萊布尼茨發明微積分

① 誰發明了微積分

十七世紀的許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；義大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創立做出了貢獻。
十七世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題(積分學的中心問題)。
牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現在數學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重於從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重於幾何學來考慮的。
牛頓
牛頓在1671年寫了《流數法和無窮級數》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變數是由點、線、面的連續運動產生的，否定了以前自己認為的變數是無窮小元素的靜止集合。他把連續變數叫做流動量，把這些流動量的導數叫做流數。牛頓在流數術中所提出的中心問題是：已知連續運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內經過的路程(積分法)。
萊布尼茨
德國的萊布尼茨是一個博才多學的學者，1684年，他發表了現在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用於分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。就是這樣一篇說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。它已含有現代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發表了第一篇積分學的文獻。他是歷史上最偉大的符號學者之一，他所創設的微積分符號，遠遠優於牛頓的符號，這對微積分的發展有極大的影響。現在我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨精心選用的。

② 微積分真正算起來是牛頓發明的還是萊布尼茨發明的

微積分學的建立 從微積分成為一門學科來說，是在十七世紀，但是，微分和積分的思想在古代就已經產生了。 公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學的思想。作為微分學基礎的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的《莊子》一書的「天下篇」中，記有「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」。三國時期的劉徽在他的割圓術中提到「割之彌細，所失彌小，割之又割，以至於不可割，則與圓周和體而無所失矣。」這些都是樸素的、也是很典型的極限概念。 到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產生的因素。歸結起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用於另一物體上的引力。 十七世紀的許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；義大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創立做出了貢獻。 十七世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題(積分學的中心問題)。 牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現在數學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重於從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重於幾何學來考慮的。 牛頓在1671年寫了《流數法和無窮級數》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變數是由點、線、面的連續運動產生的，否定了以前自己認為的變數是無窮小元素的靜止集合。他把連續變數叫做流動量，把這些流動量的導數叫做流數。牛頓在流數術中所提出的中心問題是：已知連續運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內經過的路程(積分法)。 德國的萊布尼茨是一個博才多學的學者，1684年，他發表了現在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用於分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。他以含有現代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發表了第一篇積分學的文獻。他是歷史上最偉大的符號學者之一，他所創設的微積分符號，遠遠優於牛頓的符號，這對微積分的發展有極大的影響。現在我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨精心選用的。 微積分學的創立，極大地推動了數學的發展，過去很多初等數學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學的非凡威力。 前面已經提到，一門科學的創立決不是某一個人的業績，他必定是經過多少人的努力後，在積累了大量成果的基礎上，最後由某個人或幾個人總結完成的。微積分也是這樣。 不幸的事，由於人們在欣賞微積分的宏偉功效之餘，在提出誰是這門學科的創立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立。英國數學在一個時期里閉關鎖國，囿於民族偏見，過於拘泥在牛頓的「流數術」中停步不前，因而數學發展整整落後了一百年。 其實，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究，在大體上相近的時間里先後完成的。比較特殊的是牛頓創立微積分要比萊布尼詞早10年左右，但是整是公開發表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發表早三年。他們的研究各有長處，也都各有短處。那時候，由於民族偏見，關於發明優先權的爭論竟從1699年始延續了一百多年。 應該指出，這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經歷一段時間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎方面的缺陷，最終導致了第二次數學危機的產生。 直到19世紀初，法國科學學院的科學家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，後來又經過德國數學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎。才使微積分進一步的發展開來。 任何新興的、具有無量前途的科學成就都吸引著廣大的科學工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟約翰·貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、科西…… 歐氏幾何也好，上古和中世紀的代數學也好，都是一種常量數學，微積分才是真正的變數數學，是數學中的大革命。微積分是高等數學的主要分支，不只是局限在解決力學中的變速問題，它馳騁在近代和現代科學技術園地里，建立了數不清的豐功偉績。

③ 牛頓和萊布尼茨到底誰發明了微積分呢

牛頓和萊布尼茲分別發明的.

