積分發明背景

⑴ 定積分產生於什麼樣的知識背景

定積分產生於牛頓與萊布尼茨兩人，由生活需要而產生！

⑵ 簡述牛頓和萊布尼茲發明微積分的歷史背景、發明方法、應用價值的異同

牛頓與萊布尼茲創立微積分之解析點擊數：63次 錄入時間：2013/4/15 9:51:00 編輯：liuxinyuan2012[宣傳賺點]下一頁12 今天,微積分已成為基本的數學工具而被廣泛地應用於自然科學的各個領域。恩格斯說過:「在一切理論成就中,未有象十七世紀下半葉微積分的發明那樣被看作人類精神的最高勝利了,如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績,那就正是在這里。」[1](p.244)本文試從牛頓、萊布尼茲創立「被看作人類精神的最高勝利」的微積分的時代背景及哲學思想對其展開剖析。

一、牛頓所處的時代背景及其哲學思想

「牛頓(IsaacNewton,1642-1727)1642年生於英格蘭。⋯⋯,1661年,入英國劍橋大學,1665年,倫敦流行鼠疫,牛頓回到鄉間,終日思考各種問題,運用他的智慧和數年來獲得的知識,發明了流數術(微積分)、萬有引力和光的分析。」[2](p.155)

1665年5月20日,牛頓的手稿中開始有「流數術」的記載。《流數的介紹》和《用運動解決問題》等論文中介紹了流數(微分)和積分,以及解流數方程的方法與積分表。1669年,牛頓在他的朋友中散發了題為《運用無窮多項方程的分析學》的小冊子,在這里,牛頓不僅給出了求一個變數對於另一個變數的瞬時變化率的普遍方法,而且證明了面積可以由求變化率的逆過程得到。因為面積也是用無窮小面積的和來表示從而獲得的。所以牛頓證明了這樣的和能由求變化率的逆過程得到(更精確地說,和的極限能夠由反微分得到),這個事實就是我們現在所講的微積分基本定理。這里「,牛頓使用的是無窮小方法,把變數的無限小增量叫做「瞬」,瞬是無窮小量,是不可分量,或是微元,牛頓通過舍棄「瞬」求得變化率。」[3](p.199)1671年牛頓將他關於微積分研究的成果整理成《流數法和無窮級數》(1736),在這里,他認為變數是連續運動產生的,他把變數叫做流,變數的變化率叫做流數。牛頓更清楚地陳述了微積分的基本問題:已知兩個流之間的關系,求它們流數之間的關系,以及它的逆問題。《流數法和無窮級數》是一部較完整的微積分著作。書的後半部分通過20個問題廣泛地介紹了流數法各無窮級數的應用。1676年,牛頓寫出了《求曲邊形的面積》(1704),在這里,牛頓的微積分思想發生了重大變化,他放棄了微元或無窮小量,而採用了最初比和最後比的方法。

1687年牛頓發表了它的劃時代的科學名著《自然哲學的數學原理》,流數術(即微積分)是其三大發現之一。正如愛因斯坦所說的:「牛頓啊⋯⋯你所發現的道路在你的那個時代是一位具有最高思維能力和創造能力的人所發現的唯一道路,你所創造的概念即使在今天仍然指導著我們的物理學思想」。[4](p.192)

牛頓生活的時代正是英國發生變化的時代,當時英國發生了國內戰爭,資產階級和貴族的階級妥協,使英國資產階級革命明顯的帶上了不徹底性。當時的英國資產階級正在為現存的剝削階級的一切上層建築做永恆存在的論證,因此絕對化的思想成為占統治地位的主導思想,它也影響到當時的自然科學家們把形而上學的思想方法絕對化。牛頓的思想也受到了英國資產階級革命不徹底性的影響,因而牛頓也往往不能從自然界本身或事物的本身來尋找最初的原因,而藉助於外來的推動力。

牛頓在30歲以前發現了微積分,並建立了經典力學體系,而他的後半生在自然科學的研究上幾乎一事無成。這是由於在資本主義產生和形成的時期,資產階級曾經向宗教神學發起沖擊,幫助科學從神學中解放出來。但是當資產階級的地位鞏固以後,階級斗爭逐漸激化之時,資產階級就逐漸衰退,他們就抓住各種各樣的宗教信念作為奴役人民的思想武器。牛頓受其影響很大,其前半生由於自發的唯物主義的思想傾向,使他獲得了巨大成就,而後半生則完全沉迷於神學的研究。

