创造基本不等式历史

① 基本不等式所有公式

调和平均数=<几何平均数=<算术平均数=<平方平均数
2/((1/a)+(1/b))=<(ab)^(1/2)=<(a+b)/2=<(a^2+b^2)^(1/2)/2

② 基本不等式的概念

<<不等式的基本性质>>教学设计
一、教学目标：

（一）知识技能

1．掌握不等式的三条基本性质。

2．运用不等式的基本性质将不等式变形。

（二）数学思考

1．通过联想等式的性质，探索不等式的性质，初步体会“类比”的数学思想。

2．通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般、由具体到抽象的认知过程，感受数学思考过程的条理性，发展思维能力和语言表达能力。

（三）解决问题

1．学生经历观察、探究、归纳、总结等过程，获得解决数学问题的经验和方法，能够运用不等式的基本性质解决简单的问题。

2．通过运用不等式的基本性质将不等式变形，形成解决问题的一些基本策略，发展学生用数学意识。

（四）情感态度

通过探究不等式基本性质的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好思维品质。培养学生对数学的好奇心与求知欲，并从数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心。

二、教学重点：

探索不等式的三条基本性质并能正确运用它们将不等式变形。

三、教学难点：

不等式基本性质3的探索与运用。

四、教学方法：自主探究——合作交流

五、教学媒体：投影仪

六、教学过程:

【活动一】

问题1．举例说明什么是不等式？

学生积极口答。

问题2．判断下列各式是否成立？并说明理由。

( 1 ) 若x－3=12, 则x＝15 ( )

( 2 ) 若3x=12, 则 x＝4 ( )

( 3 ) 若x－3＞12 则 x＞15 ( )

( 4 ) 若3x＞12 则 x＞4 ( )

教师用投影出示问题，学生思考、回答，（1）、（2）小题唤起对旧知识——等式的基本性质的回忆，（3）、（4）小题引导学生大胆说出自己的想法。

教师小结：当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到它是否与等式有相类似的性质。这节课我们就通过类比来探究不等式的基本性质。

在本次活动中，教师应重点关注：（1）学生对等式基本性质的记忆和理解；（2）学生对不等式变形结果的推断。

设计意图：通过复习既找准了旧知停靠点，又创设了一种情境，给学生提供了类比、想象的空间，为后续学习做好了铺垫。

【活动二】

问题2．由等式性质1你能猜想一下不等式具有什么样的性质吗？

估计学生会猜：不等式两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），所得结果仍是不等式。此时教师加以引导，“＝”没有方向性，所以可以说所得结果仍是等式，而不等号：“＞，＜，≥，≤”具有方向性，我们应该重点研究它在方向上的变化。

问题3．你能通过实验、猜想，得出进一步的结论吗？

同桌同学通过实例验证得出结论，师生共同总结不等式性质1。

问题4．你能由等式性质2进一步猜想不等式还具有什么性质吗？

学生可能会猜：不等式两边都乘或除以同一个数（除数不能是0），不等号的方向不变。教师不置可否，而是鼓励学生实践是检验真理的唯一标准。

问题5．你能和小伙伴一起来验证你们的猜想吗？

学生在四人小组内合作交流，发现了在不等式两边都乘或除以同一个数时，不等号的方向会出现两种情况。教师进一步引导学生通过分析、比较探索规律，从而形成共识，归纳概括出不等式性质2和3。

设计意图：把猜想作为教学的出发点，启发学生积极思维，探索规律，把课堂变为学生再发现、再创造的乐园。让学生在“做”数学中学数学，真正成为学习的主人。

问题6．在不等式两边都乘0会出现什么情况？

问题7．如果a、b、c表示任意数，且a＜b，你能用a、b、c把不等式的基本性质表示出来码？

教师指导学生先作变形再填不等号，对字母c的取值进行讨论，培养学生的分类意识。

设计意图：把文字语言转化为数学语言，是数学学习中的一项基本能力，这里有意识地进行渗透，对培养学生的思维能力有十分重要的意义。

问题8．想一想，不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同之处，有什么不同之处？

学生思考，独立总结异同点。

在本次活动中，教师应重点关注：（1）学生是否能够运用类比猜想并通过对具体实例的验证、归纳、概括，得出不等式的三条基本性质；（2）学生在不等式的基本性质2、3的探索中是否能正确分类；（3）学生对不等式的基本性质2、3与等式的基本性质2的比较与认识。

