剩余定理的发明家

㈠ 中国剩余定理的证明

方法一（直接构造）：
由m,n互素，存在u,v使得u*m+v*n=1（裴蜀定理）。令x=v*n*a+u*m*b，则一方面，x=(v*n)*a+u*m*b=(1-u*m)*a+u*m*b=a-u*m*a+u*m*b=(u*b-u*a)*m+a；另一方面，x=v*n*a+(u*m)*b=v*n*a+(1-v*n)*b=v*n*a+b-v*n*b=(v*a-v*b)*n+b。取p=u*b-u*a，q=v*a-v*b即可。
如果这样得到的x不是正的，可以加上m*n的足够多倍，不改变除以m或n所得的余数。

方法二（鸽巢原理）：
定义集合S={0,1,...,m*n-1}，A={0,1,...,m-1}，B={0,1,...,n-1}；定义映射f:S->A*B：对任意x属于S（0<=x<=m*n-1），f(x)的第一个分量为x除以m的余数，第二个分量为x除以n的余数。则原命题等价于f是满射。

声明：f为单射。
证明：假设存在x,y属于S使得f(x)=f(y)，即x除以m的余数等于y除以m的余数，x除以n的余数等于y除以n的余数。前面说明x-y被m整除，后面说明x-y被n整除，所以x-y能够被m和n的最小公倍数整除。由m,n互素，最小公倍数即为m*n，所以x-y能够被m*n整除。但由0<=x,y<=mn-1知-(m*n-1)<=x-y<=m*n-1。唯一的可能是x-y=0，即x=y。从而f是单射。

S中有m*n个元素，A*B中也有m*n个元素，f为S到A*B的单射，所以由鸽巢原理，f也是满射。证毕。

㈡ 中国剩余定理的别称是什么

中国剩余定理，被称为孙子定理。

在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物专不知其数，三三数之属剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之 剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。

即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：“三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知.“

这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法。意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后除以105（或者105的倍数），得到的余数就是答案。比如说在以上的物不知数问题里面，按歌诀求出的结果就是23。

㈢ 中国剩余定理——孙子定理讲的是什么呢

我国古代的重要数学著作《孙子算经》中有一问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”答曰：“二十三。”这段话译成白话是：“有一堆东西不知有多少个，如果三个三个数，剩二个，如果五个五个数，剩三个，如果七个七个数剩二个。问这堆东西有多少?答案是二十三个。”这个问题的解决，叫“孙子定理”，国外称为“中国剩余定理”。

这个问题的解法明朝程大位写成一首诗是：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”这首诗里隐含着70、21、15、105这4个数，只要牢记这4个数，解答此题便轻而易举了。在《孙子算经》中详细介绍了这种奇妙算法：凡是每3个一数最后余1的，就取1个70，最后余2的，便取2个70；每5个一数最后余1的，就取1个21，余2的，就取2个21；每7个一数最后余1的，就取1个15，余2的取2个15。把这些数加起来，如果得数比105大，减去105，所得的两组数便是众多答案中最小的一个和第二最小的。比如，上题是取2个70，取3个21，取2个15。由于2×70＋3×21＋2×15＝233，比105大，减去105，再减105，得23。只此寥寥几步，便解了此题，可谓神奇。

㈣ 中国剩余定理的典故

“
中国古代数学有着辉煌的成就，今天大小吴将为大家介绍在中国数学史上非常著名的中国剩余定理。
1 韩信点兵问题

这个问题首先要从一个叫做“韩信点兵”的故事说起。

秦末时期，楚汉相争，汉初三杰之一的韩信有一次带1500名兵士打仗，战死四五百人。为了统计剩余士兵的个数，韩信令士兵3人一排，多出2人；5人一排，多出4人；7人一排，多出6人。韩信据此很快说出人数：1049人。汉军本来就十分信服韩信大将军，经此之后就更加相信韩信是“天神下凡，神机妙算"，于是士气大振，鼓声喧天，在接下来的战役中汉军步步紧逼，楚军乱作一团，大败而逃。韩信由此名扬天下，被后世誉为“兵仙“，“神帅”。

那么韩信是如何快速算出士兵人数的呢？韩信点兵问题可以用现代数学语言描述如下：若士兵人数是，则有除以3余2，除以5余4，除以7余6.

