画人物和田家风俗。韩滉不仅是牛畜画的专家，在人物画方面也造诣精深、风格特出而自成一家。但韩滉“尤好图田家风俗”，描绘农家事物、风俗人物和表现农家生产、生活场面的田园风俗画在韩滉绘画中占有重要的位置，是韩滉绘画极为重要的内容。。南宋陆游赞其画：“每见村童牧牛于风林烟草之间，便觉身在图画，起辞官归里之望。”
《宣和画谱》虽称韩滉画牛“落笔绝人”，却将韩滉列入“人物门”。从《画谱》将韩滉列入“人物门”而不是“畜兽门”来看，牛畜绘画并不是韩滉绘画最为重要的和最具特色的内容。这从画史言及鞍马动物画时有“韩马戴牛”之说可以看出韩滉画牛并非最佳。《画谱》所载北宋御府所藏韩滉画迹三十六幅中半数以上（十九幅）是田园风俗，三分之一以上（十三幅）是人物，而牛畜画只有四幅。从各种题材作品的数量上看，人物和田家风俗都是韩滉绘画的重要题材。戴嵩画牛学于韩滉，《画谱》将戴嵩列入“畜兽门”却将韩滉列入“人物门”，这其中原因恐怕不仅是因为戴嵩画牛“过滉远甚”，也不仅是因为当时所见韩滉牛畜画数量不多，而人物画又数量可观且其田家风俗题材中又多涉及田家人物。
韩滉人物画不仅数量众多而且造诣极高、成就突出，有较高的地位。在谈到唐代人物画家的成就时，中晚唐画家程修己甚至认为韩滉人物画比张萱、周昉人物画还要“完美”：周（昉）侈伤其峻（俊），张（萱）鲜忝其澹，尽之其为韩（滉）乎！
程修己认为，周昉人物画过于夸张其丰硕之态而“伤”其俊秀之相，张萱人物画艳丽有余但缺乏生机，而韩滉人物画则能兼张周之长又弃其不足，甚至达到了“尽善尽美”的境地。
士夫以谓（公麟画）鞍马愈于韩干，佛像追吴道玄，山水似李思训，人物似韩滉，非过论也！在邓椿看来，韩滉的人物画方面的成就能和韩干的鞍马、吴道子的佛像、李思训的山水互比高下。
韩滉人物画的成就固然突出，但描绘农家事物、风俗人物和表现农家生产、生活场面的田园风俗画在韩滉绘画中占有重要的位置，是韩滉绘画极为重要的内容。《宣和画谱》所载韩滉作品三十六幅中半数以上（19幅）为田家风俗题材，有人甚至认为《宣和画谱》所载韩滉画迹三十六幅中仅有两幅与田家风俗无关。另外韩滉田园风俗绘画见于著录的还有《村童嬉戏图》、《鼓腹图》 （《画鉴》）、《归去来图》（《云烟过眼录》）等。《石渠宝笈》对韩滉《田家风俗图》和《丰稔图》有详细的记载和描述。这些作品内容极为丰富————牛羊、乡野村田、田家农事、风俗集社、村童农夫——或是农家风土事物或是农家风俗人物或是农家日常生产生活的场景。从画史著录来看，韩滉人物画除为王公贵族歌功颂德之作外多以村田乡野为背景描绘田家人物及其生产生活的场面；其以牛羊为题材的畜兽绘画也是以田园风光为背景。
尝爱丹青，调高格逸，在僧繇子、虔之上，能图田家风俗及人物，特尽精妙，品居上上。朱景玄将韩滉绘画与小李将军李昭道和南宗绘画鼻祖王维同列在“妙品上”，认为其纸本绘画可与居神品之位的薛稷绘画相媲美。朱景玄虽然强调韩滉画牛“能绝其妙”，但却将韩滉绘画的题材依次列为村田、人物、水牛、驴子。可见田园风俗是韩滉绘画最为重要重要题材，且朱景玄对其田园风俗田园风俗绘画的评价也是极高的：
（韩滉）...尝以公退之外，雅爱丹青，调高格逸，在僧繇子云之上...六法之妙，无逃笔精。能图田家风俗，人物水牛，曲尽其妙。议者谓驴牛虽目 前之畜，状最难图也；唯晋公于此二之能绝其妙。人间图轴，往往有之，或得其纸本者，其画亦薛少保之比，居妙品之上也。