萊布尼茲於1673～1676年間發明了微回積分，1684年公布了論文答；牛頓於1665～1666年間發明了微積分，1687年公布在巨著《自然哲學的數學原理》中。微積分到底是誰發明的，這在世界科學史上曾是一樁公案。

④ 微積分的發明人是誰

1684年，《學術學報》上發表了德國數學家萊布尼茨的一篇文章，宣布他發現一種微分法，即「一種求極大極小和切線的新方法，它也適用於分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算」，1686年，他又發表了類似的文章，討論「潛在的幾何與分析不可分和無限」等。一年以後，物理學家牛頓出版了他的巨著《自然哲學之數學原理》，也談到了他研究的求極大與極小的問題。實際上，他們倆人都發現了微積分的數學原理。於是，就有關創立微積分的優先權問題，發生了一場激烈的爭論。遺憾的是，由於人們不明真相，使30多歲的萊布尼茨長期蒙受冤屈。1699年，瑞士數學家法蒂奧德迪利給皇家學會寫文章，說萊布尼茨的思想獲自牛頓。接著，不少科學家接踵而至，都說萊布尼茨不是發明者。薩維爾天文學教授凱爾，則指控萊布尼茨是剽切者。為此，萊布尼茨參與了爭論，辯白自己的冤枉。但沒有人相信他。1716年11月14日，萊布尼茨含冤逝世，朝廷竟不聞不問，教士們也借口說萊布尼茨是「無信仰者」而不予理睬。

直到萊布尼茨死後，英國皇家學會為牛頓和萊布尼茨發現微積分的優先權問題，專門成立了調查評判委員會。經過長期調查，終於弄清事實，委員會在《通訊》上宣布，牛頓的「流數術」和萊布尼茨的「無窮小演算法」只是名詞不同，實質上是一回事，他倆都是微積分的發明人。

原來事情是這樣的，1676年，牛頓在寫給萊布尼茨的信中，宣布了他的二項式定理，提出了根據流的方程求流數的問題。但在他們交換的信件中，牛頓卻隱瞞了確定極大值和極小值的方法，以及作切線的方法等。而萊布尼茨在給牛頓的回信中寫道，他也發現了一種同樣的方法，並訴說了他的方法。這個方法與牛頓的方法幾乎沒有什麼兩樣。二者的區別是：牛頓主要是在力學研究的基礎上，運用幾何方法研究微積分；而萊布尼茨主要是在研究曲線和切線的面積問題上，運用分析學方法引進微積分概念，得出運演算法則。牛頓是在微積分的應用上更多地結合了運動學，造詣較萊布尼茨高出一籌。但萊布尼茨的表達式採用的數學符號，既簡潔又准確地揭示出微分、積分的實質，遠遠優於牛頓。因此，他們二人發明微積分各有千秋。

萊布尼茨1646年6月21日出生於德國東部的萊比錫城。他的父親是哲學教授，但在他6歲時父親就過早去世了。然而，父親留下的大量藏書卻為萊布尼茨提供了豐富的知識源泉。

萊布尼茨8歲入學，少年時就可以用多種語言表達思想。15歲時考入有名的萊比錫大學，開始對數學發生興趣。1666年，萊布尼茨轉入紐倫堡的何爾道夫大學。這一年他發表了第一篇數學論文《論組合的藝術》，顯示了他的數學才華。這篇論文，正是近代數學的一個分支「數理邏輯」的先聲，他也因此成為數理邏輯的創始人。

大學畢業後，萊布尼茨獲得法學博士學位，投身外交界。1672年3月他作為大使出訪法國巴黎，為期4年。在巴黎工作之餘鑽研數學，結識了荷蘭數學家惠更斯。並利用業余時間攻讀笛卡爾、費爾馬、帕斯卡等人的原著。為他步入數學王國的殿堂打下了堅實的基礎。

1676年，萊布尼茨到漢諾威，在那裡他博覽群書，創立了微積分的基本概念和運算方法，成就了他一生最偉大的發明。

萊布尼茨陸續創立了一些表示微積分的符號：dx表示微分，即拉丁文「differentia」的第一個字母，意為「分細」。∫表示積分，即拉丁文「summa」的第一個字母「s」拉長，意為「求和」。他創立的這些符號，為數學語言的規范化和獨立化起到了極為重要的推動作用。這些符號一直用到今天。

