1. 等比数列求和说课稿
等比数列的前n项和公式》说课稿
今天我将要为大家讲的课题是等比数列前n项和。对于这个课题，我主要从下面六个方面来进行讲解。
一、教材结构与内容分析：
《等比数列前n项和公式》是高中数学二年级第二学期第十三章第五节内容。教学对象为高二学生，教学课时为2课时。本节课为第一课时。在此之前，学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础。本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点。
从高中数学的整体内容来看，《数列与数学归纳法》这一章是高中数学的重要内容之一，在整个高中数学领域里占据着重要地位，也起着作用性的作用。首先：数列有着广泛的实际应用。例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等。其次：数列有着承前启后的作用。数列是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础。再次：数列也是培养提高学生思维能力的好题材。学习数列要经常观察、分析、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高。
本节的教学重点是等比数列前n项和公式及应用。
教学难点是等比数列前n项和公式的推导。
二、教学目标分析：
作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定了如下的教学目标：
1、知识目标：理解等比数列前n项和公式的推导方法，掌握等比数列前n项和公式及应用。
2、能力目标：培养学生观察问题、思考问题的能力，并能灵活运用基本概念分析问题解决问题的能力,锻炼数学思维能力。
3、情感目标：培养学生学习数学的积极性，锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神。
三、学生情况分析：
学生在学习本节内容之前已经学习等差、等比数列的概念和通项公式，等差数列的前N项和的公式，具备一定的数学思想方法，能够就接下来的内容展开思考，而且在情感上也具备了学习新知识的渴求。
四、教学方法分析：
教法：数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此在教学中不仅要让学生“知其然”，还要“知其所以然”，为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进和启发式教学原则，我进行这样的教学设计：在教师的引导下，创设情景，通过开放式问题的设置来启发学生进行思考，在思考中体会数学概念形成过程中蕴涵的数学方法和思想，使之获得内心感受。
本节课将采用“多媒体优化组合—激励—发现”式教学模式进行教学。该模式能够将教学过程中的各要素，如教师、学生、教材、教法等进行积极的整合，使其融为一体，创造最佳的教学氛围。主要包括启发式讲解、互动式讨论、研究式探索、反馈式评价。
学法：根据二期课改的精神，转变学生的学习方式也是本次课改的重要内容，数学作为基础教育的核心学科之一，转变学生的数学学习方式，变学生被动接受式学习为主动参与式学习，不仅有利于提高学生的整体数学素养，也有利于促进学生整体学习方式的转变。在课堂结构上我根据学生的认知层次，设计了（1）创设情景（2）观察归纳（3）讨论研究（4）即时训练（5）总结反思（6）任务延续，六个层次的学法，他们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目的。自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流。
教学手段，利用多媒体和POWERPOINT软件进行辅助教学。
五、教学程序设计：
1、创设情景：
引例：某公司，由于资金短缺，决定向银行进行贷款，双方约定，在3年内，公司每月向银行借款10万元，为了还本付息，公司第一个月要向银行还款10元，第二个月还款20元，第三个月还款40元，……。即每月还款的数量是前一个月的2倍，请问，假如你是公司经理或银行主管，你会在这个合约上签字吗？
这是一个悬念式的实例，后面的“假如”又把学生带入了实例创设的情境，让学生直接参与了“市场经济”。根据心理学，情境具有暗示作用，在暗示作用下，学生自觉不自觉地参与了情境中的角色，这样他们的学习积极性和思维活动就会极大的调动起来。