我们也可以用同余式来表示这个问题：

我们发现，若将，则可以同时被3、5、7整除，即

所以一定是3、5、7的最小公倍数的整数倍，由于3、5、7两两互素，则

所以

即

其中是正整数，当时

这样，韩信就计算出了剩余士兵的人数。

2 孙子算经与物不知数问题

实际上，这类问题就是在求解初等数论中的同余方程组。在数学史上韩信点兵问题也被称为物不知数问题，最早记载于一千多年前的《孙子算经》中：

“
今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
转化为现代数学语言，即解整数满足的同余式

这个问题和上文所说的韩信点兵问题类似，但是，它不具备上一个问题那么好的性质，因为无论使加上或减去一个数，都无法同时被3、5、7整除。那么，这个问题该如何解决呢？

宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。明朝数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：

“
三人同行七十稀，五树梅花廿一支（二十一），七子团圆正半月，除百零五使得知。
这首诗的意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后除以105得到的余数就是答案。

根据这个算法，可得：

因此物不知数问题的最小正整数解即为，事实上，23确实满足除以3余2，除以5余3，除以7余2，这个问题的通解为

其中是自然数。

3 中国剩余定理

对于这个问题，如果是一般情况，该如何处理呢？例如，有同余式：

我们把这个问题分解成三个同余式方程组

那么初始问题就有最小正整数解

因此只要能找到满足条件的即可。以为例，由同余式可得，

因此

所以存在使得

因此

其中的存在性可以证明，因为有如下定理：

“
若，则必然存在使得
对于这个定理的证明，可以考虑集合中的最小正整数，只要证明这个最小正整数就是1即可。

考虑其中最小的正整数，，只需证明且，由于互素，所以只能为1.

这件事可以用反证法证明：若不能整除，则必有

因此

因此余数也可以表示成一个整数乘以加上另一个整数乘以的形式，又因为是小于的，这就和最开始的假设是最小的正整数相矛盾了，因此必有

因此存在性得证。

事实上这样的不仅存在，而且也比较好寻找，其中70就是既能被5、7同时整除又能除以3余1的最小正整数，所以，同理可得，，因此这类问题就有了通解：

原来上面的古诗中出现的70、21、15这三个数是这么来的！

一般来讲，给定个不同的素数，则同余方程组

一定是有解的，求解这个问题只需构造基础解系:

因此有

因为都是素数，因此的存在性是显然的。

求解上述问题的过程与方法就称为“中国剩余定理”，又称为“孙子定理”。

中国剩余定理的传播最早在1852年由英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲。1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，成为了初等数论中非常重要的一个定理。

㈤ 中国剩余定理是什么的别称

是孙子定理的别称。

孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何，即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。

(5)剩余定理的发明家扩展阅读：

孙子问题出现在公元四世纪的中国算书中，这并不是偶然的。我国古代天文历法资料表明，一次同余问题的研究，明显地受到天文、历法需要的推动，特别是和古代历法中所谓“上元积年”的计算密切相关。

大家知道，一部历法，需要规定一个起算时间，我国古代历算家把这个起点叫做“历元”或“上元”，并且把从历元到编历年所累积的时间叫做“上元积年”。

上元积年的推算需要求解一组一次同余式。以公元三世纪三国时期魏国施行的《景初历》做例，这部历法规定以冬至、朔旦（朔日子夜）和甲子日零时会合的时刻作为历元。

设a是一回归年日数，b是一朔望月日数，当年冬至距甲子日零时是R1日，离平朔时刻是R2日，那么《景初历》上元积元数N就是同余组的解。

㈥ 中国剩余定理是怎样的

古时候，我国有一部很重要的数学著作，叫《孙子算经》。书中的许多古算题，如“物不知数”问题、“鸡兔同笼”问题等等，都编得饶有情趣，1000多年来，一直在国内外广为流传。其中，尤以物不知数问题最为著名。

物不知数问题的大意是：“有一堆物体，不知道它的数目。如果每3个一数，最后会剩下2个；每5个一数，最后会剩3个；每7个一数，最后会剩下2个。求这堆物体的数目。”

这是一个不定方程问题，答案有无穷多组。按照现代解不定方程的一般步骤，解答起来是比较麻烦的。而若按照我国古代人民发明的一种算法，解答起来就简单得出奇。有人将这种奇妙的算法编成了一首歌谣：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，

七子团圆正半月，除百零五便得知。

歌谣里隐含着70、21、15、105这4个数。只要记住这4个数，算出物不知数问题的答案就轻而易举了。尤其可贵的是，这种奇妙的算法具有普遍的意义，只要是同一类型的题目，都可以用这种方法去解答。

《孙子算经》最先详细介绍了这种奇妙的算法。书中说：凡是每3个一数最后剩下1个，就取70；每5个一数最后剩1个，就取21；每7个一数最后剩下1个，就取15。把它们加起来，如果得数比106大，就减去105。最后求出的数就是所有答案中最小的一个。