“能图田家风俗，人物水牛，曲尽其妙”——朱景玄所谓韩滉绘画“调高格逸，在僧繇子云之上”、“六法之妙，无逃笔精”、“居妙品之上”等的评价不仅是指其牛畜画，而是包括水牛和田家人物在内的田家风俗绘画。可以说，朱景玄也是将韩滉的牛畜画视为其田园风俗题材的一部分。在这一点上，《石渠宝笈》与《唐朝名画录》的看法是一致的。
除《五牛图》外，韩滉绘画不传于世。韩滉以田家风俗人物和生产生活为题材的绘画我们已无缘亲见，而只能从仅有的文献记载来推测其大体风貌。元人苏伯达认为韩滉《田家风俗图》神气迥出，精妙可比王献之一笔书、陆探微一笔画，甚至超出陆探微而远在张僧繇、展子虔之上：
《田家风俗图》晋国公韩太冲所画...尝观张爱宝云惟王献之能为一笔书，陆探微能为一笔画，今观此图，神气迥出，笔不停毫，真得探微一笔之妙。历唐以来出探微之右者其太冲耶！虽张僧繇、展子虔亦奚过焉！
苏伯达所言与苏寿元所谓“睹其笔力真通神佳手，虽张僧繇、展子虔不得以窥其妙”所见略同，当为可信。古人对韩滉田园风俗画的评价——“居妙品之上”、“品居上上”、“虽张僧繇、展子虔不得以窥其妙”等——还是相当高的。《宣和画谱》说属于韩滉一派的张符《放牛图》：“取其村原风烟荒落之趣，儿童横吹藉草之状，其一蓑一笠，怠将人牛相忘。”陆游见韩滉所画《牧牛图》云：“每见村童牧牛于枫林烟草间之间，便觉身在图画。”
韩滉的田园风俗绘画与杜甫、张籍、元稹等反映社会现实的诗作相辉映，表现出曾经目睹过开元、天宝的盛世景象又经历过安史之乱的一代文（诗）人对民生疾苦的深切忧虑和同情。其绘画中牛的形象正是其“任重而顺”甘于寂寞的人生写照，其绘画中的村田乡野、牧童农夫也正是感情所系。
在唐代，诸多画家热衷描绘雍容典雅的贵族人物和华丽富贵的鞍马，而不屑于将牛羊、村田乡野、农夫牧童等田家风俗事物作为绘画的题材。但作为一朝宰相，韩滉却舍鞍马而求诸于牛羊，舍贵族宴乐声色而求诸于田家风俗景物，将绘画题材转向农家生活的拓展，关注田家的悲欢。他在农村生活和田家风物的描绘中，记录着农家生活的喜怒哀乐，寄予着对广大穷苦百姓的深切同情，并从中发现一种农家生活质朴自然的美，在怡然自乐中蕴含着一种恬淡闲适的情调。
韩滉开创了田园风俗绘画的先声，并深深影响了戴嵩、李渐、张符、邱文播等一批以田园风俗为题材的画家的创作，形成了以韩滉为首的田园风俗绘画一派，对后世耕织图的发展也有一定的启示意义。

C. 莱昂哈德·欧拉的主要成就

在数学领域内，18世纪可正确地称为欧拉世纪。欧拉是18世纪数学界的中心人物。他是继牛顿（Newton）之后最重要的数学家之一。在他的数学研究成果中，首推第一的是分析学。欧拉把由伯努利家族继承下来的莱布尼茨学派的分析学内容进行整理，为19世纪数学的发展打下了基础。他还把微积分法在形式上进一步发展到复数范围，并对偏微分方程，椭圆函数论，变分法的创立和发展留下先驱的业绩。在《欧拉全集》中，有17卷属于分析学领域。他被同时代的人誉为“分析的化身”。
1．数论
欧拉的一系列成奠定作为数学中一个独立分支的数论的基础。欧拉的著作有很大一部分同数的可除性理论有关。欧拉在数论中最重要的发现是二次反律。
2．代数
欧拉《代数学入门》一书，是16世纪中期开始发展的代数学的一个系统总结。
3．无穷级数
