数学领域中的发明心理学

6. 当代数学，心理学的名人

心理学主要流派

弗洛伊德 精神分析学派
华生 行为主义心理学
皮亚杰 发生认识论，儿童发展心理学
还有认知心理学、格式塔心理学，代表人物比较多。

这些理论网络就有。

7. 数学家有哪些发明了什么对世界有多大成就

1、牛顿：微积分的创建、万有引力。2、欧拉：无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为“分析学的化身”。另外，欧拉还创设了许多数学符号，一直使用至今，如π，i，e，sin，cos，tg，Δx，Σ，f(x)等。而哥德巴赫猜想也是在他与哥德巴赫的通信中首先提出来的。欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论，创立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化了望远镜、显微镜的设计计算理论等等。4、伽罗瓦：首次引入了“群”的概念，（寄给大数学家柯西审阅，可惜柯西轻视该文，未认真审阅，致使该理论推迟了50年）18岁时，再次寄出，这次寄给大数学家傅立叶，可惜傅立叶病死，未能审阅。19岁时，第三次寄出，这次寄给了大数学家泊松，但是泊松最终给的批语是“完全无法理解”。这些失误致使“群伦”这一数学最重要的分支迟到了50年的时间。5、亨利·庞加莱，庞加莱一生发表的科学论文约500篇、科学著作约30部，几乎涉及到数学的所有领域以及理论物理、天体物理等的许多重要领域。6、希尔伯特。希尔伯特的研究涉及现代数学的许多领域，如不变量理论、代数数论、几何基础、积分方程和物理学的公理化、数学基础和数理逻辑等。希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一，对他提出的23个问题，似乎至今仍在促进现代数学的研究和发展。大数学家韦尔（H.Weyl）在希尔伯特去世时的悼词中曾说：“希尔伯特就像穿杂色衣服的风笛手，他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠，跟着他跳进了数学的深河。”7、陈省身：陈省身开创并领导着整体微分几何、纤维丛微分几何、“陈省身示性类”等领域的研究，他是有史以来唯一获得世界数学界最高荣誉“沃尔夫奖”的华人，被称为“当今最伟大的数学家”，被国际数学界尊为“微分几何之父”。
国际著名数学大师，沃尔夫数学奖得主，陈省身
1931年入清华大学研究院，1934军获硕士学位．1934年去汉堡大学从Blaschke学习.1937年回国任西南联合大学教授．1943年到1945年任普林斯顿高等研究所研究员．1949年初赴美，旋任芝加哥大学教授.1960年到加州大学伯克利分校任教授，1979年退休成为名誉教授，仍继续任教到1984年．1981年到1984年任新建的伯克利数学研究所所长，其后任名誉所长。陈省身的主要工作领域是微分几何学及其相关分支．还在积分几何，射影微分几何，极小子流形，网几何学，全曲率与各种浸入理论，外微分形式与偏微分方程等诸多领域有开拓性的贡献．陈省身本有极多荣誉，包括中央研究院院士（1948）．美国国家科学院院士（1961）及国家科学奖章（1975），伦敦皇家学会国外会员（1985），法国科学院国外院士’（1989），中国科学院国外院士等。荣获1983／1984年度Wolf奖，及1983年度美国科学会Steele奖中的终身成就奖．
2．享有国际盛誉的大数学家，新中国数学事业发展的重要奠基人 华罗庚
华罗庚是一位人生经历传奇的数学家，早年辍学，1930年因在《科学》上发表了关于代数方程式解法的文章，受到熊庆来的重视，被邀到清华大学学习和工作，在杨武之指引下，开始了数论的研究。1936年，作为访问学者去英国剑桥大学工作。1938年回国，受聘为西南联合大学教授。1946年应美国普林斯顿高等研究所邀请任研究员，并在普林斯顿大学执教。1948年开始，他为伊大学教授。1950年回国，先后任清华大学教授，中国科学院数学研究所所长，数理化学部委员和学部副主任，中国科学技术大学数学系主任、副校长，中国科学院应用数学研究所所长，中国科学院副院长、主席团委员等职。还担任过多届中国数学会理事长。此外，华罗庚还是第一、二、三、四、五届全国人民代表大会常务委员会委员和中国人民政治协商会议第六届全国委员会副主席。