数学归纳法的研究成果

『壹』 数学归纳法及其在中学数学中的应用 毕业论文

1.研究的背景、目的及意义
主要写三层意思，
第一，从给学生开阔视野的角度，在中学数学，数学归纳法主要用于证明题，给学生提供一个新的思路解题；
第二，从未来应用的角度，（不太确定文科教材里有没有数学归纳法），对于理科生，将来会涉及到计算机编程，数学归纳法是递归循环的简单形式，有利于学生今后理工科知识的理解和学习
第三，从应试角度，数学归纳法是中学数学的必修课，也是考试必考的知识点，也是比较好拿分的知识点
2.主要研究内容和预期目标
结合背景目的里的三层意思，主要研究内容围绕学生的认知水平，以及学生举一反三的能力来写：
第一，统计数学归纳法在学生中的理解程度，或者说，数学归纳法对大部分学生来说的难易程度，学生在那些方面理解不清楚，这些理解不清楚的情况是属于普遍现象还是个别现象；（比如文科生和理科生理解上有何不同）
预期目标：知道数学归纳法难在哪里，容易在哪里，要有统计数据
第二，学生对数学归纳法的认识，是否有学生认识到数学归纳法在实际生活中的意义，还是应试的情况居多，一些对数学感兴趣的同学有没有觉得数学归纳法给他们带来的方便
第三，学会了数学归纳法的同学是不是能更容易的理解计算机的递归循环算法，例如汉诺塔
3.拟采用方法，步骤
结合2中所说，主要通过统计方法，结合对学生的调查

差不多就这样吧，我不是学教育的，不知道合不合您的要求

『贰』 急需一篇关于数学归纳法的形式及其应用的开题报告要有设计论文工作的理论意义和应用价值目前研究的概况和

数学归纳法可以说是贯穿了整个数学的始终，就像我们大家所熟知的奇数与偶数的定义，合数与质数，等腰三角形与等边三角形定义，等差数列与等比数列的定义等等都是由归纳与类比得出来的，在看近几年的高考题时，我看到了几乎每个省每一年的高考题都会涉及用数学归纳法证明或是求解数列的问题。而我们读师范类院校的同学们毕业以后很有可能成为教师，作为教师的职责就是为学生们服务，我想初中的教师就应该研究中考题，高中的教师应该研究高考题，要是以后我们成了一名高中教师，我们就必须去把握高考动向，透彻把握高考考点，研究数学归纳法一方面可以为高考服务。

『叁』 什么叫数学归纳法，最好再有举例说明

在科学研究中运用归纳方法提出和建立假说，在实验基础上抽象和概括事物之间关系的一种科研方法。它是一种由个别到一般、从特殊到普遍、从经验事实到事物内在规律性的认识手段和模式。按照它自身的特点，大体可分为枚举归纳、消去归纳、渐近归纳、综合归纳4种类型。

科学归纳法的特点是：归纳逻辑的结论内容超出了前提所包含的内容，因而它是人们扩大知识、增加知识内容的一种逻辑手段。因此，其结论与前提之间的关系是或然关系 。归纳方法可用于提出假说和形成科学理论，但其归纳过程和思想上的直接猜测与假设不同。基于以上原因，运用科学归纳法应注意时时用经验、事实和实验对归纳的合理性和正确性给予验证，还必须注意用更概括的归纳校正所归纳的结果，在归纳过程中还应综合使用各种逻辑方法并使之有机结合起来。
例如，得出金属受热体积必然增大就可用这种科学
归纳法。

因为：铜受热体积增大，铁受热体积增大，如果金属受热，那么分子距离加大，如果金属分子距离加大，那么体积增大，所以，金属受热体积增大。

科学归纳法不仅适用于有限类，而且适用于无限类；不仅可以作为科学发现的方法，而且可以作为证明方法。它在科学认识过程中具有广泛的、重要的作用。

是指数学归纳法吗?它是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式；这就是著名的结构归纳法。最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成，这种方法是由下面两步组成:

递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立。

递推的依据: 证明如果当n = m时成立，那么当n = m + 1时同样成立。(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设。 不要把整个第二步称为归纳假设。)

这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。或许想成多米诺效应更容易理解一些；如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定：

第一张骨牌将要倒下。

只要某一个骨牌倒了,与他相临的下一个骨牌也要倒。

那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。

『肆』 什么是数学归纳法

数学归纳法
数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式；这就是著名的结构归纳法。
已知最早的使用数学归纳法的证明出现于
Francesco
Maurolico
的
Arithmeticorum
libri
o
(1575年)。Maurolico
证明了前
n
个奇数的总和是
n^2。
最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成，这种方法是由下面两步组成:
递推的基础:
证明当n
=
1时表达式成立。
递推的依据:
证明如果当n
=
m时成立，那么当n
=
m
+
1时同样成立。(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设。
不要把整个第二步称为归纳假设。)
这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。或许想成多米诺效应更容易理解一些；如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定：
第一张骨牌将要倒下。
只要某一个骨牌倒了,与他相临的下一个骨牌也要倒。
那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。
数学归纳法的原理作为自然数公理，通常是被规定了的(参见皮亚诺公理第五条)。但是它可以用一些逻辑方法证明；比如，如果下面的公理：
自然数集是有序的
被使用。
注意到有些其他的公理确实的是数学归纳法原理中的二者择一的公式化。更确切地说，两个都是等价的。
用数学归纳法进行证明的步骤：
（1）（归纳奠基）证明当
取第一个值时命题成立；证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；
（2）（归纳递推）假设
时命题成立，证明当
时命题也成立；证明了第二步，就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论；
（3）下结论：命题对从
开始的所有正整数
都成立。
注：
（1）用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可；
（2）在第二步中，在递推之前，
时结论是否成立是不确定的，因此用假设二字，这一步的实质是证明命题对
的正确性可以传递到时的情况.有了这一步，联系第一步的结论（命题对
成立），就可以知道命题对
也成立，进而再由第二步可知
即也成立，…，这样递推下去就可以知道对于所有不小于
的正整数都成立.在这一步中，
时命题成立，可以作为条件加以运用，而时的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明，不能直接将
代入命题.