欧拉的《微分学原理》（Introctio calculi differentialis，1755）是有限差演算的第一部论著，他第一个引进差分算子。欧拉在大量地应用幂级数时，还引进了新的极其重要的傅里叶三角级数类。1777年，为了把一个给定函数展成在（0，“180”）区间上的余弦级数，欧拉又推出了傅里叶系数公式。欧拉还把函数展开式引入无穷乘积以及求初等分式的和，这些成果在后来的解析函数一般理论中占有重要的地位。他对级数的和这一概念提出了新的更广泛的定义。他还提出了两种求和法。这些丰富的思想，对19世纪末，20世纪初发散级数理论中的两个主题，即渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响。
4．函数概念
18世纪中叶，分析学领域有许多新的发现，其中不少是欧拉自已的工作。它们系统地概括在欧拉的《无穷分析引论》、《微分学原理》和《积分学原理》组成的分析学三部曲中。这三部书是分析学发展的里程碑四式的著作。
5．初等函数
《无穷分析引论》第一卷共18章，主要研究初等函数论。其中，第八章研究圆函数，第一次阐述了三角函数的解析理论，并且给出了棣莫弗（de Moivre）公式的一个推导。欧拉在《无穷分析引论》中研究了指数函数和对数函数，他给出著名的表达式——欧拉恒等式（表达式中用表示趋向无穷大的数；1777年后，欧拉用表示虚数单位 ），但仅考虑了正自变量的对数函数。1751年，欧拉发表了完备的复数理论。
6．单复变函数
通过对初等函数的研究，达朗贝尔和欧拉在1747－1751年间先后得到了（用现代数语表达的）复数域关于代数运算和超越运算封闭的结论。他们两人还在分析函数的一般理论方面取得了最初的进展。
7．微积分学
欧拉的《微分学原理》和《积分学原理》二书对当时的微积分方法作了最详尽、最有系统的解说，他以其众多的发现丰富可无穷小分析的这两个分支。
8．微分方程
《积分原理》还展示了欧拉在常微分方程和偏方程理论方面的众多发现。他和其他数学家在解决力学、物理问题的过程中创立了微分方程这门学科。
在常微分方程方面，欧拉在1743年发表的论文中，用代换给出了任意阶常系数线性齐次方程的古典解法，最早引人了“通解”和“特解”的名词。1753年，他又发表了常系数非齐次线性方程的解法，其方法是将方程的阶数逐次降低。
欧拉在18世纪30年代就开始了对偏微分程的研究。他在这方面最重要的工作，是关于二阶线性方程的。
9．变分法
1734年，他推广了最速降线问题。然后，着手寻找关于这种问题的更一般方法。1744年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》一书出版。这是变分学史上的里程碑，它标志着变分法作为一个新的数学分析的诞生。
10．几何学
坐标几何方面，欧拉的主要贡献是第一次在相应的变换里应用欧拉角，彻底地研究了二次曲面的一般方程。
微分几何方面，欧拉于1736年首先引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何研究。1760年，欧拉在《关于曲面上曲线的研究》中建立了曲面的理论。这本著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的里程碑。
欧拉对拓扑学的研究也是具有第一流的水平。1735年，欧拉用简化（或理想化）的表示法解决了著名的歌尼斯堡七桥游戏问题，得到了具有拓扑意义的河－桥图的判断法则，即现今网络论中的欧拉定理。
11．力学