牛頓繼承了培根的經驗主義傳統,特別重視實驗和歸納推理的作用,他曾斷言,自然科學只能從經驗事實出發解釋世界。這在當時對打擊經院哲學的崇尚空談、妄稱神意來歪曲自然界是起過積極作用的。但是「,牛頓卻拘泥於經驗事實,片面強調歸納的重要性。只有大量的感性材料,一切停留在事物的現象上,單獨依靠歸納的方法是得不出系統的普遍性的理性認識來的。在分析和綜合、演繹和歸納的問題上,形而上學使牛頓陷入了矛盾。」[5](p.123)

二、萊布尼茲所處的時代背景及其哲學思想

「萊布尼茲(GottfriedWilhelmLeibniz,1646-1716)生於德國。⋯⋯,1672年赴巴黎,在那裡接觸到惠更斯等一些數學名流,引其進入了數學領域,開始微積分的創造性工作。」[2](p.165)

1684年萊布尼茨發表了數學史上第一篇正式的微積分文獻《一種求極限值和切線的新方法》。這篇文獻是他自1673年以來的微積分研究的概括與成果,其中定義了微分,廣泛地採用了微分符號dx、dy,還給出了和、差、積、商及乘冪的微分法則。同時包括了微分法在求切線、極大、極小值及拐點方面的應用。兩年後,又發表了一篇積分學論文《深奧的幾何與不

變數及其無限的分析》,其中首次使用積分符號「∫」,初步論述了積分(或求積)問題與微分求切線問題的互逆問題。即今天大家熟知的牛頓-萊布尼茨公式∫baf(x)dx=f(b)-f(a),為我們勾畫了微積分學的基本雛形和發展藍圖。
「牛頓建立微積分是從運動學的觀點出發,而萊布尼茲則從幾何學的角度去考慮,所創設的微積分符號遠遠優於牛頓符號,並有效地促進了微積分學的發展。」[6](p.120)牛頓發現微積分(1665-1666年)比萊布尼茨至少早了9年,然而萊布尼茨公開發表它的微積分文章比牛頓早3年。據萊布尼茨本人提供的證據說明他是在1674年形成了微分的思想與方法。如果說,牛頓建立微積分主要是從運動學的觀點出發,而萊布尼茲則是從哲學的和幾何學的角度去考慮,特別是和巴羅的「微分三角形」有密切關系,萊布尼茲稱它為「特徵三角形」。巴羅的微分三角形對萊布尼茲有著重要啟發,對微分三角形的研究,使他意識到求切線和求積問題是一對互逆的問題。萊布尼茲第一個表達出微分和積分之間的互逆關系。

萊布尼茲的許多研究成果和思想的發展,都包含在從1673年起寫的但從未發表過的成百頁的筆記中。1673年左右,他看到求曲線的切線的正問題和反問題的重要性,他完全相信反方法等價於通過求和來求面積和體積。1684年,萊布尼茲發表第一篇微分學論文《一種求極大、極小和切線的新方法,它也適用於分式或無理量,以及這種新方法的奇妙類型的計算》,對他以往的研究作了初步整理,敘述了微分學的基本原理,認為函數的無限小增量是自變數無限小變

化的結果,且把這個函數的增量叫做微分,用字母d表示。1675-1676年間,他從求曲邊形面積出發得到積分的概念,給出微積分基本定理∫baf(x)dx=f(b)-f(a)。1686年萊布尼茲發表積分學論文《潛在的幾何與分析不可分和無限》。1693年,他給出了上述定理的一個證明。以上這些都發表在《教師學報》上。將微分和積分統一起來,是微積分理論得以建立的一個重要標志。萊布尼茲出生在德國路德派諸侯與天主教諸侯之間的對立而引起的「三十年戰爭」結束前。為了改變宗教紛爭的局面,萊布尼茲立志要發現一種新的天主教和路德教都能適合的關於實體的學說,以成為兩派教會得以聯合的哲學基礎。雖然萊布尼茲的意圖是不可能實現的,但他後來卻因此提出了一種與笛卡爾不同的實體學說———單子論。

「單子論是萊布尼茲哲學的核心內容。萊布尼茲認為一切事物都由單子這種精神的實體構成的,這種『單子』既非物質的而又具有一定的質,它是精神性的,萊布尼茲就把它比之於靈魂。只有精神的單子才是真實的存在的實體,從單子是不可分的,即沒有部分的「單純」實體這一點出發,萊布尼茲就推論出它的一系列特徵:單子沒有部分,它就不能以自然的方式通過各部分的組合而產生,或通過各部分的分解而消滅,因此它的生滅只能出於上帝的突然創造或毀滅;單子沒有部分,就不能設想有什麼東西可以進入其內部來造成變化,這樣,單子就成了各自獨立或徹底孤立的東西,各單子之間不能有任何真正的相互作用或影響。單子之間沒有量的差異,而只有質的不同。」[7](p.85)