这样引入课题有以下几个好处：
(1) 利用学生求知好奇心理，以一个实际问题为切入点，便于调动学生学习本节课的趣味性和积极性。
(2) 在实际情况下进行学习，可以使学生利用已有知识与经验，同化和索引出当前学习的新知识，这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。
(3) 问题内容紧扣本节课教学内容的主题与重点。
(4) 有利于知识的迁移，使学生明确知识的现实应用性。
在教师的诱导下，学生根据自己掌握的知识和经验，很快建立起两个等比数列的数学模型。数列{an}是以100000为首项，1为公比的等比数列，即常数列。数列{bn}是以10为首项，2为公比的等比数列。
当学生跃跃欲试要求这两个数列的和的时候，课题的引入已经水到渠成。教师再由特殊到一般、具体到抽象的启示，正式引入课题。
2、讲授新课：
本节课有两项主要内容，等比数列的前n项和公式的推导和等比数列的前n项和公式及应用。等比数列的前n项和公式的推导是本节课的难点。依据如下：
(1) 从认知领域上讲,它在陈述性知识、程序性知识与策略性知识的分类中，属于学生最高需求层次的掌握策略与方法的策略性知识。
(2) 从学科知识上讲,推导属于学科逻辑中的“瓶颈”，突破这一“瓶颈”则后面的问题迎刃而解。
(3) 从心理学上讲,学生对这项学习内容的“熟悉度”不高，原有知识薄弱，不易理解。
这里我讲述的主要是怎样利用多媒体激励、启发学生思维，突破教材难点。
等比数列有两大类：公比q=1和q 1两种情形
当q=1时，Sn=na1
当q 1时，Sn=a1+a1q+……+a1qn-1=
q 1时，Sn的结果是怎么推导出来的呢？本节课的难点就在于此。
预习过课本的学生会知道这个结果以及推导过程，但是他们知其然而不知其所以然，可以说大部分学生根据他们掌握的知识和经验是难以推出这个公式的。
这时候我们可以首先让学生们进行思考，如果运用数学中“从特殊到一般”的数学思想方法，能不能向这个结果靠拢呢？
我们不难得到下述结论：
S1=a1,
S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)
S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)
……
Sn=a1+a2+……+an=a1(1+q+q2+……+qn-1)
不少同学根据这个式子可能会想到
a1(1+q+q2+……+qn-1)= a1(1+q+q2+……+qn-1)（1-q）/(1-q)=
这时我要向学生说明，这种从特殊到一般，逐步归纳的思想方法很好，是我们解决数学问题中经常会运用到的方法。然后又要指出在现阶段，我们还无法对这个过程进行证明，因此它的给出是不严密的。这样不仅让学生再一次体会到数学的最基本特点，严密的逻辑性。也为将来学习二项式展开的内容打下了伏笔。
此时，仅仅从形式上进行的归纳在现阶段是无法进行系统而严谨的证明的，那我们只能在思想的过程中另辟蹊径，因此，要通过复习等差数列的求和公式，借助推导等差数列求和公式的思想方法，来找到推导等比数列的前n项和公式的方法！
让学生们一起回忆一下等差数列的前n项和公式的推导过程。
可以发现当时我们是将a1与an， a2与an-1，所有与首末等距两项交换位置，得到Sn的倒序和的形式。然后两式相加。这样2Sn就是一个有n 项的每一项都是a1+an的常数列。从而导出了Sn的公式。
等差数列的求和方法是根据等差数列的特点和根据学生的知识结构和认知水平产生的，形式上是倒序相加，本质上就是消去数列中项与项之间的差异，构造一个新的各项相同的常数列，然后根据常数列的和导出 Sn的公式来，其本质特征是等差数列从第二项起，每一项都比前一项多了一个d。
那么等比数列是不是也可以用类似的方法，构造出一个常数列或者部分常数列呢？让学生亲自去试一试，结果呢？
这时候学生们很自然的会用倒序相加的方法来进行思考。结果显然是行不通的。
此时教师的主要任务是要让学生的思维迅速发散——从倒序相加的定势中解脱出来。抓住学生迫切想解决这个问题的心态，及时地通过媒体进行启发。老师要告诉学生，构造常数列或者部分常数列的思路是正确的。既然倒序行不通，那么还有没有其它的方式构造常数列呢？
接着要引导学生从等比数列的定义出发，进一步认识等比数列从第二项起，每一项都是前一项的q倍，也就是说将每一项乘以q以后就变成了它的后一项，那么将Sn这个和式的两边同时乘以q，在q Sn这个和式中的第一项就是Sn的第二项，也就是Sn和q Sn之间产生了一个错位。由两个和式能否构造常数列或者部分常数列的和式呢？相加行不行？显然不行！相减行不行？显然行。