华罗庚是在国际上享有盛誉的数学家，他的名字在美国施密斯松尼博物馆与芝加哥科技博物馆等著名博物馆中，与少数经典数学家列在一起。他被选为美国科学院国外院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士。又被授予法国南锡大学、香港中文大学与美国伊利诺伊大学荣誉博士。华罗庚在解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等广泛数学领域中都作出卓越贡献。由于华罗庚的重大贡献，有许多用他他的名字命名的定理、引理、不等式、算子与方法。他共发表专著与学术论文近三百篇。华罗庚还根据中国实情与国际潮流，倡导应用数学与计算机研制。他身体力行，亲自去二十七个省市普及应用数学方法长达二十年之久，为经济建设作出了重大贡献。
3．仅次于哥德尔的逻辑数学大师，王浩
1943年于西南联合大学数学系毕业。1945年于清华大学研究生院哲学部毕业。1948年获美国哈佛大学哲学博士学位。1950～1951年在瑞士联邦工学院数学研究所从事研究工作1951～1953年任哈佛大学助理教授。1954～1961年在英国牛津大学作第二套洛克讲座讲演,又任逻辑及数理哲学高级教职。1961～1967 年任哈佛大学教授。1967年后任美国洛克斐勒大学教授,主持逻辑研究室工作。1985年兼任中国北京大学名誉教授。1986年兼任中国清华大学名誉教授。50年代 初被选为美国国家科学院院士,后又被选为不列颠科学院外国院士，美籍华裔数学家、逻辑学家、计算机科学家、哲学家。
4．著名数学家力学家，美国科学院院士，林家翘
1937年毕业于清华大学物理系。1941年获加拿大多伦多大学硕士学位。1944年获美国加州理工学院博士学位。1953 年起先后担任美国麻省理工学院数学教授、学院教授、荣誉退休教授。 林家翘教授曾获:美国机械工程师学会Timoshenko奖，美国国家科学院应用数学和数值分析奖，美国物理学会流体力学奖。他是美国国家文理学院院士(1951)，美国国家科学院院士(1962)，台湾“中央研究院”院士(1960)。从40年代开始，林家翘教授在流体力学的流动稳定性和湍流理论方面的工作带动了整整一代人在这一领域的研究探索。从60年代开始，他进入天体物理的研究领域，开创了星系螺旋结构的密度波理论，并为国际所公认。1994年6月8日当选为首批中国科学院外籍士。
1.费尔马大定理，起源于三百多年前，挑战人类3个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。终于在1994年被安德鲁·怀尔斯攻克。古希腊的丢番图写过一本著名的“算术”，经历中世纪的愚昧黑暗到文艺复兴的时候，“算术”的残本重新被发现研究。
1637年，法国业余大数学家费尔马（Pierre de Fremat）在“算术”的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：x^n＋ y^n ＝z^n 是不可能的（这里n大于2；a，b，c，n都是非零整数)。此猜想后来就称为费尔马大定理。费尔马还写道“我对此有绝妙的证明，但此页边太窄写不下”。一般公认，他当时不可能有正确的证明。猜想提出后，经欧拉等数代天才努力，200年间只解决了n＝3,4,5,7四种情形。1847年，库木尔创立“代数数论”这一现代重要学科，对许多n（例如100以内）证明了费尔马大定理，是一次大飞跃。
历史上费尔马大定理高潮迭起，传奇不断。其惊人的魅力，曾在最后时刻挽救自杀青年于不死。他就是德国的沃尔夫斯克勒，他后来为费尔马大定理设悬赏10万马克（相当于现在160万美元多），期限1908－2007年。无数人耗尽心力，空留浩叹。最现代的电脑加数学技巧，验证了400万以内的N，但这对最终证明无济于事。1983年德国的法尔廷斯证明了：对任一固定的n，最多只有有限多个a，b，c振动了世界，获得费尔兹奖（数学界最高奖）。