總之,萊布尼茲的基本觀點是唯心主義的,也是形而上學的。他把宇宙的秩序都歸因於上帝的預先決定。他肯定許多必然真理並非來自經驗,他認為不但認識的對象都是由精神性的「單子」所構成。而且認識的主體也只能作為精神實體的心靈這種「單子」。他把一切發展變化都歸因於上帝的「前定」,實際也就否定了真正的發展,這是他的觀點的消極的一面。但另一方面,萊布尼茲的哲學也有積極方面,它的哲學中含有豐富的辯證法思想,他肯定實體本身就具有力,因而是能動的,實質上肯定了物質與運動不可分的思想,他試圖解決「不可分的點」和「連續性」的矛盾問題,接觸到了個別與全體、間斷性與連續性的對立統一問題,對促進理性和經驗的辯證結合做出了一定的貢獻。

三、牛頓、萊布尼茲創立微積分之比較

牛頓和萊布尼茲用各自不同的方法,創立了微積分學。如果說牛頓接近最後的結論要比萊布尼茲早一些,那麼萊布尼茲發表自己的結論要早於牛頓。雖然牛頓的微積分應用遠遠超過萊布尼茲的工作,刺激並決定了幾乎整個十八世紀分析的方向,但是萊布尼茲成功地建立起更加方便的符號體系和計算方法。兩位微積分的奠基人,一位具有英國式的處事謹慎,治學嚴謹的風度,一位具有德國人的哲理思辨心態,熱情大膽。由於陰陽差錯的時代背景,過分追求嚴謹的牛頓遲遲未將自己的發現發表,讓萊布尼茨搶了一個發表的頭籌。

牛頓和萊布尼茲的哲學觀點的不同導致了他們創立微積分的方法不同。牛頓堅持唯物論的經驗論,特別重視實驗和歸納推理。他在研究經典力學規律和萬有引力定律時,遇到了一些無法解決的數學問題,而這些數學問題用歐幾里德幾何學和16世紀的代數學是無法解決的,因此牛頓著手研究新的以求曲率、面積、曲線的長度、重心、最大最小值等問題的方法———流數法。「牛頓的研究採用了最初比和最後比的方法。他認為流數是初生量的最初比或消失量的最後比。初生量的最初比就是在初生的瞬間的比值,消失量的最後比就是量在消失的瞬間的比值。」[4](p.180)這個解釋太模糊了,算不上精確的數學概念,只不過是一種直觀的描述。最初比和最後比的物理原型是初速度與末速度的數學抽象,在物體作位置移動的過程中的每一瞬間具有的速度是自明的,牛頓就是從這個客觀事實出發提出了最初比和最後比的直觀概念。這樣他就給出了極限的觀點。

萊布尼茲的微積分創造始於研究「切線問題」和「求積問題」,他從微分三角形認識到:求曲線的切線依賴於縱坐標之差與橫坐標之差的比值;求曲邊圖形的面積則依賴於在橫坐標的無限小區間上的縱坐標之和或無限薄的矩形之和。萊布尼茲認識到求和與求差運算是可逆的。萊布尼茲用無窮小的思想給出了微積分的基本定理,並發展成為高階微分。萊布尼茲的無窮小是分階的,這源於他哲學中的單子論思想。「萊布尼茲在單子論中指出:不同的單子其知覺

的清晰程度是不一樣的,並從一種知覺向另一種知覺過渡和變化,發展就是由單子構成的事物,由低級向高級的不同等級的序列。」[6](p.91)可以說,萊布尼茲的無窮小的分階正是和它的客觀唯心論的哲學體系中那個不同層次的單子系統是相對應的。萊布尼茲在微積分的研究過程中,連續性原則成為其工作的基石,而連續性原則是紮根於他哲學中無限的本質的思想。

牛頓和萊布尼茲創立微積分的相同點有:從不同的角度創立了一門新的數學學科,使微積分具有廣泛的用途並能應用於一般函數;用代數的方法從過去的幾何形式中解脫出來;都研究了微分與反微分之間的互逆關系。