将Sn和 q Sn相减后，中间就得到了n－1项各项都是0的常数列, 找到了这个常数列，难点就突破了， Sn的导出就容易了，导出了Sn就基本上达到了本节课的认知目标。
为了加深理解，这时还应该对等差、等比两种数列的求和公式的推导过程进行类比和分析：
两种数列求和的基本思路都是构造常数列，构造常数列的思想也是其他一些数列求和的基本思想。等比数列在构造常数列的过程中，采用“错位相减”，等差数列采用的是“倒序相加”，倒序相加本质上也是“错位相加”，是一种大幅度的“错位相加”，等比数列只不过是步幅为1的小幅度的“错位相加”。说明一下，在Sn的和式中，两边同时乘以q是解决问题——构造常数列的关键所在，是推导等比数列求和公式的一把钥匙。
所以，这两种数列的求和公式的推导方法，从数学思想和数学方法上来讲是一致的，但是它们也有差异，即错位的方法不同。正是由于这种差异，教师才有了更大的教学空间。当教师把学生从“倒序相加”的思维定式中引导出来的时候，学生的数学思维的深刻性、广阔性等思维品质就得到了提高，思维品质提高了，思维能力也就提高了。这样，这节课的认知目标和素质目标就基本上都达到了。
推导出公式之后，对公式的特征要加以说明，以便学生记忆。同时还要对公式的另一种表示形式和应用中的注意事项加以说明。帮助学生弄清其形式和本质，明确其内涵和外延，为灵活运用公式打下基础。
有了求和公式后，回头让学生亲自计算一下引例中的钱款数量，从计算结果中让学生明确实际问题的解决离不开数学，在市场经济中必须有敏锐的数学头脑才行。
3.例题讲解。
我们在讲解例题时，不仅在于怎样解，更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。本节课设置如下两种类型的例题：
1） 等比数列中知三求二的解答题
例：求首项为2，公比为2的等比数列的前8项和以及第5项的值。
以及书上的例4
2） 实际应用题。
例：某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨（保留到个位）?
这样设置主要依据：
(1)例题与大纲中规定的教学目标与任务及本节课的重点、难点有相对应的匹配关系。
(2)遵循巩固性原则和传授——反馈——再传授的教学系统的思想确立这样的例题。
(3)应用题比较切合对智力技能进行检测，有利于数学能力的提高。同时，它可以使学生在后半程学习中保持兴趣的持续性和学习的主动性。
4．形成性练习：
例题处理后，设置一组形成性练习，作为对本节课的实时检测。练习基本上是直接运用公式求和，三个练习是按由易到难、由简单到复杂的认识规律和心理特征设计的，有利于提高学生的积极性。学生练习时，教师巡查，观察学情，及时从中获取反馈信息。对学生练习中出现的独到解法提出表扬和鼓励，对其中偶发性错误进行辨析、指正。通过形成性练习，培养学生的应变和举一反三的能力，逐步形成技能。
5．课堂小结
本节课的小结从以下几个方面进行：
(1) 等比数列的前n项和公式
(2) 公式的推导方法——错位相减法
(3) 求和思路——构造常数列或部分常数列。
通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素质目标。
最后用古印度国王西拉谟与国际象棋发明家的故事做为结尾，发明者要国王在他的棋盘上的64格中的第 1格放入1粒麦粒，第2格放入2粒麦粒，第3格放入4粒麦粒，第4格放入8粒麦粒……问应给发明家多少粒麦粒？再让学生感受一下数学的奇妙，激发他们学习数学的热情。
6.布置作业
针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的。
并可布置相应的研究作业，思考如何用其他方法来推导等比数列的前N项和公式，来加深学生对这一知识点的理解程度。
六、教学评价与反馈：
根据高二学生心理特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想，本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略，即“案例—公式—应用”，案例为浅层次要求，使学生有概括印象。公式为中层次要求，由浅入深，重难点集中推导讲解，便于突破。应用为综合要求，多角度、多情境中消化巩固所学，反馈验证本节教学目标的落实。
其中，案例是基础，使学生感知教材；公式为关键，使学生理解教材；练习为应用，使学生巩固知识，举一反三。