『伍』 数学归纳法论文怎么写

这一类论文很多，你可以网络一下：第八次课题会研究成果。希望对你有参考。

『陆』 数学归纳法的基本步骤

1、(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

2、(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立。

这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。

(6)数学归纳法的研究成果扩展阅读

没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法．在n＝k到n＝k＋1的证明过程中寻找由n＝k到n＝k＋1的变化规律是难点，突破的关键是分析清楚p(k)与p(k＋1)的差异与联系，

利用拆、添、并、放、缩等手段，从p(k＋1)中分离出p(k)．证明不等式的方法多种多样，故在用数学归纳法证明不等式的过程中，比较法、放缩法、分析法等要灵活运用。

『柒』 数学归纳法的详细分类

数学归纳法是严谨的归纳,是一种证明方法

『捌』 自然数系与数学归纳法的研究意义

一，在数物体个数的时候，用来表示物体的个数的1，2，3，4，.....叫自然数，一个物体也没有的用0表示，没有最大的自然数，自然数都是整数。
二，自然的数有两方面的意义有两方面，一是表示满意事物的多少，称基数，二是表示事物的次序，称序数。如有3个学生，3是基数，第3个学生是序数。
三0表示一个也没有，表示正负数的分界，表示起点，计数时0还起占位作用。

『玖』 什么是归纳法

归纳法一般指归纳推理，是一种由个别到一般的推理。由一定程度的关于个别事物的观点过渡到范围较大的观点，由特殊具体的事例推导出一般原理、原则的解释方法。

1、归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程。

2、归纳推理除了完全归纳推理前提与结论间的联系是必然的外，前提和结论间的联系都是或然的，也就是说，前提真实，推理形式也正确，但不能必然推出真实的结论。

(9)数学归纳法的研究成果扩展阅读：

1、归纳可分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法是前提包含该类对象的全体，从而对该类对象作出一般性结论的方法。

2、归纳和演绎反映了人们认识事物两条方向相反的思维途径，前者是从个别到一般的思维运动，后者是从一般到个别的思维运动。

3、归纳推理是从认识研究个别事物到总结、概括一般性规律的推断过程。在进行归纳和概括的时候，解释者不单纯运用归纳推理，同时也运用演绎法。

4、科学归纳推理由于其主要特点是考察对象与属性之间的因果联系，因而有助于引导人们去探求事物的本质，发现事物的规律，从而比较可靠地把感性认识提升到理性认识。

『拾』 数学归纳法产生的历史背景

已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri o (1575年)。Maurolico 利用递推关系巧妙的证明出证明了前 n 个奇数的总和是 n^2，由此揭开了数学归纳法之谜。

无论是毛罗利科还是帕斯卡．也无论是伯努利还是其后的效学家们，虽然都在不断地使用效学归纳法．但在很长的时期内并授有给他们的方法以任何名称．只是由于沃利斯以及雅各布·伯努利的工作．才引进了 归纳法 这一名称．并在两种截然不同的意义上应用于效学：(1)以特恻获得一般结论的沃利斯方式I(2)指定从到 +l的论证．并且影响了其后的效学家们．使这种混用状态大约持续了140年．倒如，l9世纪上半叶，英国的效学家皮科克(G．Peacc~k，1791—1858)在他的《代效学)(Treatise∞ Algebra．剑桥．1830)的排列与组合部分．谈到。梅成的规律用归纳法延伸到任意效 ．是从。预攫f 意义上以沃利斯方式使用 归纳法 的．后来，他又将从“到R+1的论证称之为。证明归纳法 (demonstrativeinction)．在名称上迈出重要一步的是英国效学家德摩根(A．de Morgan，1806—1871)．1838年在伦敦出版的‘小网络全书》(Penny Cydopedia)中．越摩根在他的条目“归纳法(效学) 里建议使用“逐收归纳法 (Succesiveinction)．但在该条目的最后他偶然地使用了术语 效学归纳法 ，这是我们所能看到这一术语的最早一孜使用．
皮科克和德摩根的名称后来为英国效学家托德亨特(I．Todhunter．1B2O一1884)的‘代效)(1866年第4敝)所采用并因而得到广泛传播．他在该书中介绍这种证明方法时．使用了两个名称 “效学归纳法”和。证明归纳法 ，但该章的题目却用的是前者．这两十名称后来又为英国逻辑学家杰文斯(w．S．Jevons，1835—1882)的‘逻辑初等教程)(ElementaryLessons in Lo ，1882)以及菲科林(J．Ficklin)的‘完全代效)(CompteteAlgebra．1874)所使用，后者宣称是受惠于托德亨特．随着时间的推移，后来的通用教科书的作者们，倒如英国教育家、效学家克里斯托(chrysta1．1851-1911)的‘代效)第2卷以及霍尔(H．S．Hal1)和纳特(s．R．KmgM)台著的‘代效》(1898)、奥尔迪斯(w．S．Aktis)的‘代效教科书~(Textbook 0f Algebra．1887)等都只用。效学归纳法 而不再使用“证明归纳法”．