在物不知数问题里，每3个一数最后剩2，应该取2个70；每5个一数最后剩3，应该取3个21；每7个一数最后剩2，应该取2个15。由于2×70＋3×21＋2×15等于233，比106大，应该减去105；相减后得128，仍比106大，应该再减去105，得23。瞧，只需寥寥几步，我们就算出了题目的答案。

这种奇妙的算法有许多有趣的名称，如“鬼谷算”、“韩信大点兵”、“秦王暗点兵”等等，并被编成许多有趣的数学故事。它于12世纪末就流传到了欧洲国家。

可是，13世纪下半叶，我国数学家秦九韶遇到了一个与物不知数问题很相似的题目，却不能用这种奇妙的算法来解答。

秦九韶遇到的题目叫“余米推数”问题，在数学史上也很名。它有一种有趣的表述形式。

一天夜里，一群盗贼洗劫了一家米店，放在店堂里的3箩米几乎被席卷一空。第二天，官府派人勘查了现场，发现3个箩一样大，中间那个箩里还剩下14合米，而两边的箩里只剩下1合米了。

盗贼偷走了多少米呢？店主不记得每个萝里装了多少米，只记得它们装得一样多。”

后来，行窃的3个盗贼都被抓住了。可是，他们也不知道偷了多少米。那天晚上，店堂里漆黑一团，盗贼甲摸到了一个马勺，用它从左边那个箩里舀米；盗贼乙摸到一个木鞋，用它从中间那个箩里舀米；盗贼丙摸到一个漆碗，用它从右边那个箩里舀米。盗贼们不记得舀了多少次，只记得每次都正好舀满，舀完最后一次后，箩里剩下的米都已不够再舀一次了。

在米店里，人们找到马勺、木鞋和漆碗，发现马勺一次能舀19合米，木鞋一次能舀17合米，而漆碗一次只能舀12合米。问米店共被窃走多少米，3个盗贼各盗窃了多少米？

为什么说余米推数问题与物不知数问题很相似呢？如果把米店被窃走的米数看作是一堆物体，这个题目实际上就是：

有一堆物体，不知道它的数目。如果每19个一数，最后剩下1个，每17个一数，最后剩14个，每12个一数，最后剩下1个。求这堆物体的数目。

秦九韶想，既然这两个题目很相似，那么，它们的解法也应该很相似。“鬼谷算”解答不了余米推数问题，说明它还不够完善，于是他深入探索了古代算法的奥秘，经过苦心钻研，终于在古代算法的基础上，创造出一种更普遍、更强有力的奇妙算法。

这种新算法也就是驰名世界的“大衍求一术”，它是我国古代数学里最有独创性的成就之一。国外直到19世纪，才由大数学家高斯发现同样的定理。因此，这个定理也就被人叫做“中国剩余定理”。

秦九韶也因此获得了不朽的声誉。西方著名数学史专家萨顿，对秦九韶创造性的工作给予了极高的评价，称赞秦九韶是“他的民族、他的时代以至一切时期的最伟大的数学家之一”。

㈦ 中国剩余定理是怎么推出来的

这个要从韩信说起， 韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。
这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，就是现在被称为“中国剩余定理”的一次同余式解法。它是中国古代数学家的一项重大创造，在世界数学史上具有重要的地位。
最早提出并记叙这个数学问题的，是南北朝时期的数学著作《孙子算经》中的“物不知数”题目。这道“物不知数”的题目是这样的：
“今有一些物不知其数量。如果三个三个地去数它，则最后还剩二个；如果五个五个地去数它，则最后还剩三个；如果七个七个地去数它，则最后也剩二个。问：这些物一共有多少？”
用简练的数学语言来表述就是：求这样一个数，使它被3除余2，被5除余3，被7除余2。《孙子算经》给出了这道题目的解法和答案，用算式表示即为：

用现代的数学术语来说，这幅“开方作法本源图”实际上是一个指数为正整数的二项式定理系数表。稍懂代数的读者都知道：

《孙子算经》实际上是给出了这类一次同余式组

的一般解：

其中70、21、15和105这四个数是关键，所以后来的数学家把这种解法编成了如下的一首诗歌以便于记诵：

“三人同行七十（70）稀，
五树梅花二一（21）枝。
七子团圆正半月（15），
除百零五（105）便得知。”