在这三步教学中，以启发性强的小设问层层推导，辅之以学生的分组小讨论并充分运用直观完整的板书和计算机课件等教辅用具、手段，改变教师讲、学生听的填鸭式教学模式，充分体现学生是主体，教师教学服务于学生的思路，而且学生通过“案例—公式—应用”，由浅入深，由感性到理性，由直观到抽象，不仅加深了学生理解巩固与应用，也培养了学生的思维能力。
2. 银行如何通过货币乘数作用创造货币的呢请举例说明~谢谢！
货币乘数最简单的考虑就是只考虑存款准备金
加入准备金是 10%
那么商业银行拿专到100的现金存款后（属这100也是以存款存在的货币) 上交10%给中央银行 他剩90块
假设银行把90全贷出去 那么市场上多了90的货币
然后那个得到90贷款的人先把钱全存银行（这个假设可以放宽，所谓漏存率的引入），银行又上交 10%给央行 他还剩 81可以贷出去
按照同样的假设 81存入银行 上交 又贷 81*(1-10%)
所以最后100的存款 变成了 市场上有 100+100*0.9+100*0.9^2+....这是一个等比数列
创造的货币数为 100/10% 这个1/10%就是货币乘数 他把100块的基础货币变成1000了
更复杂的乘数见：
http://ke..com/view/284962.html?wtp=tt
3. 存入银行100000元．存款准备金率为15％．问可以创造多少存款货币
是的，就是100 000/[1-（1-15%）]
因为你将100 000存入银行，你的存款银行会向人行上交15%即回15 000的存款准备金，也就是这答个银行有85 000可以进行贷款；理想状态他将85 000贷出，这85 000还会存在银行或支付出去存在另一个企业的开户行，上交15%即12750准备经，可以有72250可以进行贷款；以此类推，也就是创造的存款为100 000、85 000、72250······这样就形成了一个以85%为等比的等比数列，根据前n项公式令n趋近无穷就会得出100 000/15%
这个是一个理想的状态，是建立在许多假设的基础上的！
4. 等比数列的前n项和的Sn，S2n，S3n有何关系
古人说，为者常成、行者常至，尤其对于青年人来讲，只有在路上，才能有未来、有更好的未来。在路上，就不再是“能不干就不干”的懈怠，而是“能干就干，不能干，创造条件也要干”的志气昂扬；在路上，就努力把千头万绪的事务条分缕析，以求事半功倍；在路上，就给心灵补充营养、给人生增加潜力，用读书、学习来提高能力、开阔眼界。这样一来，非但跳出了宿命论的温柔陷阱，更迈上了正能量的阶梯。
5. 如何求证数列是等比、等差数列
Sn=1/8（an+2）^2 1
Sn-1=1/8 ( an-1 +2)^2 2
1-2
得Sn-Sn-1=1/8*(an^2 - an-1 ^2 + 4an- 4an-1 )
化简得 an=1/8*(an+an-1)(an-an-1)+ 4an- 4an-1
8an=(an+an-1)(an-an-1)+ 4an- 4an-1
(an+an-1)(an-an-1)- 4an- 4an-1 =0
(an+an-1)(an-an-1)- 4(an + 4an-1) =0
(an+an-1)(an - an-1 -4)=0
得 an - an-1 - 4=0
an - an-1 = 4为常数
所以后项减前项为常数 可证明{an} 为等差数列
设首项=a1 公比为q
S7=[a1(1-q^7)]/(1-q)
S14-S7=[a1(q^7-q^14)]/(1-q)
S21-S14=[a1(q^14-q^21)]/(1-q)
(S14-S7)^2=[a1^2(q^14-2q^21+q^28)]/(1-q)^2
S7*(S21-S14)=[a1^2*(q^14-2q^21+q^18)]/(1-q)^2
所以(S14-S7)^2=S7*(S21-S14)
所以 S7,S14-S7,S21-S14成等比数列
6. 数列题 有没有会的呀
（1）比较：前n项的和Sn，前n-1项的和S_{n-1}，正好相差第项，作差可以得到通项公式。