牛頓和萊布尼茲創立微積分的不同點主要有:牛頓繼承了培根的經驗論,對歸納特別青睞。牛頓的微積分明顯帶著從力學脫胎而來的物理模型的痕跡,以機械運動的數學模型出現,其中的基本概念,如初生量、消失量、瞬、最初比和最後比等概念都來自機械運動,是機械運動瞬間狀態的數學抽象。他建立微積分的目的是為了解決特殊問題,強調的是能推廣的具體結果。而萊布尼茲強調能夠應用於特殊問題的一般方法和演算法,以便統一處理各種問題。萊布尼茲在符號的選擇上花費了大量的時間,發明了一套富有提示性的符號系統。他把sum(和)的第一個字母S拉長表示積分,用dx表示x的微分,這套簡明易懂又便於使用的符號一直沿用至今。

牛頓認為微積分是純幾何的自然延伸,關心的是微積分在物理學中的應用。經驗、具體和謹慎是他的工作特點,這種拘束的做法,使他沒有能盡情發揮。而萊布尼茲關心的是廣泛意義下的微積分,力求創造建立微積分的完善體系。他富於想像,喜歡推廣,大膽而且有思辯性,所以毫不猶豫地宣布了新學科的誕生。

牛頓和萊布尼茲都是他們時代的科學巨人。微積分之所以能成為獨立的學科並給整個自然科學帶來革命性的影響,主要是靠了牛頓與萊布尼茲的工作。從牛頓和萊布尼茲創立微積分的過程中可以看出:當巨人的哲學的沉思變成科學的結論時,對科學發展的影響是深遠的。

⑶ 定積分，導數的背景是什麼

參見網路「微積分」詞條http://ke..com/view/3139.htm

數學中的轉折點是笛卡爾的變數，有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，有了變數，微分學和積分學也就立刻成為必要的了，而它們也就立刻產生，並且是由牛頓和萊布尼茲大體上完成的，但不是由他們發明的。 ——恩格斯

從15世紀初歐洲文藝復興時期起，工業、農業、航海事業與商賈貿易的大規模發展，形成了一個新的經濟時代，宗教改革與對教會思想禁錮的懷疑，東方先進的科學技術通過阿拉伯的傳入，以及拜占庭帝國覆滅後希臘大量文獻的流入歐洲，在當時的知識階層面前呈現出一個完全斬新的面貌。而十六世紀的歐洲，正處在資本主義萌芽時期，生產力得到了很大的發展，生產實踐的發展向自然科學提出了新的課題，迫切要求力學、天文學等基礎學科的發展，而這些學科都是深刻依賴於數學的，因而也推動的數學的發展。科學對數學提出的種種要求，最後匯總成多個核心問題。到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產生的因素。歸結起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用於另一物體上的引力。第四類問題是求函數的最大值和最小值問題。

（1）運動中速度與距離的互求問題
即，已知物體移動的距離S表為時間的函數的公式S=S（t）,求物體在任意時刻的速度和加速度；反過來，已知物體的加速度表為時間的函數的公式，求速度和距離。這類問題是研究運動時直接出現的，困難在於，所研究的速度和加速度是每時每刻都在變化的。比如，計算物體在某時刻的瞬時速度，就不能象計算平均速度那樣，用運動的時間去除移動的距離，因為在給定的瞬間，物體移動的距離和所用的時間是0，而0/0是無意義的。但是，根據物理，每個運動的物體在它運動的每一時刻必有速度，這也是無疑的。已知速度公式求移動距離的問題，也遇到同樣的困難。因為速度每時每刻都在變化，所以不能用運動的時間乘任意時刻的速度，來得到物體移動的距離。

（2）求曲線的切線問題
這個問題本身是純幾何的，而且對於科學應用有巨大的重要性。由於研究天文的需要，光學是十七世紀的一門較重要的科學研究，透鏡的設計者要研究光線通過透鏡的通道，必須知道光線入射透鏡的角度以便應用反射定律，這里重要的是光線與曲線的法線間的夾角，而法線是垂直於切線的，所以總是就在於求出法線或切線；另一個涉及到曲線的切線的科學問題出現於運動的研究中，求運動物體在它的軌跡上任一點上的運動方向，即軌跡的切線方向。

（3）求長度、面積、體積、與重心問題等
這些問題包括，求曲線的長度（如行星在已知時期移動的距離），曲線圍成的面積，曲面圍成的體積，物體的重心，一個相當大的物體（如行星）作用於另一物體上的引力。實際上，關於計算橢圓的長度的問題，就難住數學家們，以致有一段時期數學家們對這個問題的進一步工作失敗了，直到下一世紀才得到新的結果。又如求面積問題，早古希臘時期人們就用窮竭法求出了一些面積和體積，如求拋物線在區間[0，1]上與x軸和直線x=1所圍成的面積S，他們就採用了窮竭法。當n越來越小時，右端的結果就越來越接近所求的面積的精確值。但是，應用窮竭法，必須添上許多技藝，並且缺乏一般性，常常得不到數字解。當Archimedes的工作在歐洲聞名時，求長度、面積、體積和重心的興趣復活了。窮竭法先是逐漸地被修改，後來由於微積分的創立而根本地修改了。