历史的新转机发生在1986年夏，贝克莱·瑞波特证明了:费尔马大定理包含在“谷山丰—志村五朗猜想 ” 之中。童年就痴迷于此的怀尔斯，闻此立刻潜心于顶楼书房7年，曲折卓绝，汇集了20世纪数论所有的突破性成果。终于在1993年6月23日剑桥大学牛顿研究所的“世纪演讲”最后，宣布证明了费尔马大定理。立刻震动世界，普天同庆。不幸的是，数月后逐渐发现此证明有漏洞，一时更成世界焦点。这个证明体系是千万个深奥数学推理连接成千个最现代的定理、事实和计算所组成的千百回转的逻辑网络，任何一环节的问题都会导致前功尽弃。怀尔斯绝境搏斗，毫无出路。1994年9月19日，星期一的早晨，怀尔斯在思维的闪电中突然找到了迷失的钥匙：解答原来就在废墟中！他热泪夺眶而出。怀尔斯的历史性长文“模椭圆曲线和费尔马大定理”1995年5月发表在美国《数学年刊》第142卷，实际占满了全卷，共五章，130页。1997年6月27日，怀尔斯获得沃尔夫斯克勒10万马克悬赏大奖。离截止期10年，圆了历史的梦。他还获得沃尔夫奖(1996.3），美国国家科学家院奖（1996.6），费尔兹特别奖（1998.8）。
2.四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”（右图）
这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士请教。汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的”（左图）。如为正规地图，否则为非正规地图（右图）。一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。
肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是后来人们发现他错了。
不过肯普的证明阐明了两个重要的概念，对以后问题的解决提供了途径。第一个概念是“构形”。他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图，也就是说，由两个邻国，三个邻国、四个或五个邻国组成的一组“构形”是不可避免的，每张地图至少含有这四种构形中的一个。
肯普提出的另一个概念是“可约”性。“可约”这个词的使用是来自肯普的论证。他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国，就会有国数减少的五色地图。自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据。但要证明大的构形可约，需要检查大量的细节，这是相当复杂的。
11年后，即1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由有破绽。不久，泰勒的证明也被人们否定了。人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。就是说对地图着色，用五种颜色就够了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯普的想法，结合自己新的设想；证明了某些大的构形可约。后来美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。
高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问题”的研究。从1936年就开始研究四色猜想的海克，公开宣称四色猜想可用寻找可约图形的不可避免组来证明。他的学生丢雷写了一个计算程序，海克不仅能用这程序产生的数据来证明构形可约，而且描绘可约构形的方法是从改造地图成为数学上称为“对偶”形着手。
他把每个国家的首都标出来，然后把相邻国家的首都用一条越过边界的铁路连接起来，除首都(称为顶点)及铁路(称为弧或边)外，擦掉其他所有的线，剩下的称为原图的对偶图。到了六十年代后期，海克引进一个类似于在电网络中移动电荷的方法来求构形的不可避免组。在海克的研究中第一次以颇不成熟的形式出现的“放电法”，这对以后关于不可避免组的研究是个关键，也是证明四色定理的中心要素。
电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进“放电过程”，后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。就在1976年6月，他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界。
这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决。