（2）计算得an=4n-1，bn=2^{n-1}，注意观察an*a_{n+1}=(4n-1)(4n+3)，取倒数后得形如1/(f(n)g(n))的式子，想一想在哪里遇到过这样的形式呢？当然是通分的时候，1/f(n)+1/g(n)=(f(n)+g(n))/(f(n)g(n))，如果f(n)+g(n)=1就好了。此时要用到一个小技巧，如果f(n)前添一个负号，变为-f(n)，那么就变成了(f(n)-g(n))/(f(n)g(n))，如果f(n)-g(n)=1也行。这告诉我们一个道理，在数学运算中加减是等价的，当然乘除也是等价的，加法要想到取相反数，乘法要想到取倒数，就能构造出很多奇妙的式子了。当然，如果f(n)±g(n)的结果是常数，对最终的结果也不影响，将常数置于等式最前面就可以了。注意到(4n+3)-(4n-1)=4，因此可以把式子改写为1/4*[-1/(4n-3)+1/(4n-1)]。最后说说数列，数列无非是一列有规律的数，为了得到规律，常常将第n项表示出来，即通项公式，如果对数学好奇可以把前n项加起来得到前n项和，（然后再把前n项和的前n项加起来，等等），这是研究数列的常用技巧。不可否认，大部分数列前n项加起来根本得不到漂亮的式子，那么又该如何得到一个赏心悦目的式子呢？答案当然是前n项和总有一些项能被相互抵消，注意观察最末两项（有时可能很多项）cn+c_{n-1}=1/4*[-1/(4n-3)+1/(4n-1)-1/(4n-7)+1/(4n-3)]=1/4*[1/(4n-1)-1/(4n-7)]，设想这个式子一直加下去，1/(4n-1)的分母最大了，不可能被约去了，-1/(4n-7)则会被远远不断的相反的项约去，最终得到1/4*[1/(4n-1)-1]。
思考一个小问题哦，令dn=cn+c_{n-1}，再看看最末两项能不能被约去呢？最末三项呢？如果再令fn=dn+d_{n-1}呢，重复做下去会得到什么奇妙的结果呢？
（3）等差数列和等比数列求和，书上都有公式。当然，如果有兴趣的话，翻一翻书上的证明过程，等差数列求和在掌握了（2）的精妙之后你一定能自行推导，但是等比数列求和用到了一种神奇的相互抵消的方法，即得要融会贯通，成为自己的一个强有力的处理级数求和的工具哦。
（4）其实，在数学中任何一个小问题的思考都是有意义的，如果你认真看了等比级数求和的证明，那么这个就不在话下了。提示一下，这个其实涉及到了加法和乘法转化，设想如何把a+b变为含a的式子和含b的式子相乘呢？在最初学指数的性质时，e^a*e^b=e^{a+b}，右边的指数位置就是a+b，左边就是乘法。指数作为初等数学的伟大创造，其用途远不止于此，有兴趣的话可以看一看有关指数的科普读物。那么问题来了，加法和乘法就建立了一一对应关系，如何继续使用（2）中相消思想呢？如果给等比数列e^n乘一个e，就变成了e^{n+1}，即等比数列的下一项，如果给等比数列前n项和gn=e^n+e^{n-1}+...+1乘e，就变成了e*gn=g_{n+1}-1，而g_{n+1}又可以写为g_n+e^{n+1}，解一下方程就得到了等比数列e^n的前n项和。如果给等差数列和等比数列的积的通项公式乘公比，变为了什么呢？如果给等差数列和等比数列的积的前n项和乘公比，又变为了什么呢？二者还可以通过简单作差实现相消吗？方法就是如此了，只有静下心来，花费一段时间，亲自把这道题的后续步骤完成，我相信，至少在全国卷中和数列有关的高考题，你一定会完美拿下的。
说了这么多，真是感慨万千啊，当年我学习高中数学时，只是为了一味地刷题，而忽视了数学本身。学数学就应该学出灵动的感觉，要把自己尽可能想象成为一个数学家一样思考和研究，每一步都想透彻了，想不透就去请教同学和老师，或者自行在网上找一些初等数学中的精彩结果，去欣赏数学的精妙。事实上，对于高中而言，只要认真做好一道好题，就能掌握一类题（其余的就全部交给计算了），从时间上看，真的是付出一时，受益三年。
加油，付出必然会有收获。
7. 提问问题
^^1+1/(2^2)+……+1/(2^99)=2*[1+1/(2^2)+……+1/(2^99)]-[1+1/(2^2)+……+1/(2^99)]=2+1/2+1/(2^2)+……+1/(2^98)]-[1+1/(2^2)+……+1/(2^99)]=1+1/2-1/(2^99)
8. 数学的由来
原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了。
西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。
商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。
公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。
春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。