此外，萊布尼茨還提出了使用「函數」一詞，首次引進了「常量」，「變數」和「參變數」，確立了「坐標」、「縱坐標」的名稱。他對變分法的建立及在微分方程、微分幾何、某些特殊曲線（如懸鏈曲線）的研究上都做出了重大貢獻。

⑤ 微積分是誰發明的

艾薩克·牛頓、萊布尼茨。

十七世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科回學家牛頓和答德國數學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創立工作，雖然這只是十分初步的工作。

他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題（積分學的中心問題） 。

牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現時數學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重於從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重於幾何學來考慮的。

(5)萊布尼茨發明微積分擴展閱讀：

微積分的應用：

微積分是與應用聯系著發展起來的，最初牛頓應用微積分學及微分方程為了從萬有引力定律導出了開普勒行星運動三定律。

此後，微積分學極大的推動了數學的發展，同時也極大的推動了天文學、力學、物理學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學各個分支中的發展。

並在這些學科中有越來越廣泛的應用，特別是計算機的出現更有助於這些應用的不斷發展。微積分作為一門交叉性很強的科目，除了在物理等自然科學上有強實用性外，在經濟學上也有很強的推動作用。

⑥ 微積分究竟是牛頓發明的還是萊布尼茨

牛頓和萊布尼茨分別從各自不同角度發明了微積分。牛頓是從物理學的角度發明出的微積分。萊布尼茲是從數學角度，採用了合理的數學符號進行表述，比較直觀和方便理解，這些符號一直用到了現在還在應用。

十七世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創立工作，雖然這只是十分初步的工作。

他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題（積分學的中心問題）。

(6)萊布尼茨發明微積分擴展閱讀：

牛頓的發展

牛頓在1671年寫了《流數術和無窮級數》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變數是由點、線、面的連續運動產生的，否定了以前自己認為的變數是無窮小元素的靜止集合。他把連續變數叫做流動量，把這些流動量的導數叫做流數。

牛頓在流數術中所提出的中心問題是：已知連續運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內經過的路程（積分法） 。

萊布尼茨的發展

德國的萊布尼茨（又譯「萊布尼茲」）是一個博才多學的學者，1684年，他發表了現在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用於分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。

就是這樣一篇說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。它已含有現代的微分符號和基本微分法則。

1686年，萊布尼茨發表了第一篇積分學的文獻。他是歷史上最偉大的符號學者之一，他所創設的微積分符號，遠遠優於牛頓的符號，這對微積分的發展有極大的影響。現今我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨精心選用的。

參考資料來源：網路-微積分-微積分歷史

⑦ 牛頓和萊布尼茨創立的微積分有什麼異同

zhangxx55，你好：

1.1 牛頓的「流數術」

牛頓(I.Newton,1642-1727)1642年生於英格蘭伍爾索普村的一個農民家庭。1661年牛頓進入劍橋大學三一學院，受教於巴羅。笛卡兒的《幾何學》和沃利斯的《無窮算術》，這兩部著作引導牛頓走上了創立微積分之路。

牛頓於1664年秋開始研究微積分問題，在家鄉躲避瘟疫期間取得了突破性進展。1666年牛頓將其前兩年的研究成果整理成一篇總結性論文—《流數簡論》，這也是歷史上第一篇系統的微積分文獻。在簡論中，牛頓以運動學為背景提出了微積分的基本問題，發明了「正流數術」（微分）；從確定面積的變化率入手通過反微分計算面積，又建立了「反流數術」；並將面積計算與求切線問題的互逆關系作為一般規律明確地揭示出來，將其作為微積分普遍演算法的基礎論述了「微積分基本定理」。

