莱布尼茨发明微积分

① 谁发明了微积分

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。
牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。
牛顿
牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。
莱布尼茨
德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。

② 微积分真正算起来是牛顿发明的还是莱布尼茨发明的

微积分学的建立 从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。 公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。 牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。 德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。 微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。 前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。 不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。 其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右，但是整是公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。 应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。 直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。 任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西…… 欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。

③ 牛顿和莱布尼茨到底谁发明了微积分呢

牛顿和莱布尼兹分别发明的.

莱布尼兹于1673～1676年间发明了微回积分，1684年公布了论文答；牛顿于1665～1666年间发明了微积分，1687年公布在巨著《自然哲学的数学原理》中。微积分到底是谁发明的，这在世界科学史上曾是一桩公案。

④ 微积分的发明人是谁

1684年，《学术学报》上发表了德国数学家莱布尼茨的一篇文章，宣布他发现一种微分法，即“一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算”，1686年，他又发表了类似的文章，讨论“潜在的几何与分析不可分和无限”等。一年以后，物理学家牛顿出版了他的巨著《自然哲学之数学原理》，也谈到了他研究的求极大与极小的问题。实际上，他们俩人都发现了微积分的数学原理。于是，就有关创立微积分的优先权问题，发生了一场激烈的争论。遗憾的是，由于人们不明真相，使30多岁的莱布尼茨长期蒙受冤屈。1699年，瑞士数学家法蒂奥德迪利给皇家学会写文章，说莱布尼茨的思想获自牛顿。接着，不少科学家接踵而至，都说莱布尼茨不是发明者。萨维尔天文学教授凯尔，则指控莱布尼茨是剽切者。为此，莱布尼茨参与了争论，辩白自己的冤枉。但没有人相信他。1716年11月14日，莱布尼茨含冤逝世，朝廷竟不闻不问，教士们也借口说莱布尼茨是“无信仰者”而不予理睬。

直到莱布尼茨死后，英国皇家学会为牛顿和莱布尼茨发现微积分的优先权问题，专门成立了调查评判委员会。经过长期调查，终于弄清事实，委员会在《通讯》上宣布，牛顿的“流数术”和莱布尼茨的“无穷小算法”只是名词不同，实质上是一回事，他俩都是微积分的发明人。

原来事情是这样的，1676年，牛顿在写给莱布尼茨的信中，宣布了他的二项式定理，提出了根据流的方程求流数的问题。但在他们交换的信件中，牛顿却隐瞒了确定极大值和极小值的方法，以及作切线的方法等。而莱布尼茨在给牛顿的回信中写道，他也发现了一种同样的方法，并诉说了他的方法。这个方法与牛顿的方法几乎没有什么两样。二者的区别是：牛顿主要是在力学研究的基础上，运用几何方法研究微积分；而莱布尼茨主要是在研究曲线和切线的面积问题上，运用分析学方法引进微积分概念，得出运算法则。牛顿是在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼茨高出一筹。但莱布尼茨的表达式采用的数学符号，既简洁又准确地揭示出微分、积分的实质，远远优于牛顿。因此，他们二人发明微积分各有千秋。

莱布尼茨1646年6月21日出生于德国东部的莱比锡城。他的父亲是哲学教授，但在他6岁时父亲就过早去世了。然而，父亲留下的大量藏书却为莱布尼茨提供了丰富的知识源泉。

莱布尼茨8岁入学，少年时就可以用多种语言表达思想。15岁时考入有名的莱比锡大学，开始对数学发生兴趣。1666年，莱布尼茨转入纽伦堡的何尔道夫大学。这一年他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》，显示了他的数学才华。这篇论文，正是近代数学的一个分支“数理逻辑”的先声，他也因此成为数理逻辑的创始人。