而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。
墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。
名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论，对中国古代数学理论的发展是很有意义的。
中国古代数学体系的形成
秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现。
《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等，水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。
《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等。
这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的。秦汉时期，一切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度，以及发展社会生产服务，强调数学的应用性。最后成书于东汉初年的《九章算术》，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论，偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当时社会的发展情况是完全一致的。
《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展。
9. 等差数列构造法求通项公式的公式是什么
在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法： 一．利用倒数关系构造数列。 例如： 中，若求a n +4, 即＝４， ｝是等差数列。 可以通过等差数列的通项公式求出 ,然再求后数列{ a n }的通项。 练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足 求a n 2)数列{ a n }中， 求a n 通项公式。 3)数列{ a n }中, 求a n . 二．构造形如 的数列。 例：正数数列{ a n }中，若 解：设 练习：已知正数数列{ a n }中， , 求数列{ a n }的通项公式。 三．构造形如 的数列。 例：正数数列{ a n }中，若a 1 =10,且求a n . 解：由题意得： ， 即 . 即 练习：（选自2002年高考上海卷） 数列{ a n }中，若a 1 =3, ,n是正整数，求数列{ a n }的通项公式。 四．构造形如 的数列。 例：数列{ a n }中，若a 1 =6, a n+1 =2a n +1, 求数列{ a n }的通项公式。 解：a n+1 +1=2a n +2, 即a n+1 +1=2（a n +1） 设b n = a n +1, 则b n = 2 b n-1 则数列{ b n }是等比数列，公比是2,首项b １ = a １ +1＝7, ， 构造此种数列，往往它的递推公式形如： 。 如：a n+1 ＝c a n +d,设可化成a n+1 +x=c(a n +x), a n+1 =c a n +(c-1)x 用待定系数法得： (c-1)x＝d ∴ x= . 又如：Ｓ n +a n =n+2, 则Ｓ n-1 +a n-1 =n+1, 二式相减得：Ｓ n －Ｓ n-1 +a n －a n-1 =１，即a n +a n －a n-1 =１， ∴ 2 a n －a n-1 =１， a n = a n-1 + . 如上提到b n = a n ＋ d = a n –1 练习：1.数列{ a n }满足a n+1 =3a n +2, 求a n 2.数列{ a n }满足Ｓ n +a n =2n+1,求a n 五．构造形如 的数列。 例：数列{ a n }中，若a 1 =１，a ２ =3,a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0 (n N),求a n 。 