這樣，牛頓就以正、反流數術亦即微分和積分，將自古以來求解無窮小問題的各種方法和特殊技巧有機地統一起來。正是在這種意義下，牛頓創立了微積分。

牛頓對於發表自己的科學著作持非常謹慎的態度。1687年，牛頓出版了他的力學巨著《自然哲學的數學原理》，這部著作中包含他的微積分學說，也是牛頓微積分學說的最早的公開表述，因此該巨著成為數學史上劃時代的著作。而他的微積分論文直到18世紀初才在朋友的再三催促下相繼發表。

1.2 萊布尼茨的微積分工作

萊布尼茨(W.Leibniz,1646-1716)出生於德國萊比錫一個教授家庭，青少年時期受到良好的教育。1672年至1676年，萊布尼茨作為梅因茨選帝侯的大使在巴黎工作。這四年成為萊布尼茨科學生涯的最寶貴時間，微積分的創立等許多重大的成就都是在這一時期完成或奠定了基礎。

1684年，萊布尼茨整理、概括自己1673年以來微積分研究的成果，在《教師學報》上發表了第一篇微分學論文《一種求極大值與極小值以及求切線的新方法》（簡稱《新方法》），它包含了微分記號以及函數和、差、積、商、乘冪與方根的微分法則，還包含了微分法在求極值、拐點以及光學等方面的廣泛應用。1686年，萊布尼茨又發表了他的第一篇積分學論文，這篇論文初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關系，包含積分符號並給出了擺線方程：

萊布尼茨對微積分學基礎的解釋和牛頓一樣也是含混不清的，有時他的是有窮量，有時又是小於任何指定的量，但不是零。

1.3 牛頓和萊布尼茲各自獨立創立了微積分

牛頓和萊布尼茨就微積分的創立而言，盡管二者在背景、方法和形式上存在差異、各有特色，但二者的功績是相當的。然而，一個局外人的一本小冊子卻引起了「科學史上最不幸的一章」：微積分發明優先權的爭論。瑞士數學家德丟勒在這本小冊子中認為，萊布尼茨的微積分工作從牛頓那裡有所借鑒，進一步萊布尼茨又被英國數學家指責為剽竊者。這樣就造成了支持萊布尼茨的歐陸數學家和支持牛頓的英國數學家兩派的不和，甚至互相尖銳地攻擊對方。這件事的結果，使得兩派數學家在數學的發展上分道揚鑣，停止了思想交換。

在牛頓和萊布尼茨二人死後很久，事情終於得到澄清，調查證實兩人確實是相互獨立地完成了微積分的發明，就發明時間而言，牛頓早於萊布尼茨；就發表時間而言，萊布尼茨先於牛頓。

「微積分基本定理」也稱為牛頓—萊布尼茨定理，牛頓和萊布尼茨各自獨立地發現了這一定理。微積分基本定理是微積分中最重要的定理，它建立了微分和積分之間的聯系，指出微分和積分互為逆運算。

2.嚴格微積分的奠基者：柯西和魏爾斯特拉斯

2.1 先驅的努力

微積分學創立以後，由於運算的完整性和應用的廣泛性，使微積分學成了研究自然科學的有力工具。但微積分學中的許多概念都沒有精確的定義，特別是對微積分的基礎—無窮小概念的解釋不明確，在運算中時而為零，時而非零，出現了邏輯上的困境。

多方面的批評和攻擊沒有使數學家們放棄微積分，相反卻激起了數學家們為建立微積分的嚴格而努力。從而也掀起了微積分乃至整個分析的嚴格化運動。

18世紀，歐陸數學家們力圖以代數化的途徑來克服微積分基礎的困難，這方面的主要代表人物是達朗貝爾(d』Alembert,1717-1783)、歐拉和拉格朗日。達朗貝爾定性地給出了極限的定義，並將它作為微積分的基礎，他認為微分運算「僅僅在於從代數上確定我們已通過線段來表達的比的極限」；歐拉提出了關於無限小的不同階零的理論；拉格朗日也承認微積分可以在極限理論的基礎上建立起來，但他主張用泰勒級數來定義導數,並由此給出我們現在所謂的拉哥朗日中值定理。歐拉和拉格朗日在分析中引入了形式化觀點，而達朗貝爾的極限觀點則為微積分的嚴格化提供了合理內核。