“四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多年的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点。在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。不仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。
不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。直到现在，仍由不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。
3.史上和质数有关的数学猜想中，最著名的当然就是“哥德巴赫猜想”了。
1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想：
一、任何不小于6的偶数，都是两个奇质数之和；
二、任何不小于9的奇数，都是三个奇质数之和。
这就是数学史上著名的“哥德巴赫猜想”。显然，第二个猜想是第一个猜想的推论。因此，只需在两个猜想中证明一个就足够了。
同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中， 明确表示他深信哥德巴赫的这两个猜想都是正确的定理，但是欧拉当时还无法给出证明。由于欧拉是当时欧洲最伟大的数学家，他对哥德巴赫猜想的信心，影响到了整个欧洲乃至世界数学界。从那以后，许多数学家都跃跃欲试，甚至一生都致力于证明哥德巴赫猜想。可是直到19世纪末，哥德巴赫猜想的证明也没有任何进展。证明哥德巴赫猜想的难度，远远超出了人们的想象。有的数学家把哥德巴赫猜想比喻为“数学王冠上的明珠”。
我们从6＝3＋3、8＝3＋5、10＝5＋5、……、100＝3＋97＝11＋89＝17＋83、……这些具体的例子中，可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。有人甚至逐一验证了3300万以内的所有偶数，竟然没有一个不符合哥德巴赫猜想的。20世纪，随着计算机技术的发展，数学家们发现哥德巴赫猜想对于更大的数依然成立。可是自然数是无限的，谁知道会不会在某一个足够大的偶数上，突然出现哥德巴赫猜想的反例呢？于是人们逐步改变了探究问题的方式。
1900年，20世纪最伟大的数学家希尔伯特，在国际数学会议上把“哥德巴赫猜想”列为23个数学难题之一。此后，20世纪的数学家们在世界范围内“联手”进攻“哥德巴赫猜想”堡垒，终于取得了辉煌的成果。
20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是筛法、圆法、密率法和三角和法等等高深的数学方法。解决这个猜想的思路，就像“缩小包围圈”一样，逐步逼近最后的结果。
1920年，挪威数学家布朗证明了定理“9＋9”，由此划定了进攻“哥德巴赫猜想”的“大包围圈”。这个“9＋9”是怎么回事呢？所谓“9＋9”，翻译成数学语言就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成其它两个数之和，而这两个数中的每个数，都是9个奇质数之积。” 从这个“9＋9”开始，全世界的数学家集中力量“缩小包围圈”，当然最后的目标就是“1＋1”了。
1924年，德国数学家雷德马赫证明了定理“7＋7”。很快，“6＋6”、“5＋5”、“4＋4”和“3＋3”逐一被攻陷。1957年，我国数学家王元证明了“2＋3”。1962年，中国数学家潘承洞证明了“1＋5”，同年又和王元合作证明了“1＋4”。1965年，苏联数学家证明了“1＋3”。
1966年，我国著名数学家陈景润攻克了“1＋2”，也就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇质数，另一个则是两个奇质数的积。”这个定理被世界数学界称为“陈氏定理”。
由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1＋1”仅有一步之遥了。但为了实现这最后的一步，也许还要历经一个漫长的探索过程。有许多数学家认为，要想证明“1＋1”，必须通过创造新的数学方法，以往的路很可能都是走不通的。