解： a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0得： a n+2 － a n+1 = - 5（a n ＋１ － a n ） 设b n = a n ＋１ －a n ， 则数列{ b n }是等比数列，公比是-5,首项b １ = a 2 - a 1 ＝2, ∴a n ＋１ －a n =2(-5) n-1 即a ２ －a １ =2(-5) a ３ －a ２ =2(-5) ２ a ４ －a ３ =2(-5) ３ ┄ a n －a n －１ =2(-5) n-2 以上各式相加得：a n －a １ =2［（-5）＋(-5) ２ ＋(-5) ３ ＋┄＋（-5） n-1 ］ 即：a n －a １ =2 ，即，（n 当递推公式中，a n ＋１ 与a n 的系数相同时，我们可构造b n = a n ＋１ －a n ， 然后用叠加法得：b 1 +b 2 +b 3 +b 4 +┄+b n = a n -a 1 通过求出数列｛b n ｝前n-1项和的方法，求出数列{ a n }的通项公式。 1) 当递推公式中形如: a n+1 =a n +an+b ; a n+1 =a n +q n (q≠1) ; a n+1 =a n +q n +an+b 等情形时， 可以构造b n = a n ＋１ －a n ,得: b n = an+b； b n = q n ; b n =q n +an+b。 求出数列前n-1项的和T n-1 , T n-1 = ; T n-1 =； T n-1 = + 即： a n －a １ = ; a n －a １ = ; a n －a １ = + 从而求出 a n =a １ + ; a n = a １ + ; a n =a １ + + 。 2）当递推公式中形如: a n+1 =a n +；a n+1 =a n +；a n+1 =a n + 等情形 可以构造b n = a n ＋１ －a n ,得:：b n =；b n =；b n = 即b n =；b n =；b n = 从而求出求出数列前n-1项的和T n-1 , T n-1 =；T n-1 =；T n-1 = 即： a n －a １ = ; a n －a １ = ; a n －a １ = 从而求出 a n =a １ + ; a n = a １ + ; a n =a １ + 练习：1）数列{ a n }中，若a 1 =1，a n+1 -a n =2n, 求通项a n. 2）数列{ a n }中，若a 1 =1，a n+1 -a n =2 n , 求通项a n. 3) 数列{ a n }中，若a 1 =2， ，求通项a n. 六．构造形如 的形式。 例：数列{ a n }中，若a 1 =1， ，求a n. 解：由得： ∴，，，… 用累乘法把以上各式相乘得： ∴。 当递推公式形如： ；； 等形式，我们可以构造 。 可得: ; ; . 然后用叠乘法得： 。 令数列{b n }的前n-1项的积为A n-1 ,则 ； ; 从而得到： ；； ；；。 练习：1）数列{ a n }中，若a 1 =2， ，求a n. 七．构造形如 的形式。 例：数列{ a n }中，a 1 =2，S n =4a n-1 +1，求a n. 解：S n =4a n-1 +1，S n-1 =4a n-2 +1 二式相减：S n -S n-1 =4a n-1 -4a n-2 a n =4a n-1 -4a n-2 a n -2a n-1 =2（a n-1 -a n-2 ） 设b n =a n+1 -2a n ， 当递推公式形如 S n+1 =4a n +2;a n+2 =pa n+1 +qa n (p+q=1) 等形式时，因a n -2a n+1 =2(a n+1 -2a n );a n+2 -a n+1 =(p-1)(a n+1 -a n ), 我们构造b n =a n+1 -2a n ; b n =a n+1 -a n , 由等比数列知识得b n =(a 2 -a 1 )·2 n-1 ; b n =(a 2 -a 1 )·(p-1) n-1 从而得到a n+1 =2a n +(a 2 -a 1 )2 n-1 ;a n+1 =a n (a 2 -a 1 )(1-q) n-1 由类型四求出a n 。 总之，对于很多数列，我们都可以由递推公式构造新数列的方法求出他们的通项公式。当然，在教学中我们应当充分调动学生的积极性，努力培养学生的创造能力，让学生自己去构造，自己去探索，使学生亲尝到成功乐趣，激起他们强烈的求知欲和创造欲。 望采纳。谢谢
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