设计意图：引导学生把二者进行比较，有助于加深对不等式基本性质的理解，促成知识的“正迁移”。

【活动三】

问题9．你能运用不等式的基本性质解决问题吗？

1．课本61页例2

教师解释x＞a或x＜a的特点，并由学生依据不等式的基本性质口述解题过程，然后投影示范。

2．课本62页例3

教师引导学生观察每个问题是由a＞b经过怎样的变形得到的，应该应用不等式的哪条基本性质。由学生思考后口答，教师投影示范。

设计意图：对学生进行推理训练，让学生明白，叙述要有根据，进一步提高学生的逻辑思维能力和语言表达能力。

问题10．你认为在运用不等式的基本性质时哪一条性质最容易出错，应该怎样记住？

同桌之间互说悄悄话，传授学习窍门。

设计意图：及时进行学习反思，总结经验，通过相互评价学习效果，及时发现问题、解决知识盲点，培养学生的创新精神和实践能力。

3．小军的困惑

小军用不等式的基本性质将不等式m＞n进行变形，两边都乘以4，4m＞4n，两边都减去4m, 0＞4n－4m,即0＞4(n－m)，两边都除以（n－m）,得0＞4，0怎么会大于4呢？

小军可糊涂了……

聪明的同学，你能告诉小军他究竟错在什么地方吗？

同桌讨论，教师对活动积极、细心的同学提出表扬。

设计意图：通过替人排忧解难，强化对不等式三个基本性质的理解与运用，突出重点，突破难点。

4．孙悟空火眼金睛

①a＞2, 则3a___2a

②2a＞3a,则 a ___ 0

在本次活动中，教师应重点关注：学生能否正确运用不等式的基本性质将不等式进行简单地变形。特别是在运用不等式基本性质3时是否注意到了两个改变：性质符号的改变和不等号方向的改变。

设计意图：通过变式训练，加深学生对新知的理解，培养学生分析、探究问题的能力。

【活动四】

拓广探索：

你来决策

咱们班的王帅同学准备在五、一期间和他的爸爸、妈妈外出旅游。青年旅行社的标准为：大人全价，小孩半价；方正旅行社的标准为：大人、小孩一律八折。若两家旅行社的基本价一样，你能帮王帅同学考虑一下选择哪家旅行社更合算吗？

教师投影出示题目，学生在小组内讨论交流，教师深入学生之中，点拨、引导，最后展示解题过程。

在本次活动中，教师应重点关注：学生在面临实际问题时，是否主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。

设计意图：利用所学的数学知识，解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段。既培养了学生用数学知识解决实际问题的能力，又树立了学好数学的信心。

七、小结：

这节课你有哪些收获？有何体会？你认为自己的表现如何？

教师引导学生回顾、思考、交流。

教师重点关注：（1）学生归纳总结能力；（2）能否对问题有进一步思考；（3）能否发表自己的见解，倾听他人的意见，反思学习过程；（4）学生对性质的理解程度。

设计意图：回顾、总结、矫正、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络。

③ 关于基本不等式的一道题

图

④ 基本不等式的介绍

任两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

⑤ 基本不等式怎么推出来的

2ab≤a2+b2
两边同时加上a2+b2，得到
a2+b2+2ab≤2(a2+b2)
∴(a+b)2≤2(a2+b2)

两边同时除以4即可得到书上的不等式。

⑥ 基本不等式的变形公式一共有几个

基本不等式通常是指均值不等式，在（a>=0,b>=0）常见的有变形有以下几种：

①√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)

②√(ab)≤(a+b)/2

③a²+b²≥2ab

④ab≤(a+b)²/4

⑤||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|

(6)创造基本不等式历史扩展阅读：

基本不等式在学习的过程中一定要理清大小关系，以及大于等于中等于存在的条件，另外在学习的时候还需要注意根号下函数的定义域。

基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

⑦ 关于基本不等式的一直没搞清。

不等式右边哪个是定值，才有可能出现ab的最值

⑧ 基本不等式研究背景

不知所云！