大学毕业后，莱布尼茨获得法学博士学位，投身外交界。1672年3月他作为大使出访法国巴黎，为期4年。在巴黎工作之余钻研数学，结识了荷兰数学家惠更斯。并利用业余时间攻读笛卡尔、费尔马、帕斯卡等人的原著。为他步入数学王国的殿堂打下了坚实的基础。

1676年，莱布尼茨到汉诺威，在那里他博览群书，创立了微积分的基本概念和运算方法，成就了他一生最伟大的发明。

莱布尼茨陆续创立了一些表示微积分的符号：dx表示微分，即拉丁文“differentia”的第一个字母，意为“分细”。∫表示积分，即拉丁文“summa”的第一个字母“s”拉长，意为“求和”。他创立的这些符号，为数学语言的规范化和独立化起到了极为重要的推动作用。这些符号一直用到今天。

此外，莱布尼茨还提出了使用“函数”一词，首次引进了“常量”，“变量”和“参变量”，确立了“坐标”、“纵坐标”的名称。他对变分法的建立及在微分方程、微分几何、某些特殊曲线（如悬链曲线）的研究上都做出了重大贡献。

⑤ 微积分是谁发明的

艾萨克·牛顿、莱布尼茨。

十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科回学家牛顿和答德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。

他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题） 。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现时数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

(5)莱布尼茨发明微积分扩展阅读：

微积分的应用：

微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。

此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。

并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。微积分作为一门交叉性很强的科目，除了在物理等自然科学上有强实用性外，在经济学上也有很强的推动作用。

⑥ 微积分究竟是牛顿发明的还是莱布尼茨

牛顿和莱布尼茨分别从各自不同角度发明了微积分。牛顿是从物理学的角度发明出的微积分。莱布尼兹是从数学角度，采用了合理的数学符号进行表述，比较直观和方便理解，这些符号一直用到了现在还在应用。

十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。

他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。

(6)莱布尼茨发明微积分扩展阅读：

牛顿的发展

牛顿在1671年写了《流数术和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。

牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法） 。

莱布尼茨的发展

德国的莱布尼茨（又译“莱布尼兹”）是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。

就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。

1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现今我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。

参考资料来源：网络-微积分-微积分历史

⑦ 牛顿和莱布尼茨创立的微积分有什么异同

zhangxx55，你好：

1.1 牛顿的“流数术”

牛顿(I.Newton,1642-1727)1642年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭。1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗。笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。

牛顿于1664年秋开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展。1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文—《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”。

这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来。正是在这种意义下，牛顿创立了微积分。

牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度。1687年，牛顿出版了他的力学巨著《自然哲学的数学原理》，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作。而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表。

1.2 莱布尼茨的微积分工作

莱布尼茨(W.Leibniz,1646-1716)出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育。1672年至1676年，莱布尼茨作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作。这四年成为莱布尼茨科学生涯的最宝贵时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础。

1684年，莱布尼茨整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果，在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法》（简称《新方法》），它包含了微分记号以及函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含积分符号并给出了摆线方程：

莱布尼茨对微积分学基础的解释和牛顿一样也是含混不清的，有时他的是有穷量，有时又是小于任何指定的量，但不是零。

1.3 牛顿和莱布尼兹各自独立创立了微积分

牛顿和莱布尼茨就微积分的创立而言，尽管二者在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的。然而，一个局外人的一本小册子却引起了“科学史上最不幸的一章”：微积分发明优先权的争论。瑞士数学家德丢勒在这本小册子中认为，莱布尼茨的微积分工作从牛顿那里有所借鉴，进一步莱布尼茨又被英国数学家指责为剽窃者。这样就造成了支持莱布尼茨的欧陆数学家和支持牛顿的英国数学家两派的不和，甚至互相尖锐地攻击对方。这件事的结果，使得两派数学家在数学的发展上分道扬镳，停止了思想交换。

在牛顿和莱布尼茨二人死后很久，事情终于得到澄清，调查证实两人确实是相互独立地完成了微积分的发明，就发明时间而言，牛顿早于莱布尼茨；就发表时间而言，莱布尼茨先于牛顿。