（4）求最大值和最小值問題
炮彈在炮筒里射出，它運行的水平距離，即射程，依賴於炮筒對地面的傾斜角，即發射角。一個「實際」的問題是求能獲得最大射程的發射角。十七世紀初期，Galileo斷定（在真空中）最大射程在發射角是45時達到；他還得出炮彈從各個不同角度發射後所達到的不同的最大高度。研究行星的運動也涉及到最大值和最小值的問題。

⑷ 微積分的產生背景，牛頓和萊布尼茨各自創建了什麼微積分

從微積分成為一門學科來說，是在十七世紀，但是，微分和積分的思想在古代就已經產生了。 公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學的思想。作為微分學基礎的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的《莊子》一書的「天下篇」中，記有「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」。三國時期的劉徽在他的割圓術中提到「割之彌細，所失彌小，割之又割，以至於不可割，則與圓周和體而無所失矣。」這些都是樸素的、也是很典型的極限概念。 到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產生的因素。歸結起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用於另一物體上的引力。 十七世紀的許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；義大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創立做出了貢獻。 十七世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題(積分學的中心問題)。 牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現在數學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重於從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重於幾何學來考慮的。 牛頓在1671年寫了《流數法和無窮級數》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變數是由點、線、面的連續運動產生的，否定了以前自己認為的變數是無窮小元素的靜止集合。他把連續變數叫做流動量，把這些流動量的導數叫做流數。牛頓在流數術中所提出的中心問題是：已知連續運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內經過的路程(積分法)。 德國的萊布尼茨是一個博才多學的學者，1684年，他發表了現在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用於分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。他以含有現代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發表了第一篇積分學的文獻。他是歷史上最偉大的符號學者之一，他所創設的微積分符號，遠遠優於牛頓的符號，這對微積分的發展有極大的影響。現在我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨精心選用的。 微積分學的創立，極大地推動了數學的發展，過去很多初等數學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學的非凡威力。 前面已經提到，一門科學的創立決不是某一個人的業績，他必定是經過多少人的努力後，在積累了大量成果的基礎上，最後由某個人或幾個人總結完成的。微積分也是這樣。 不幸的事，由於人們在欣賞微積分的宏偉功效之餘，在提出誰是這門學科的創立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立。英國數學在一個時期里閉關鎖國，囿於民族偏見，過於拘泥在牛頓的「流數術」中停步不前，因而數學發展整整落後了一百年。 其實，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究，在大體上相近的時間里先後完成的。比較特殊的是牛頓創立微積分要比萊布尼詞早10年左右，但是整是公開發表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發表早三年。他們的研究各有長處，也都各有短處。那時候，由於民族偏見，關於發明優先權的爭論竟從1699年始延續了一百多年。 應該指出，這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經歷一段時間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎方面的缺陷，最終導致了第二次數學危機的產生。 直到19世紀初，法國科學學院的科學家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，後來又經過德國數學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎。才使微積分進一步的發展開來。 任何新興的、具有無量前途的科學成就都吸引著廣大的科學工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟約翰·貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、科西…… 歐氏幾何也好，上古和中世紀的代數學也好，都是一種常量數學，微積分才是真正的變數數學，是數學中的大革命。微積分是高等數學的主要分支，不只是局限在解決力學中的變速問題，它馳騁在近代和現代科學技術園地里，建立了數不清的豐功偉績。

⑸ 定積分誰發明的

定積分是微積分的重要概念。德國數學家黎曼首先給予嚴格表述，故又稱「黎曼積分」。

⑹ 微積分產生的歷史背景

您好。十七世紀後半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數學家都參加過准備的工作，分別獨立地建立了微積分學。

⑺ 積分的歷史是什麼

你的排名啦!