欧拉将数学分析方法用于力学，在力学各个领域中都有突出贡献；他是刚体动力学和流体力学的奠基者，弹性系统销定性理论的开创人。在1736年出版的两卷集《力学或运动科学的分析解说》中，他考虑了自由质点和受约束质点的运动微分方程及其解。欧拉在书中把力学解释为“运动的科学”，不包括“平衡的科学”即静力学。在力学原理方面，欧拉赞成P.-L.M.de马保梯的最小作用量原理。在研究刚体运动学和刚体动力学中，他得出最基本的结果，其中有：刚体定点有限转动等价于绕过定点某一轴的转动，刚体定点运动可用三个角度（称为欧拉角）的变化来描述；刚体定点转动时角速度变化和外力矩的关系；定点刚体在不受外力矩时的运动规律（称为定点运动的欧拉情况，这一成果1834年由L.潘索作出几何解释）,以及自由刚体的运动微分方程等。这些成果均载于他的专著《刚体运动理论》（1765）一书中。欧拉认为，质点动力学微分方程可以应用于液体（1750）。他曾用两种方法来描述流体的运动，即分别根据空间固定点（1755）和根据确定流体质点（1759）描述流体速度场。这两种方法通常称为欧拉表示法和拉格朗日表示法。欧拉奠定了理想流体（假设流体不可压缩，且其粘性可忽略）的运动理论基础，给出反映质晕守恒的连续性方程（1752）和反映动量变化规律的流体动力学方程（1755）。 欧拉研究过弦、杆等弹性系统的振动。他和丹尼尔第一·伯努利一起分析过上端悬挂着的重链的振动以及相应的离散模型（挂有一串质量的线）的振动。他在丹尼尔第一· 伯努利的帮助下，得到弹性受压细杆在失稳后的挠曲线——弹性曲线（elastica）的精确解。能使细杆产生这种挠曲的最小压力后被称为细杆的欧拉临界载荷。欧拉在应用力学如弹道学、船舶理论、月球运动理论等方面也有研究。 欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的．欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等．
欧拉和丹尼尔·伯努利一起，建立了弹性体的力矩定律：作用在弹性细长杆上的力矩正比于物质的弹性和通过质心轴和垂直于两者的截面的惯性动量。
他还直接从牛顿运动定律出发，建立了流体力学里的欧拉方程。这些方程组在形式上等价于粘度为0的纳维-斯托克斯方程。人们对这些方程的主要兴趣在于它们能被用来研究冲击波。
他对微分方程理论作出了重要贡献。他还是欧拉近似法的创始人，这些计算法被用于计算力学中。此中最有名的被称为欧拉方法。
在数论里他引入了欧拉函数。
自然数的欧拉函数被定义为小于并且与互质的自然数的个数。例如φ（8）=4，因为有四个自然数1，3，5和7与8互质。
在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也正是以欧拉函数为基础的。
在分析领域，是欧拉综合了莱布尼兹的微分与牛顿的流数。
他在1735年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得名声。
欧拉将虚数的幂定义为欧拉公式，它成为指数函数的中心。
在初等分析中，从本质上来说，要么是指数函数的变种，要么是多项式，两者必居其一。被理查德·费曼称为“最卓越的数学公式'”的则是欧拉公式的一个简单推论（通常被称为欧拉恒等式）。
在1735年，他定义了微分方程中有用的欧拉-马歇罗尼常数。他是欧拉-马歇罗尼公式的发现者之一，这一公式在计算难于计算的积分、求和与级数的时候极为有效。
在1739年，欧拉写下了《音乐新理论的尝试(Tentamennovaetheoriaemusicae)》，书中试图把数学和音乐结合起来。一位传记作家写道：这是一部为精通数学的音乐家和精通音乐的数学家而写的著作。