“微积分基本定理”也称为牛顿—莱布尼茨定理，牛顿和莱布尼茨各自独立地发现了这一定理。微积分基本定理是微积分中最重要的定理，它建立了微分和积分之间的联系，指出微分和积分互为逆运算。

2.严格微积分的奠基者：柯西和魏尔斯特拉斯

2.1 先驱的努力

微积分学创立以后，由于运算的完整性和应用的广泛性，使微积分学成了研究自然科学的有力工具。但微积分学中的许多概念都没有精确的定义，特别是对微积分的基础—无穷小概念的解释不明确，在运算中时而为零，时而非零，出现了逻辑上的困境。

多方面的批评和攻击没有使数学家们放弃微积分，相反却激起了数学家们为建立微积分的严格而努力。从而也掀起了微积分乃至整个分析的严格化运动。

18世纪，欧陆数学家们力图以代数化的途径来克服微积分基础的困难，这方面的主要代表人物是达朗贝尔(d’Alembert,1717-1783)、欧拉和拉格朗日。达朗贝尔定性地给出了极限的定义，并将它作为微积分的基础，他认为微分运算“仅仅在于从代数上确定我们已通过线段来表达的比的极限”；欧拉提出了关于无限小的不同阶零的理论；拉格朗日也承认微积分可以在极限理论的基础上建立起来，但他主张用泰勒级数来定义导数,并由此给出我们现在所谓的拉哥朗日中值定理。欧拉和拉格朗日在分析中引入了形式化观点，而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格化提供了合理内核。

微积分的严格化工作经过近一个世纪的尝试，到19世纪初已开始见成效。首先是捷克数学家波尔察诺(B. Bolzano,1781-1848)1817年发表的论文《纯粹分析证明》，其中包含了函数连续性、导数等概念的合适定义、有界实数集的确界存在性定理、序列收敛的条件以及连续函数中值定理的证明等内容。

2.2 柯西对严格微积分的贡献

19世纪分析的严密性真正有影响的先驱则是法国数学家柯(A-L.Cauchy,1789-1857)。从1821年到1829年，柯西相继出版了《分析教程》、《无穷小计算教程》以及《微分计算教程》，它们以分析的严格化为目标，对微积分的一系列基本概念给出了明确的定义，在此基础上，柯西严格地表述并证明了微积分基本定理、中值定理等一系列重要定理，定义了级数的收敛性，研究了级数收敛的条件等，他的许多定义和论述已经非常接近于微积分的现代形式。柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱，向分析的全面严格化迈出了关键的一步。

然而，柯西的理论只能说是“比较严格”，不久人们便发现柯西的理论实际上也存在漏洞。比如柯西定义极限为：“当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，最终使它的值与该定值的差可以随意小，那么这个定值就称为所有其它值的极限”，其中“无限趋向于”、“可以随意小”等语言只是极限概念的直觉的、定性的描述，缺乏定量的分析，这种语言在其它概念和结论中也多次出现。

应该指出，微积分计算是在实数领域中进行的，但到19世纪中叶，实数仍没有明确的定义，对实数系仍缺乏充分的理解，而在微积分的计算中，数学家们却依靠了假设：任何无理数都能用有理数来任意逼近。当时，还有一个普遍持有的错误观念就是认为凡是连续函数都是可微的。基于此，柯西时代就不可能真正为微积分奠定牢固的基础。所有这些问题都摆在当时的数学家们面前。

2.3 威尔斯特拉斯之严格微积分

另一位为微积分的严密性做出卓越贡献的是德国数学家魏尔斯特拉斯。他定量地给出了极限概念的定义，这就是今天极限论中的“ε-δ”方法。魏尔斯特拉斯用他创造的这一套语言重新定义了微积分中的一系列重要概念，特别地，他引进的一致收敛性概念消除了以往微积分中不断出现的各种异议和混乱。