就是你的上榜積分

這是你以前的歷史最佳記錄

一級分類最高排名 69，分數為 575（如果曾排名 70 ，就算分數 1000 以上，也只記錄高的）

二級分類的記錄也是如此

一級分類如：電腦/網路你的累計積分是575分。而歷史最佳排名是69名。
二級分類如：網路知道。上榜積分是575分，歷史最佳排名是第四名。
只要在各個分類裡面如：
二級分類累計積分達到前5名就可以獲得分類名人堂的稱號。而每周上升積分達到前5就有分類達人的稱號。
一級分類獲得稱號就比較難了。
上榜的積分要求很高的。所以想要上榜的話，還需要努力。
每周一級分類的「分類上升達人榜」第一名
• 每周一級分類的「分類名人堂」第一名

⑻ 微積分的起源與發展歷史

根據記載，牛頓對微積分問題的研究開始於1664年，此時他十分認真地研讀了笛卡爾的巨著《幾何學》，並且對書中求曲線切線的方法十分著迷，求知慾旺盛的牛頓迫切尋求一種更有效更一般的方法來解決這一問題。

思索了兩年之後，在1666年10月，牛頓撰寫了數學史上第一遍微積分論文《流數短論》，歷史性地提出了「流數」這一概念。牛頓將「流數」對應與速度，即位移函數對時間的微商，然後又以速度對時間的微商來作為加速度。深思熟慮三年之後，牛頓又完成了第二篇論文《運用無窮多項方程的分析學》，此文給出了因變數對自變數求瞬時變化率的一般方法，而且還證明了面積可以通過求變化率的逆過程得到，這實際上已經非常接近微積分基本定理(即牛頓-萊布尼茨公式)。1671年，牛頓在第三篇論文《流數術與無窮級數》中完善了第一篇論文的內容，使得論述與方法都更加清晰。又過了5年，牛頓寫出了他最成熟的微積分論文《曲線求積論》，進一步完善了對流數的理解並清晰敘述了微積分基本定理，還給出了他自己發明的一系列記號。

至此，一代巨人完成了創立微積分的偉大壯舉。然而由於自己保守內斂的性格，牛頓長期沒有公開發表自己的論文，僅為他少數好友所知。直到1687年，在好友哈雷的鼓勵與要求之下，牛頓才出版了巨著《自然哲學的數學原理》，直到這時，牛頓關於微積分的工作才公諸於世。正是牛頓的遲疑，引發了牛頓和萊布尼茨誰才是「微積分之父」的百年之爭，更是造成了英國科學界和歐洲大陸科學界的長期分隔。

⑼ 微積分的發明人是誰

1684年，《學術學報》上發表了德國數學家萊布尼茨的一篇文章，宣布他發現一種微分法，即「一種求極大極小和切線的新方法，它也適用於分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算」，1686年，他又發表了類似的文章，討論「潛在的幾何與分析不可分和無限」等。一年以後，物理學家牛頓出版了他的巨著《自然哲學之數學原理》，也談到了他研究的求極大與極小的問題。實際上，他們倆人都發現了微積分的數學原理。於是，就有關創立微積分的優先權問題，發生了一場激烈的爭論。遺憾的是，由於人們不明真相，使30多歲的萊布尼茨長期蒙受冤屈。1699年，瑞士數學家法蒂奧德迪利給皇家學會寫文章，說萊布尼茨的思想獲自牛頓。接著，不少科學家接踵而至，都說萊布尼茨不是發明者。薩維爾天文學教授凱爾，則指控萊布尼茨是剽切者。為此，萊布尼茨參與了爭論，辯白自己的冤枉。但沒有人相信他。1716年11月14日，萊布尼茨含冤逝世，朝廷竟不聞不問，教士們也借口說萊布尼茨是「無信仰者」而不予理睬。

直到萊布尼茨死後，英國皇家學會為牛頓和萊布尼茨發現微積分的優先權問題，專門成立了調查評判委員會。經過長期調查，終於弄清事實，委員會在《通訊》上宣布，牛頓的「流數術」和萊布尼茨的「無窮小演算法」只是名詞不同，實質上是一回事，他倆都是微積分的發明人。

原來事情是這樣的，1676年，牛頓在寫給萊布尼茨的信中，宣布了他的二項式定理，提出了根據流的方程求流數的問題。但在他們交換的信件中，牛頓卻隱瞞了確定極大值和極小值的方法，以及作切線的方法等。而萊布尼茨在給牛頓的回信中寫道，他也發現了一種同樣的方法，並訴說了他的方法。這個方法與牛頓的方法幾乎沒有什麼兩樣。二者的區別是：牛頓主要是在力學研究的基礎上，運用幾何方法研究微積分；而萊布尼茨主要是在研究曲線和切線的面積問題上，運用分析學方法引進微積分概念，得出運演算法則。牛頓是在微積分的應用上更多地結合了運動學，造詣較萊布尼茨高出一籌。但萊布尼茨的表達式採用的數學符號，既簡潔又准確地揭示出微分、積分的實質，遠遠優於牛頓。因此，他們二人發明微積分各有千秋。