8. 数学四大领域都研究什么

这里有详细介绍：http://www.tjeti.com/math/history/shuxueshi.htm不是一两句话能说得清楚地；

9. 数学领域中的发明心理学的读后感

数学有两种品格，其一是工具品格，其二是文化品格。由于数学在应用上的极端广泛性，因而在人类社会发展中，那种挥之不去的短期效益思维模式特别是在实用主义观点日益强化的思潮中，必然会导致数学之工具品格愈来愈受到重视，更会进一步向数学纯粹工具论的观点倾斜。相反的，数学之另一种更为重要的文化品格，却已面临被人淡忘的境况。
《数学领域中的发明心理学》是法国著名数学家雅克·阿达玛的一本名著，是一本数学方法论的经典著作。着重论述了以“无意识思维”为核心的数学发明心理过程，给人以强烈印象。虽然严格地说，无意识问题应是专门的心理学家所关心的事，但他同时牵涉到数学和心理学这两个领域。具有相当深厚的文化理念内涵和价值。他又不仅仅是关于数学方法论的论述，而且还能够让学习数学和研究数学的人们从中认识到关于数学发明的一般性思维规律的论述。
在数学的（乃至一般的）发明创造过程中，往往存在着创造灵感，或称之曰“顿悟”的现象，这种顿悟的出现，既不能简单地归之于机遇，也不能无为地说成是逻辑推理“对中间阶段的跳跃”，而是经历了一种很复杂的，至今尚未被我们完全认识的“无意识思维”过程之后的结果。所谓无意识思维，乃是指思维者本人既没有意识到他的存在，也没有受到意识支配的一种思维过程。
关于发明所需要的条件，已被近几十年最伟大的天才人物所阐明，他的名字为科学界所熟知，而且整个近代数学都在随着他的脉搏跳动，此人就是亨利·庞加莱。庞加莱的例子取自他自己的最了不起的发现中的一个，即他关于富克斯群和富克斯函数理论的研究，在这个理论中闪烁着他的思想光辉。起先，庞加莱对这种函数冥思苦想了整整两个星期，企图证明它的不存在，但这个想法以后被证明是错误的。后来，在一个不眠之夜，并且是一种我们以后要谈到的特定条件下，他构造出了第一类这种函数。就在此时，他又开始地质考察的旅行生活，途中的许多事使他忘掉了自己的数学工作，当他正要去驾车其他地方时，他刚把脚放到马车上的一刹那，一个思想突然闪现在他的脑海，这个思想就是他用以富克斯函数的变换与非欧几何的变换是等价的。在旅行结束后，庞加莱给出了这个思想的证明。此后他就把注意力转换到与此有关系的一些算术运算问题上去，但没有取得什么成功，并且看起来也不像与他以前的研究工作有什么联系。由于庞加莱对自己的失败感到厌烦，到海边度过了几天，并考虑了一些其他的事情。有一天，当他正在悬崖上散步时，一种新的思想在他的脑海中又和上一次同样地突然闪出来，而且，同样是一种简单而确定的思想，这个思想就是不定三元二次型的算术变换与非欧几何变换是等价的。