另外，魏尔斯特拉斯认为实数是全部分析的本源，要使分析严格化，就先要使实数系本身严格化。而实数又可按照严密的推理归结为整数。因此，分析的所有概念便可由整数导出。这就是魏尔斯特拉斯所倡导的“分析算术化”纲领。基于魏尔斯特拉斯在分析严格化方面的贡献，在数学史上，他获得了“现代分析之父”的称号。

1857年，魏尔斯特拉斯在课堂上给出了第一个严格的实数定义，但他没有发表。1872年，戴德金(R. Dedekind, 1831-1916)、康托尔(B. Cantor,1829-1920)几乎同时发表了他们的实数理论，并用各自的实数定义严格地证明了实数系的完备性。这标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。

3.结论

牛顿和莱布尼兹两人独自创立了微积分，柯西和威尔斯特拉斯使严格微积分诞生。

⑧ 微积分是牛顿是莱布尼茨优先发明的

牛顿先用的，他是根据物理的背景，用微积分解决问题。莱布尼茨完整的定义了微积分的运算，并做了推导，与我们用的微积分基本相同。一般来说认为他们同时发明的…

⑨ 简述牛顿和莱布尼兹发明微积分的历史背景、发明方法、应用价值的异同

牛顿与莱布尼兹创立微积分之解析点击数：63次 录入时间：2013/4/15 9:51:00 编辑：liuxinyuan2012[宣传赚点]下一页12 今天,微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。恩格斯说过:“在一切理论成就中,未有象十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了,如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是在这里。”[1](p.244)本文试从牛顿、莱布尼兹创立“被看作人类精神的最高胜利”的微积分的时代背景及哲学思想对其展开剖析。

一、牛顿所处的时代背景及其哲学思想

“牛顿(IsaacNewton,1642-1727)1642年生于英格兰。⋯⋯,1661年,入英国剑桥大学,1665年,伦敦流行鼠疫,牛顿回到乡间,终日思考各种问题,运用他的智慧和数年来获得的知识,发明了流数术(微积分)、万有引力和光的分析。”[2](p.155)

1665年5月20日,牛顿的手稿中开始有“流数术”的记载。《流数的介绍》和《用运动解决问题》等论文中介绍了流数(微分)和积分,以及解流数方程的方法与积分表。1669年,牛顿在他的朋友中散发了题为《运用无穷多项方程的分析学》的小册子,在这里,牛顿不仅给出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化率的普遍方法,而且证明了面积可以由求变化率的逆过程得到。因为面积也是用无穷小面积的和来表示从而获得的。所以牛顿证明了这样的和能由求变化率的逆过程得到(更精确地说,和的极限能够由反微分得到),这个事实就是我们现在所讲的微积分基本定理。这里“,牛顿使用的是无穷小方法,把变量的无限小增量叫做“瞬”,瞬是无穷小量,是不可分量,或是微元,牛顿通过舍弃“瞬”求得变化率。”[3](p.199)1671年牛顿将他关于微积分研究的成果整理成《流数法和无穷级数》(1736),在这里,他认为变量是连续运动产生的,他把变量叫做流,变量的变化率叫做流数。牛顿更清楚地陈述了微积分的基本问题:已知两个流之间的关系,求它们流数之间的关系,以及它的逆问题。《流数法和无穷级数》是一部较完整的微积分著作。书的后半部分通过20个问题广泛地介绍了流数法各无穷级数的应用。1676年,牛顿写出了《求曲边形的面积》(1704),在这里,牛顿的微积分思想发生了重大变化,他放弃了微元或无穷小量,而采用了最初比和最后比的方法。

1687年牛顿发表了它的划时代的科学名著《自然哲学的数学原理》,流数术(即微积分)是其三大发现之一。正如爱因斯坦所说的:“牛顿啊⋯⋯你所发现的道路在你的那个时代是一位具有最高思维能力和创造能力的人所发现的唯一道路,你所创造的概念即使在今天仍然指导着我们的物理学思想”。[4](p.192)