萊布尼茨1646年6月21日出生於德國東部的萊比錫城。他的父親是哲學教授，但在他6歲時父親就過早去世了。然而，父親留下的大量藏書卻為萊布尼茨提供了豐富的知識源泉。

萊布尼茨8歲入學，少年時就可以用多種語言表達思想。15歲時考入有名的萊比錫大學，開始對數學發生興趣。1666年，萊布尼茨轉入紐倫堡的何爾道夫大學。這一年他發表了第一篇數學論文《論組合的藝術》，顯示了他的數學才華。這篇論文，正是近代數學的一個分支「數理邏輯」的先聲，他也因此成為數理邏輯的創始人。

大學畢業後，萊布尼茨獲得法學博士學位，投身外交界。1672年3月他作為大使出訪法國巴黎，為期4年。在巴黎工作之餘鑽研數學，結識了荷蘭數學家惠更斯。並利用業余時間攻讀笛卡爾、費爾馬、帕斯卡等人的原著。為他步入數學王國的殿堂打下了堅實的基礎。

1676年，萊布尼茨到漢諾威，在那裡他博覽群書，創立了微積分的基本概念和運算方法，成就了他一生最偉大的發明。

萊布尼茨陸續創立了一些表示微積分的符號：dx表示微分，即拉丁文「differentia」的第一個字母，意為「分細」。∫表示積分，即拉丁文「summa」的第一個字母「s」拉長，意為「求和」。他創立的這些符號，為數學語言的規范化和獨立化起到了極為重要的推動作用。這些符號一直用到今天。

此外，萊布尼茨還提出了使用「函數」一詞，首次引進了「常量」，「變數」和「參變數」，確立了「坐標」、「縱坐標」的名稱。他對變分法的建立及在微分方程、微分幾何、某些特殊曲線（如懸鏈曲線）的研究上都做出了重大貢獻。

⑽ 微積分建立的時代背景和歷史意義

微積分（Calculus）是研究函數的微分、積分以及有關概念和應用的數學分支。
它是數學的一個基礎學科。內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。
微積分學基本定理指出，微分和積分互為逆運算，這也是兩種理論被統一成微積分學的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點來討論微積分學，但是在教學中，微分學一般會先被引入。
微積分學是微分學和積分學的總稱。 它是一種數學思想，『無限細分』就是微分，『無限求和』就是積分。無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎，它是用一種運動的思想看待問題。比如，子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，子彈每個瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念。如果將整個數學比作一棵大樹，那麼初等數學是樹的根，名目繁多的數學分支是樹枝，而樹乾的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。
極限和微積分的概念可以追溯到古代。到了十七世紀後半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數學家都參加過准備的工作，分別獨立地建立了微積分學。他們建立微積分的出發點是直觀的無窮小量，理論基礎是不牢固的。直到十九世紀，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴格的實數理論，這門學科才得以嚴密化。
微積分是與實際應用聯系著發展起來的，它在天文學、力學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學等多個分支中，有越來越廣泛的應用。特別是計算機的發明更有助於這些應用的不斷發展。
客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運動和變化著。因此在數學中引入了變數的概念後，就有可能把運動現象用數學來加以描述了。
由於函數概念的產生和運用的加深，也由於科學技術發展的需要，一門新的數學分支就繼解析幾何之後產生了，這就是微積分學。微積分學這門學科在數學發展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何後，全部數學中的最大的一個創造。
微積分學的建立
從微積分成為一門學科來說，是在十七世紀，但是，微分和積分的思想在古代就已經產生了。
公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學的思想。作為微分學基礎的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的《莊子》一書的「天下篇」中，記有「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」。三國時期的劉徽在他的割圓術中提到「割之彌細，所失彌小，割之又割，以至於不可割，則與圓周和體而無所失矣。」這些都是樸素的、也是很典型的極限概念。
到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產生的因素。歸結起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用於另一物體上的引力。
十七世紀的許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；義大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創立做出了貢獻。
十七世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題(積分學的中心問題)。
牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現在數學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重於從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重於幾何學來考慮的。
牛頓在1671年寫了《流數法和無窮級數》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變數是由點、線、面的連續運動產生的，否定了以前自己認為的變數是無窮小元素的靜止集合。他把連續變數叫做流動量，把這些流動量的導數叫做流數。牛頓在流數術中所提出的中心問題是：已知連續運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內經過的路程(積分法)。
德國的萊布尼茨是一個博才多學的學者，1684年，他發表了現在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用於分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。他以含有現代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發表了第一篇積分學的文獻。他是歷史上最偉大的符號學者之一，他所創設的微積分符號，遠遠優於牛頓的符號，這對微積分的發展有極大的影響。現在我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨精心選用的。
微積分學的創立，極大地推動了數學的發展，過去很多初等數學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學的非凡威力。
前面已經提到，一門科學的創立決不是某一個人的業績，他必定是經過多少人的努力後，在積累了大量成果的基礎上，最後由某個人或幾個人總結完成的。微積分也是這樣。
不幸的事，由於人們在欣賞微積分的宏偉功效之餘，在提出誰是這門學科的創立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立。英國數學在一個時期里閉關鎖國，囿於民族偏見，過於拘泥在牛頓的「流數術」中停步不前，因而數學發展整整落後了一百年。
其實，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究，在大體上相近的時間里先後完成的。比較特殊的是牛頓創立微積分要比萊布尼茨早10年左右，但是正式公開發表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發表早三年。他們的研究各有長處，也都各有短處。那時候，由於民族偏見，關於發明優先權的爭論竟從1699年始延續了一百多年。
應該指出，這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經歷一段時間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎方面的缺陷，最終導致了第二次數學危機的產生。
直到19世紀初，法國科學學院的科學家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，後來又經過德國數學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎。才使微積分進一步的發展開來。
任何新興的、具有無量前途的科學成就都吸引著廣大的科學工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟約翰·貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、科西……
歐氏幾何也好，上古和中世紀的代數學也好，都是一種常量數學，微積分才是真正的變數數學，是數學中的大革命。微積分是高等數學的主要分支，不只是局限在解決力學中的變速問題，它馳騁在近代和現代科學技術園地里，建立了數不清的豐功偉績。
微積分的基本內容
研究函數，從量的方面研究事物運動變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數學分析。
本來從廣義上說，數學分析包括微積分、函數論等許多分支學科，但是現在一般已習慣於把數學分析和微積分等同起來，數學分析成了微積分的同義詞，一提數學分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內容包括微分學和積分學。
微分學的主要內容包括：極限理論、導數、微分等。
積分學的主要內容包括：定積分、不定積分等。