在经济学方面，欧拉证明，如果产品的每个要素正好用于支付它自身的边际产量，在规模报酬不变的情形下，总收入和产出将完全耗尽。
在几何学和代数拓扑学方面，欧拉公式给出了单联通多面体的边、顶点和-(zh-hans:面;zh-hant:面)-之间存在的关系。
在1736年，欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题，并且发表了论文《关于位置几何问题的解法 》，对一笔画问题进行了阐述，是最早运用图论和拓扑学的典范。
数独是欧拉发明的拉丁方块的概念，在当时并不流行，直到20世纪由平凡日本上班族锻治真起，带起流行。

D. 华罗庚的主要成就是什么呢

在英国，华罗庚参加了一个有名的数论学家的小组。这个小组包括英国数学家哈罗尔德·达凡波特、哈代、李特伍德，德国数学家埃斯特曼和汉斯·海尔勃洛嗯。华罗庚在剑桥大学的工作大部分是研究堆垒素数论。堆类素数论涉及到把整数分解成某些别的整数的和。华林问题是这个学科中最透彻的研究过的一个问题，其中特殊的数是 K 次幂。问题是这样的：对于给定的 K ，要求最小的整数 S ，称为 G （ K ），方程是： n=x1+x2+……+xs 对每个正态数 n 都是可解的。 1909 年，在华林之后一百年，希尔伯特证明了：对每一个 k ，这样的最小值 g （ k ）当然是存在的。但是它的证明与其说是构造性的，毋宁说是归纳性的，所以就不必给出 g （ k ）明确的上界。自希尔伯特之后许多著名的数学家都致力于计算 g （ k ）的工作。例如已经知道 g （ 2 ） =4 ，就是说每一个整数能够表示为四个整数的平方和或者九个整整数的立方和，并且这四、九的个数不能太小。对于所有的 k ，要找出 g （ k ）的明确表达的试图尚未成功。尽管相信，对于所有的正整数 k ，除掉有限的几个外，有 g （ k ） =ak+A-a ，此处 A 是不超过（ 3/2k ） 的最大整数。因为相对小的整数有时可以由特殊的表示，它包含在某些更广泛的基本结果中。 g （ k ）定义为方程（ 1 ）对于全体充分大的 n ，可解的最小整数 s 。在计算或估计 g （ k ）方面已经作了许多努力，知道 g （ 2 ） =4 ， 4<=g （ 3 ） <=g(4)=16, 达凡波特在 1942 年证明了 :g(5)<=25,g(6)<=36, 但对于 k>=s ，没有找出 g(k) 明确的值。歌德巴赫问题就是和华林问题密切联系的一个著名难题。其中 k=1,s=2 或 3,x 要求是素数。歌德巴赫问题可表达为： “ 规定任意偶数 h ，能否找到素数 x1 和 x2 ，使 n=x1+x2” ，对于 s=3 ，则为 “ 给定任意技术 n ，能否找到素 数 x1 、 x2 、 x3 ，是 n=x1+x2+x3 ？ ” 华罗庚在华林问题和歌德巴赫问题上的研究结果将他欧洲同事的工作包罗殆尽。在二十年代，哈代和李特伍德公布了一系列的论文，他们用新的解析方法解决华林问题，并指出 g （ k ） =O （ n+1 ），对于方程（ 1 ）要求 x1>=O;……x3>=O 的整数解的个数 (rs(n)), 他们也得到一个渐近的公式。他们将 rk ， s （ n ）表示为 k ， s 和 n 的函数。为 n→ 无穷时，加上一项（ n-1+s/k ），但是他们的结果仅仅是对 s 大的知识有效的。