这两个结果使庞加莱认为：肯定存在着另外的富克斯群，因此也就还存在着与他在那个不眠之夜所想到的富克斯函数不同的富克斯函数，以前找到的只是一类特殊情况。然而更严重的困难使得他的工作由此陷于停顿。此时如果坚持不懈地致力于这个问题，或许可以得到好的结果。但他当时没有这样做，亦即未能克服面前的困难。直到后来，当庞加莱在军队中服役的日子里，跟上两次一样，这一问题却又出乎意料地获解了。庞加莱为此而补充说：“最令人惊奇的首先是这种‘顿悟’的出现，所说的这种‘顿悟’，乃是在此之前的一段长时间内无意识工作的结果。在我看来，在数学的发明中，这种无意识工作的作用确实是毋庸置疑的。”
面对庞加莱的这种情况呈现在我们面前的解答是：①与前些日子的努力似乎毫无关系，因而难以认为是以前工作的结果；②出现得非常突然，几乎无暇细想。这种突然性和自发性，在若干年之前也曾被当代科学的伟大学者赫姆霍尔兹指出来过，他在1896年的一个重要讲话中就曾说到过这一点。由于赫姆霍尔兹和庞加莱的讲话，这种情况已被认为是任何一类发明所共有的。格拉哈姆·沃尔斯在他的《思维的艺术》一文中，提议将这种现象称为“顿悟”。在顿悟之前一般地有一个酝酿阶段，在此阶段，研究似乎完全中断，问题仿佛被丢弃在了一边。
我们不仅不能否认无意识的存在，而且我们还必须强调指出，如果没有无意识，恐怕我们什么事情都做不成。首先，思想只有当用语言表达出来时，才是最清楚的，然而当我们讲出一句话的时候，下一句话在哪儿？显然这第二句话并不在我们当时的意识范围内，因为此时的意识只有被第一句话所占有；然而此时我们却在思考第二句话的内容，这句话是准备在下一时刻出现在我们的意识中的，如果我们此时不在无意识中思考着句话，那么下一时刻他就不会出现了，但是我们这儿所说的无意识是很表面的，因为他很接近于意识，它可以立即转化为意识。
这种情况就是弗兰西斯·高尔顿的所谓意识“前室”现象。为了表示这种较浅的无意识过程，我们当然可以用以与“无意识”泾渭分明的“下意识”这个词。但是还有另外一个词，这就是“意识的边缘”。对心理学而言，在运用内反省法时，下意识状态是很有用的。事实上，离开了下意识，内部反省是不可能进行的。但是对某种状态，用下意识这个词就不一定确切。这一点沃拉斯等心理学家曾用视野做过比喻：“在我们的视野中有一个很小的圆圈，在这圆圈中，我们看的很最清楚，而在这个圆圈的旁边还是有一个不规则的区域，即视野边缘。在这个区域中，离开视野中心愈远，我们就看得愈模糊。人们往往对视野边缘的存在性不太关心，因为其中任一对象一旦引起我们的关心，我们就会立即把视野中心对准它。由此我们就可明白，为什么我们往往会忽视意识边缘中的事情，因为我们一旦对它有兴趣，它就立即成为我们的全部意识的对象了。但有时，我们也可作些努力，使它仍然处在意识边缘的地位而去观察它。”一般地说，把意识和意识边缘截然区分开是很困难的，但是关于我们目前感兴趣的“发明”这样一件事中，这种区分就稍微容易些。因为在发明过程中，我们把思想高度集中在问题的求解上，只有当问题获解之后，我们才有可能去顾及当时在意识边缘所发生的事情。