牛顿生活的时代正是英国发生变化的时代,当时英国发生了国内战争,资产阶级和贵族的阶级妥协,使英国资产阶级革命明显的带上了不彻底性。当时的英国资产阶级正在为现存的剥削阶级的一切上层建筑做永恒存在的论证,因此绝对化的思想成为占统治地位的主导思想,它也影响到当时的自然科学家们把形而上学的思想方法绝对化。牛顿的思想也受到了英国资产阶级革命不彻底性的影响,因而牛顿也往往不能从自然界本身或事物的本身来寻找最初的原因,而借助于外来的推动力。

牛顿在30岁以前发现了微积分,并建立了经典力学体系,而他的后半生在自然科学的研究上几乎一事无成。这是由于在资本主义产生和形成的时期,资产阶级曾经向宗教神学发起冲击,帮助科学从神学中解放出来。但是当资产阶级的地位巩固以后,阶级斗争逐渐激化之时,资产阶级就逐渐衰退,他们就抓住各种各样的宗教信念作为奴役人民的思想武器。牛顿受其影响很大,其前半生由于自发的唯物主义的思想倾向,使他获得了巨大成就,而后半生则完全沉迷于神学的研究。

牛顿继承了培根的经验主义传统,特别重视实验和归纳推理的作用,他曾断言,自然科学只能从经验事实出发解释世界。这在当时对打击经院哲学的崇尚空谈、妄称神意来歪曲自然界是起过积极作用的。但是“,牛顿却拘泥于经验事实,片面强调归纳的重要性。只有大量的感性材料,一切停留在事物的现象上,单独依靠归纳的方法是得不出系统的普遍性的理性认识来的。在分析和综合、演绎和归纳的问题上,形而上学使牛顿陷入了矛盾。”[5](p.123)

二、莱布尼兹所处的时代背景及其哲学思想

“莱布尼兹(GottfriedWilhelmLeibniz,1646-1716)生于德国。⋯⋯,1672年赴巴黎,在那里接触到惠更斯等一些数学名流,引其进入了数学领域,开始微积分的创造性工作。”[2](p.165)

1684年莱布尼茨发表了数学史上第一篇正式的微积分文献《一种求极限值和切线的新方法》。这篇文献是他自1673年以来的微积分研究的概括与成果,其中定义了微分,广泛地采用了微分符号dx、dy,还给出了和、差、积、商及乘幂的微分法则。同时包括了微分法在求切线、极大、极小值及拐点方面的应用。两年后,又发表了一篇积分学论文《深奥的几何与不

变量及其无限的分析》,其中首次使用积分符号“∫”,初步论述了积分(或求积)问题与微分求切线问题的互逆问题。即今天大家熟知的牛顿-莱布尼茨公式∫baf(x)dx=f(b)-f(a),为我们勾画了微积分学的基本雏形和发展蓝图。
“牛顿建立微积分是从运动学的观点出发,而莱布尼兹则从几何学的角度去考虑,所创设的微积分符号远远优于牛顿符号,并有效地促进了微积分学的发展。”[6](p.120)牛顿发现微积分(1665-1666年)比莱布尼茨至少早了9年,然而莱布尼茨公开发表它的微积分文章比牛顿早3年。据莱布尼茨本人提供的证据说明他是在1674年形成了微分的思想与方法。如果说,牛顿建立微积分主要是从运动学的观点出发,而莱布尼兹则是从哲学的和几何学的角度去考虑,特别是和巴罗的“微分三角形”有密切关系,莱布尼兹称它为“特征三角形”。巴罗的微分三角形对莱布尼兹有着重要启发,对微分三角形的研究,使他意识到求切线和求积问题是一对互逆的问题。莱布尼兹第一个表达出微分和积分之间的互逆关系。