微積分的嚴格化工作經過近一個世紀的嘗試，到19世紀初已開始見成效。首先是捷克數學家波爾察諾(B. Bolzano,1781-1848)1817年發表的論文《純粹分析證明》，其中包含了函數連續性、導數等概念的合適定義、有界實數集的確界存在性定理、序列收斂的條件以及連續函數中值定理的證明等內容。

2.2 柯西對嚴格微積分的貢獻

19世紀分析的嚴密性真正有影響的先驅則是法國數學家柯(A-L.Cauchy,1789-1857)。從1821年到1829年，柯西相繼出版了《分析教程》、《無窮小計算教程》以及《微分計算教程》，它們以分析的嚴格化為目標，對微積分的一系列基本概念給出了明確的定義，在此基礎上，柯西嚴格地表述並證明了微積分基本定理、中值定理等一系列重要定理，定義了級數的收斂性，研究了級數收斂的條件等，他的許多定義和論述已經非常接近於微積分的現代形式。柯西的工作在一定程度上澄清了微積分基礎問題上長期存在的混亂，向分析的全面嚴格化邁出了關鍵的一步。

然而，柯西的理論只能說是「比較嚴格」，不久人們便發現柯西的理論實際上也存在漏洞。比如柯西定義極限為：「當同一變數逐次所取的值無限趨向於一個固定的值，最終使它的值與該定值的差可以隨意小，那麼這個定值就稱為所有其它值的極限」，其中「無限趨向於」、「可以隨意小」等語言只是極限概念的直覺的、定性的描述，缺乏定量的分析，這種語言在其它概念和結論中也多次出現。

應該指出，微積分計算是在實數領域中進行的，但到19世紀中葉，實數仍沒有明確的定義，對實數系仍缺乏充分的理解，而在微積分的計算中，數學家們卻依靠了假設：任何無理數都能用有理數來任意逼近。當時，還有一個普遍持有的錯誤觀念就是認為凡是連續函數都是可微的。基於此，柯西時代就不可能真正為微積分奠定牢固的基礎。所有這些問題都擺在當時的數學家們面前。

2.3 威爾斯特拉斯之嚴格微積分

另一位為微積分的嚴密性做出卓越貢獻的是德國數學家魏爾斯特拉斯。他定量地給出了極限概念的定義，這就是今天極限論中的「ε-δ」方法。魏爾斯特拉斯用他創造的這一套語言重新定義了微積分中的一系列重要概念，特別地，他引進的一致收斂性概念消除了以往微積分中不斷出現的各種異議和混亂。

另外，魏爾斯特拉斯認為實數是全部分析的本源，要使分析嚴格化，就先要使實數系本身嚴格化。而實數又可按照嚴密的推理歸結為整數。因此，分析的所有概念便可由整數導出。這就是魏爾斯特拉斯所倡導的「分析算術化」綱領。基於魏爾斯特拉斯在分析嚴格化方面的貢獻，在數學史上，他獲得了「現代分析之父」的稱號。

1857年，魏爾斯特拉斯在課堂上給出了第一個嚴格的實數定義，但他沒有發表。1872年，戴德金(R. Dedekind, 1831-1916)、康托爾(B. Cantor,1829-1920)幾乎同時發表了他們的實數理論，並用各自的實數定義嚴格地證明了實數系的完備性。這標志著由魏爾斯特拉斯倡導的分析算術化運動大致宣告完成。