现在很多人的问题肯能出现了，问题在于对无意识的理解是否正确，无意识是不是一种特殊的神秘的东西。事实上，真正神秘之处使我们大脑的功能，即我们的大脑为什么能够思考！这种精神过程是怎么回事？人类已有几千年的历史，而我们对这些问题的了解即毫无进展，不管是对这种或那种精神过程，我们至今还是一无所知。至于说无意识和意识究竟哪个更高级，我认为提出这种问题是愚蠢的。当你骑在一匹马上时，你说它比你高级还是低级？当然，马比你强壮，又比你跑得快，但你却能让它做你所要它做的事。同样的，我也不知道氧气和氢气哪个更高级，也不知道左腿和右腿哪个更高级，实际上，它们在行走中是相互合作的，意识和无意识也是这样，一种合作而相互彼此的关系。
大量的例子表明，这种无意识思维过程的存在，而且，一旦承认了无意识思维的存在性，顿悟现在便得到很好的科学解释。无意识思维在发明创造中占有举足轻重的地位，而且这是由发明的本质所决定的。任何领域中的发明，都是思想组合的方式进行的。也即，发明就是将各种“观念原子”（这使庞加莱用以描述各种基本思想元素的一个形象化的比喻）进行千千万万的组合，再从中选出有用的组合，而这种选择的标准时所谓“科学的美感”。在发明过程的组合与选择这样两大步骤中，由于无意识思维不受理智之条条框框的约束，而仅仅服从于人的直觉中之和谐的美感，因而比有意识的思维过程更为深刻和奏效。然而我们并不能如下所述那样去理解上面的说法，即由此而认为当你面对一个问题时，你可以什么也不要干，而只要抱有求解此问题的愿望，然后就可以去睡觉了，等到明天早晨醒来时，答案就会突然出现在你面前。显然这是一种荒唐可笑的误解。
事实上，情况完全不是这样，任何问题，只有经过了深思熟虑以后，认识才会产生飞跃。例如，我们在开头所提到的，庞加莱把脚放在马车他班上时所发生的事情，就是在此之前经过了深思熟虑以后所产生的飞跃。牛顿关于万有引力的发现也是一个典型的例子。他曾经被问到，他是如何发现这个定律的。他回答说：“我就是不断地想，想，想。”这件事也许是轶事，但是始终如一的努力，一定是发现这个定律的必要条件。他有一个信念，即任何东西（不论是不是苹果）既然都掉向地球，那么月亮也一定是这样掉向地球，正是这种自觉的信念和顽强的努力，才使他发现了万有引力定律。如果不是经过一定时间的有意识的艰苦努力，尽管这些努力没有产生结果，完全是一种盲目的摸索，那么突然的灵感是不会产生的，可是这些努力并不是白费的。实际上，正是通过这些努力才使得无意识机器能以开动起来，亦即如果没有这些艰苦努力，无意识机器是不会开动起来的，从而什么灵感也不会出现，那么牛顿也只是看着苹果掉下来，只是有幸捡到了一个苹果，而发现不了万有引力定律。
伴随着灵感而出现的绝对的感觉一般是正确的，但是也可能欺骗我们。究竟是对是错，还要由我们称之为“理由”的东西来确定，或者说，还要去证明它们。当然这一证明过程是有意识的。庞加莱说过，无意识不可能做相当长的运算。如果我们以为无意识具有这种能力，具有自动运算的性质，那我们就可以在睡觉之前考虑一个代数运算的问题，而到第二天早晨醒来时就得到结果了，显然永远不会有这种事发生。实际上，对于无意识的自动性质是不能这样来理解的。正确的运算必须注意力高度集中，并且具有顽强的意志和符合规则，因而完全是自觉的和有意识的工作。这种工作是在灵感产生以后的又一个有意识阶段。如此，我们这里似乎遇到了一种自相矛盾的结论，当然我将对此做些说明，如同我对牛顿的情况所作的说明那样。所说的自相矛盾，就是一方面我们看到了作为我们灵魂的最高本能之一，我们的愿望，我们的意识在整个发明中占据相当重要的地位，他是支配着无意识的；但在这里，他似乎是从属于无意识的，因为他是在无意识以后产生的。但实际上，这两个阶段不仅很难分开，而且是相辅相成的，也就是说，它们是一件事情的两个方面。
至此，我以根据阿达玛在数学发明工作中的体会，以及对我所了解的无意识思维有关问题就此结束。总之，我们所观察到的在发明过程中所出现的无意识的种种情况，都将在数学之文化品格和心理学中放射光芒。
数学乃是一切科学的基础、工具和精髓，因为数学的内容和方法不仅要渗透到其他任何一个学科中去，而且要是真的没有了数学，则就无法想象其他任何学科的存在和发展了。尤其是我们谈到的数学之文化品格之无意识思维，会让我们更好地学习数学，了解数学，体会数学的本意，并实际的运用在我们日常生活之中，服务我们，方便我们。书中说到过的：对于那些当年接受过立足于数学之文化品格数学训练的学生来说，当他们后来真正成为哲学大师、著名律师或运筹帷幄的将帅时，可能早已把学生时代所学到的那些非实用性的数学知识忘得一干二净了。但那种铭刻于头脑中的数学精神和数学文化理念，却会长期的在他们的事业中发挥着重要作用。也就是说，他们当年所受到的数学训练，一只会在他们的生存方式和思维方式中潜在地起着根本性的作用，并且受用终身。

10. 陈景润在数学领域上获得过哪些成就

1966年发表《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》（简称“1+2”），成为哥德巴赫猜想研究上的里程碑。而他所发表的成果也被称之为陈氏定理。这项工作还使他与王元、潘承洞在1978年共同获得中国自然科学奖一等奖。
著作
《算术级数中的最小素数》 《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》 《数学趣味谈》《组合数学》《哥德巴赫猜想》