莱布尼兹的许多研究成果和思想的发展,都包含在从1673年起写的但从未发表过的成百页的笔记中。1673年左右,他看到求曲线的切线的正问题和反问题的重要性,他完全相信反方法等价于通过求和来求面积和体积。1684年,莱布尼兹发表第一篇微分学论文《一种求极大、极小和切线的新方法,它也适用于分式或无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算》,对他以往的研究作了初步整理,叙述了微分学的基本原理,认为函数的无限小增量是自变量无限小变

化的结果,且把这个函数的增量叫做微分,用字母d表示。1675-1676年间,他从求曲边形面积出发得到积分的概念,给出微积分基本定理∫baf(x)dx=f(b)-f(a)。1686年莱布尼兹发表积分学论文《潜在的几何与分析不可分和无限》。1693年,他给出了上述定理的一个证明。以上这些都发表在《教师学报》上。将微分和积分统一起来,是微积分理论得以建立的一个重要标志。莱布尼兹出生在德国路德派诸侯与天主教诸侯之间的对立而引起的“三十年战争”结束前。为了改变宗教纷争的局面,莱布尼兹立志要发现一种新的天主教和路德教都能适合的关于实体的学说,以成为两派教会得以联合的哲学基础。虽然莱布尼兹的意图是不可能实现的,但他后来却因此提出了一种与笛卡尔不同的实体学说———单子论。

“单子论是莱布尼兹哲学的核心内容。莱布尼兹认为一切事物都由单子这种精神的实体构成的,这种‘单子’既非物质的而又具有一定的质,它是精神性的,莱布尼兹就把它比之于灵魂。只有精神的单子才是真实的存在的实体,从单子是不可分的,即没有部分的“单纯”实体这一点出发,莱布尼兹就推论出它的一系列特征:单子没有部分,它就不能以自然的方式通过各部分的组合而产生,或通过各部分的分解而消灭,因此它的生灭只能出于上帝的突然创造或毁灭;单子没有部分,就不能设想有什么东西可以进入其内部来造成变化,这样,单子就成了各自独立或彻底孤立的东西,各单子之间不能有任何真正的相互作用或影响。单子之间没有量的差异,而只有质的不同。”[7](p.85)

总之,莱布尼兹的基本观点是唯心主义的,也是形而上学的。他把宇宙的秩序都归因于上帝的预先决定。他肯定许多必然真理并非来自经验,他认为不但认识的对象都是由精神性的“单子”所构成。而且认识的主体也只能作为精神实体的心灵这种“单子”。他把一切发展变化都归因于上帝的“前定”,实际也就否定了真正的发展,这是他的观点的消极的一面。但另一方面,莱布尼兹的哲学也有积极方面,它的哲学中含有丰富的辩证法思想,他肯定实体本身就具有力,因而是能动的,实质上肯定了物质与运动不可分的思想,他试图解决“不可分的点”和“连续性”的矛盾问题,接触到了个别与全体、间断性与连续性的对立统一问题,对促进理性和经验的辩证结合做出了一定的贡献。

三、牛顿、莱布尼兹创立微积分之比较

牛顿和莱布尼兹用各自不同的方法,创立了微积分学。如果说牛顿接近最后的结论要比莱布尼兹早一些,那么莱布尼兹发表自己的结论要早于牛顿。虽然牛顿的微积分应用远远超过莱布尼兹的工作,刺激并决定了几乎整个十八世纪分析的方向,但是莱布尼兹成功地建立起更加方便的符号体系和计算方法。两位微积分的奠基人,一位具有英国式的处事谨慎,治学严谨的风度,一位具有德国人的哲理思辨心态,热情大胆。由于阴阳差错的时代背景,过分追求严谨的牛顿迟迟未将自己的发现发表,让莱布尼茨抢了一个发表的头筹。