华罗庚在华林问题最好的成果，按照海尔勃洛恩德看法是证明了哈代 -- 利特伍德公式对于所有 s>=2+1 成立。这就是华氏定理。华罗庚的这一成果，至今仍是逻辑地引导到估计 g （ k ）一把有力的钥匙。达凡波特这样写道 : 华罗庚关于三角积分 (2) 的 “ 最有效 ” 的界，是他能够导出 G （ 5 ）和 G （ 6 ）的严格不等式。在达凡波特之前，对前一种情况的最强估计 G （ 5 ）， <28 是属于华罗庚 1939 年的成果。 在剑桥大学的两年中，华罗庚就 “ 华林问题 ” 、 “ 他利问题 ” ， “ 奇数的歌德巴赫问题 ” 写了十八篇论文， 先后发表在英、苏、印度、法、德等国的杂志上。其中包括 “ 论高斯的完整三角和估计问题 ” 这篇有名的论文。 按其成就，已经越过了每一条院士的要求，但在剑桥他从未正式申请过学位。

E. 七桥问题答案，只要答案！！！！！！！

18世纪的欧洲，有一位伟大的数学家，全欧洲的科学家都以他为师表，都称自己是他的学生，他就是大数学家欧拉。
1736年，为欧拉在彼得堡担任教授时，他解决了一个有趣的“七桥问题”，这个趣题一直流传到现在，并相信它是拓朴学产生的萌芽。
当时与普鲁士首府哥尼斯堡有一条普雷格尔河，这条河有两个支流，还有一个河心岛，共有七座桥把两岸和岛连起来。

有一天，人们教学的时候，有人提出一个问题：“如果每座桥走一次且只走一次，又回到原来地点，应该怎么走？”当时没有一个人能找到答案。
这个问题传到住在彼得堡的欧拉耳中，当然，他不会去哥尼斯堡教学，而是把问题画成一张图：小岛、河岸画成点，桥画成连结点的线，他考虑：如果能从一个点开始用笔沿线画（就像人过桥一样）笔不准离开纸（人连续走路），同一条线不准画两遍（每个桥只经过一次），所有线都画完，最后能否回到原来的出发点？这就是“一笔画”问题。

欧拉意识到他所研究的几何问题是一种新的几何学，所研究的图形与形状和大小无关，最重要的是位置怎样用弧连结，这张图就是一个网络。
欧拉为什么能抽象出这张图呢？是他利用了几何的抽象化和理想化来观察生活，初一几何开始讲点、线、面，这些几何概念是从现实中抽象化和理想化而来，笔尖点在纸上是一个点。
在地图上一个城市是一个点，在欧拉眼中，岛和陆地抽象成点，马路可看成线，欧拉眼中，桥抽象成线，直线是笔直的生活中没有完全精确的笔直线，这是理想化了，正因为数学的这种抽象，才使数学具有“应用的广泛性”这一特点。
欧拉怎样解决的这个问题呢？若一个顶点发出的弧的条数为奇数时，称为奇顶点；发生的弧的条数为偶数时，称为偶顶点，一笔画一定有一个起点、一个终点和一定数目的通过点，分两种情况考虑：
第一种：起点和终点不是同一点，把集中在起点的所有弧画完为止，有进有出，最后一笔必须画出去，所以起点必须是奇顶点；另一方面把集中在终点的所有弧线画完为止，最后一笔必须画进来，因此，终点也必须是奇顶点；其它经过的点，有几条弧画进来，必有同样多的弧画出去，必是偶顶点。
第二种：起点和终点为同一点，又画出去，又画进来，必为偶顶点，其它顶点有进有出也都是偶顶点，因此，欧位得出以下结论：
1.全是偶顶点的网络可以一笔画。
2.能一笔画的网络的奇顶点数必为0或2。
3.如果一个网络有两个奇顶点，它就可以一笔画，但最后不能回到原来的出发点，这时，必须从一个奇顶点出发，然后回到另一个奇顶点。
用欧拉的发现去分析七桥问题，这张图上的A、B、C、D全是奇顶点，因此，不能一笔画，所以，游人一次走遍七桥是不可能的。