微積分是與科學應用聯系著發展起來的。最初，牛頓應用微積分學及微分方程對第谷浩瀚的天文觀測數據進行了分析運算，得到了萬有引力定律，並進一步導出了開普勒行星運動三定律。此後，微積分學成了推動近代數學發展強大的引擎，同時也極大的推動了天文學、物理學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學各個分支中的發展。並在這些學科中有越來越廣泛的應用，特別是計算機的出現更有助於這些應用的不斷發展。
一元微分
定義： 設函數y = f(x)在某區間內有定義，x0及x0 + Δx在此區間內。如果函數的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示為 Δy = AΔx0 + o(Δx0)（其中A是不依賴於Δx的常數），而o(Δx0)是比Δx高階的無窮小，那麼稱函數f(x)在點x0是可微的，且AΔx稱作函數在點x0相應於自變數增量Δx的微分，記作dy，即dy = AΔx。
通常把自變數x的增量 Δx稱為自變數的微分，記作dx，即dx = Δx。於是函數y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函數的微分與自變數的微分之商等於該函數的導數。因此，導數也叫做微商。
幾何意義
設Δx是曲線y = f(x)上的點M的在橫坐標上的增量，Δy是曲線在點M對應Δx在縱坐標上的增量，dy是曲線在點M的切線對應Δx在縱坐標上的增量。當|Δx|很小時，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高階無窮小)，因此在點M附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。
[編輯本段]多元微分
同理，當自變數為多個時，可得出多元微分的定義。
積分是微分的逆運算，即知道了函數的導函數，反求原函數。在應用上，積分作用不僅如此，它被大量應用於求和，通俗的說是求曲邊三角形的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質決定的。
一個函數的不定積分（亦稱原函數）指另一族函數，這一族函數的導函數恰為前一函數。
其中：[F(x) + C]' = f(x)
一個實變函數在區間[a,b]上的定積分，是一個實數。它等於該函數的一個原函數在b的值減去在a的值。
一階微分與高階微分
函數一階導數對應的微分稱為一階微分;
一階微分的微分稱為二階微分;
.......
n階微分的微分稱為(n+1)階微分
即:d(n)y=f(n)(x)*dx^n (f(n)(x)指n階導數,d(n)y指n階微分,dx^n指dx的n次方)
一起來學微積分
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