牛顿和莱布尼兹的哲学观点的不同导致了他们创立微积分的方法不同。牛顿坚持唯物论的经验论,特别重视实验和归纳推理。他在研究经典力学规律和万有引力定律时,遇到了一些无法解决的数学问题,而这些数学问题用欧几里德几何学和16世纪的代数学是无法解决的,因此牛顿着手研究新的以求曲率、面积、曲线的长度、重心、最大最小值等问题的方法———流数法。“牛顿的研究采用了最初比和最后比的方法。他认为流数是初生量的最初比或消失量的最后比。初生量的最初比就是在初生的瞬间的比值,消失量的最后比就是量在消失的瞬间的比值。”[4](p.180)这个解释太模糊了,算不上精确的数学概念,只不过是一种直观的描述。最初比和最后比的物理原型是初速度与末速度的数学抽象,在物体作位置移动的过程中的每一瞬间具有的速度是自明的,牛顿就是从这个客观事实出发提出了最初比和最后比的直观概念。这样他就给出了极限的观点。

莱布尼兹的微积分创造始于研究“切线问题”和“求积问题”,他从微分三角形认识到:求曲线的切线依赖于纵坐标之差与横坐标之差的比值;求曲边图形的面积则依赖于在横坐标的无限小区间上的纵坐标之和或无限薄的矩形之和。莱布尼兹认识到求和与求差运算是可逆的。莱布尼兹用无穷小的思想给出了微积分的基本定理,并发展成为高阶微分。莱布尼兹的无穷小是分阶的,这源于他哲学中的单子论思想。“莱布尼兹在单子论中指出:不同的单子其知觉

的清晰程度是不一样的,并从一种知觉向另一种知觉过渡和变化,发展就是由单子构成的事物,由低级向高级的不同等级的序列。”[6](p.91)可以说,莱布尼兹的无穷小的分阶正是和它的客观唯心论的哲学体系中那个不同层次的单子系统是相对应的。莱布尼兹在微积分的研究过程中,连续性原则成为其工作的基石,而连续性原则是扎根于他哲学中无限的本质的思想。

牛顿和莱布尼兹创立微积分的相同点有:从不同的角度创立了一门新的数学学科,使微积分具有广泛的用途并能应用于一般函数;用代数的方法从过去的几何形式中解脱出来;都研究了微分与反微分之间的互逆关系。

牛顿和莱布尼兹创立微积分的不同点主要有:牛顿继承了培根的经验论,对归纳特别青睐。牛顿的微积分明显带着从力学脱胎而来的物理模型的痕迹,以机械运动的数学模型出现,其中的基本概念,如初生量、消失量、瞬、最初比和最后比等概念都来自机械运动,是机械运动瞬间状态的数学抽象。他建立微积分的目的是为了解决特殊问题,强调的是能推广的具体结果。而莱布尼兹强调能够应用于特殊问题的一般方法和算法,以便统一处理各种问题。莱布尼兹在符号的选择上花费了大量的时间,发明了一套富有提示性的符号系统。他把sum(和)的第一个字母S拉长表示积分,用dx表示x的微分,这套简明易懂又便于使用的符号一直沿用至今。

牛顿认为微积分是纯几何的自然延伸,关心的是微积分在物理学中的应用。经验、具体和谨慎是他的工作特点,这种拘束的做法,使他没有能尽情发挥。而莱布尼兹关心的是广泛意义下的微积分,力求创造建立微积分的完善体系。他富于想象,喜欢推广,大胆而且有思辩性,所以毫不犹豫地宣布了新学科的诞生。

牛顿和莱布尼兹都是他们时代的科学巨人。微积分之所以能成为独立的学科并给整个自然科学带来革命性的影响,主要是靠了牛顿与莱布尼兹的工作。从牛顿和莱布尼兹创立微积分的过程中可以看出:当巨人的哲学的沉思变成科学的结论时,对科学发展的影响是深远的。

⑩ 牛顿莱布尼茨什么时候发明的微积分

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，内变量是容由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。
1684年，德国的莱布尼茨发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。