《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河，但由于题目比较简单，甚至用试猜的方法也能求得，所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的，是南宋时期的数学家秦九韶。秦
九韶在他的《数书九章》（见图1一7一1）中提出了一个数学方法“大衍求一术”，系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。
秦九韶为什么要把他的这一套计算程序和基本原理称为“大衍求一术”呢？这是因为其计算程序的核心问题是要“求一”。所谓“求一”，通俗他说，就是求“一个数的多少倍除以另一个数，所得的余数为一”。那么为什么要“求一”呢？我们可以从“物不知数”题的几个关键数字70、21、15中找到如下的规律
其中70是5和7的倍数，但被3除余1；21是3和7的倍数，但被5除余1；15是3和5的倍数，但被7除余1，任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。为此，秦九韶提出了乘率、定数、衍母、衍数等一系列数学概念，并详细叙述了“大衍求一术”的完整过程。（由于解法过于繁细，我们在这里就不展开叙述了，有兴趣的读者可进一步参阅有关书籍。）直到此时，由《孙子算经》“物不知数”题开创的一次同余式问题，才真正得到了一个普遍的解法，才真正上升到了
“中国剩余定理”的高度。
从《孙子算经》到秦九韶《数书九章》对一次同余式问题的研究成果，在19世纪中期开始受到西方数学界的重视。1852年，英国传教士伟烈亚力向欧洲介绍了《孙子算经》的“物不知数”题和秦九韶的“大衍求一术”；1876年，德国人马蒂生指出，中国的这一解法与西方19世纪高斯《算术探究》中关于一次同余式组的解法完全一致。从此，中国古代数学的这一创造逐渐受到世界学者的瞩目，并在西方数学史著作中正式被称为“中国剩余定理”。

㈧ 中国剩余定理研究的意义是什么

刚学习几何时，最激动人心的是勾股定理，并且它成为了三角学、解析几何的基础知识。
可以说，勾股定理，是几何学中的第一颗耀眼的明珠，或者说恒星。
而中国剩余定理在数论中的地位，就相当于几何中的勾股定理了。

我相信，随着对中国剩余定理的越来越详细的了解，越来越深入的研究，会找到越来越多、越来越深刻的意义。
而它的意义，如果从众分析的话，网络探索一下
中国剩余定理 意义
就会找到很多相关的内容。
将它们综合（归纳）一下，再结合自己个人的研究心得，自然能充分的明了它的意义。
我对中国剩余定理相当的爱好，并且有一定的研习。但是，我很少原创性的分析它的意义。你的提问启发了我。假以时日，我想我会以此为题，整理出一篇文章来。大纲略提：
一：对于数学教育，尤其是在启蒙教育中的意义。我对数论的兴趣，最大的影响就源于中国剩余定理。并且对它的研习，乐此不疲。
二：对于数论中的各个分支的宏观影响。对于某些具体课题和重大数学成果的影响。我觉得，中国剩余定理，不仅仅是一个数论基础定理，还应当把它作为一个前沿的，充满活力和创新机能的种子。它里面，永远蕴藏着神秘的力理和挖掘不尽的内容。正如素数分布一样。唯一不同的是，似乎人们对中国剩余定理已经很为了解了。但是，正如一个圆，半径越大，接触到的未知范围就越大。我隐隐觉得，中国剩余定理，是解决一些重大数论难题中举足轻重的工具。我相信，素数分布问题的最终解决，中国剩余定理必将在其中发挥极为重大的作用。有一些关于素数分布的想法，包括我个人的在内，还只是让中国剩余定理发挥了其定性的作用。而深刻的定量分析，还远远不够。
三：对与数论紧密相关的其他数学分支的影响。如组合论，近世代数(抽象代数，尤其是群论），多项式理论，矩阵论，逼近论，等等，……（我情不自禁的加了个省略号。等等，总让我有意犹未尽之嫌。而加上……，没有尽其意，但是更显得意犹未尽……可惜，我对数学的了解，还那么的浅薄……）
四：对其它数学分支的影响。
五：对其它科学理论的影响。最重要的是方法论。
六：还有其它。
七：说不出的影响，必定还有很多……
八：我情不自禁的再加一条：……
九：你自己加……
十：我不想再加省略号。但是不想嘎然而止。下面用空白代替吧。
十一：
十二：
十三：无尽的虚无，不是空白所能代替。打住。十三，是超过十的第二个素数了。事不过三。
1001=7*11*13。
；；；；；；
十七：如果能罗列到第十七，我想，对中国剩余定理的了解和对它意义的阐述，算是足够充分了。可惜我做不到。附说：2,2+1,4+1,16+1,256+1,65536+1,我想起了费马素数。我想，它也是数论中的一个重要的迷。天呐，数论这个神秘的东西，叫人如何说得完，叫人如何不着迷。数学中的皇冠，帝王，女王，皇后，明珠，……无法形容。今天说了这么多废话，相信我以后再不会对数学，数论说这么多废话了。让我们一起，踏踏实实的研究吧。只有在踏实的研究中，我们才会发现，一样东西的更多、更重要、更神奇的意义。
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