F. 成年人学硬笔楷书多久有成效

因人而异。

成年人如何练好钢笔字
而对于字体已定型的成年人，要练好钢笔字就不那么容易了。由于他们以前没有注意字的好坏，一些难看甚至错误的写法已成恶习，很难改正。他们现在想练字，但往往只在现有的字体上修修补补，选择和自己相似的字体上打主意，这样常常是好的没有学到，坏的没丢掉，以至越练越难看。
那 么成年人怎样练好字呢？
首先必须使他们完全忘掉以前的字体，从零开始，从最基本的点划练起。然后再练结构。对钢笔字来说，最重要的是结构问题，结体的好坏直接影响着字的美观。所以要写好钢笔字结体最重要。但现在有一个很不好解决的问题，就是很难把以前的字体忘掉，在临帖过程中常常把旧习惯带入新字体。要改变这种状况，最好的办法首先是选择与自己以前的字体载然不同的正楷字进行摹写。练正楷是为了正形，练上一两个星期或更长的时间，就可以正形。当形正了以后，也应选择与本人原字体截然不同的，并且是自己认为美观的行书字帖进行临摹。如以前的字体拘谨则选择奔放的字帖；如字体散漫则选择严谨的字帖；如字体呆板则选择潇洒的字帖；如字体软滑则选择坚挺的字帖，若字体臃肿则选择清秀的字帖等等，这样练上二到三个月，就可以学会新的字体。在学习中常常遇到这样的问题，在刚开始几天进步还快，但过一个时期反到觉得越写越差，这是正常现象。这时要沉住气，继续练下去，再经过一段时间的努力，就能走出困境而上轨道。临摹的目的是将以前的字忘掉，将字帖上的字记住，加以应用。在这以后，就要安排字与字，行与行之间的关系，也就是所谓的章法布白。对一般只想把字写得好看些，而不想在这方面有所成就的人来说，能做到以上所说的就足够了。这是我在学习中得到的经验，也曾将这些经验介绍给别人，效果都不错。
如果想在钢笔书法艺术上有所成就，那就不是一朝一夕所能达到的。不仅必须借鉴毛笔书法的用笔、结体、章法、气韵等等，还必须充分发挥钢笔所固有的特点。只有这样，才能繁荣钢笔书法艺术，才能使她具有强大而永久的生命力。否则，钢笔书法只能是毛笔书法的附庸，不能有所发展、有所创新，也就不会有强大、永久的生命力。
二、钢笔书法基本知识
书法，就是写字的技法。“书”有写字的意思；“法”就是方法、技法、法则，也就是汉字的书写艺术。它是我们中华民族特有的高级艺术形式。
钢笔书法，就是用钢笔表现汉字的线条书写和造型艺术。其“线条书写”即用钢笔表现汉字的各种笔画的方法，其“造型”即汉字的结构和章法。因此。钢笔书法跟毛笔书法一样。由三个最基本最关键的因素组成，即：线条(笔画)、结构、章法，称为书法的三要素。
所谓线条（笔画），指汉字的第一笔画留在纸上的痕迹。同一笔画，不同水平的书写者写出来的面貌形象是大不相同的。
所谓结构，是指正确、巧妙地组织笔画，使每个汉字的所有笔画按规律布局合理，达到美观的要求。
所谓章法，是指篇章布局的方法，也就是使一幅书法作品整体美的技能和方法。它着重字与字、行与行之间的协调、呼应、连贯、疏密与辉映，利用黑白的分布、字形的大小、字距的远近、字态的正奇等于段，使千姿百态的单字在合理而巧妙地布局下，形成一篇既和谐美观又辉映成趣的艺术作品。它能引发人们的美感。
写得一手正确、清楚、流畅、美观的好字。不但对工作和学习很有益处，而且也是一种文化素养的体现，也是一种美的享受。
书写工具
钢笔字书写工具的优劣直接影响着书写时的效果，因此必须重视书写工具的选择与使用。书写钢笔字的工具有钢笔、墨水和纸张。