3.結論

牛頓和萊布尼茲兩人獨自創立了微積分，柯西和威爾斯特拉斯使嚴格微積分誕生。

⑧ 微積分是牛頓是萊布尼茨優先發明的

牛頓先用的，他是根據物理的背景，用微積分解決問題。萊布尼茨完整的定義了微積分的運算，並做了推導，與我們用的微積分基本相同。一般來說認為他們同時發明的…

⑨ 簡述牛頓和萊布尼茲發明微積分的歷史背景、發明方法、應用價值的異同

牛頓與萊布尼茲創立微積分之解析點擊數：63次 錄入時間：2013/4/15 9:51:00 編輯：liuxinyuan2012[宣傳賺點]下一頁12 今天,微積分已成為基本的數學工具而被廣泛地應用於自然科學的各個領域。恩格斯說過:「在一切理論成就中,未有象十七世紀下半葉微積分的發明那樣被看作人類精神的最高勝利了,如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績,那就正是在這里。」[1](p.244)本文試從牛頓、萊布尼茲創立「被看作人類精神的最高勝利」的微積分的時代背景及哲學思想對其展開剖析。

一、牛頓所處的時代背景及其哲學思想

「牛頓(IsaacNewton,1642-1727)1642年生於英格蘭。⋯⋯,1661年,入英國劍橋大學,1665年,倫敦流行鼠疫,牛頓回到鄉間,終日思考各種問題,運用他的智慧和數年來獲得的知識,發明了流數術(微積分)、萬有引力和光的分析。」[2](p.155)

1665年5月20日,牛頓的手稿中開始有「流數術」的記載。《流數的介紹》和《用運動解決問題》等論文中介紹了流數(微分)和積分,以及解流數方程的方法與積分表。1669年,牛頓在他的朋友中散發了題為《運用無窮多項方程的分析學》的小冊子,在這里,牛頓不僅給出了求一個變數對於另一個變數的瞬時變化率的普遍方法,而且證明了面積可以由求變化率的逆過程得到。因為面積也是用無窮小面積的和來表示從而獲得的。所以牛頓證明了這樣的和能由求變化率的逆過程得到(更精確地說,和的極限能夠由反微分得到),這個事實就是我們現在所講的微積分基本定理。這里「,牛頓使用的是無窮小方法,把變數的無限小增量叫做「瞬」,瞬是無窮小量,是不可分量,或是微元,牛頓通過舍棄「瞬」求得變化率。」[3](p.199)1671年牛頓將他關於微積分研究的成果整理成《流數法和無窮級數》(1736),在這里,他認為變數是連續運動產生的,他把變數叫做流,變數的變化率叫做流數。牛頓更清楚地陳述了微積分的基本問題:已知兩個流之間的關系,求它們流數之間的關系,以及它的逆問題。《流數法和無窮級數》是一部較完整的微積分著作。書的後半部分通過20個問題廣泛地介紹了流數法各無窮級數的應用。1676年,牛頓寫出了《求曲邊形的面積》(1704),在這里,牛頓的微積分思想發生了重大變化,他放棄了微元或無窮小量,而採用了最初比和最後比的方法。

1687年牛頓發表了它的劃時代的科學名著《自然哲學的數學原理》,流數術(即微積分)是其三大發現之一。正如愛因斯坦所說的:「牛頓啊⋯⋯你所發現的道路在你的那個時代是一位具有最高思維能力和創造能力的人所發現的唯一道路,你所創造的概念即使在今天仍然指導著我們的物理學思想」。[4](p.192)

牛頓生活的時代正是英國發生變化的時代,當時英國發生了國內戰爭,資產階級和貴族的階級妥協,使英國資產階級革命明顯的帶上了不徹底性。當時的英國資產階級正在為現存的剝削階級的一切上層建築做永恆存在的論證,因此絕對化的思想成為占統治地位的主導思想,它也影響到當時的自然科學家們把形而上學的思想方法絕對化。牛頓的思想也受到了英國資產階級革命不徹底性的影響,因而牛頓也往往不能從自然界本身或事物的本身來尋找最初的原因,而藉助於外來的推動力。

牛頓在30歲以前發現了微積分,並建立了經典力學體系,而他的後半生在自然科學的研究上幾乎一事無成。這是由於在資本主義產生和形成的時期,資產階級曾經向宗教神學發起沖擊,幫助科學從神學中解放出來。但是當資產階級的地位鞏固以後,階級斗爭逐漸激化之時,資產階級就逐漸衰退,他們就抓住各種各樣的宗教信念作為奴役人民的思想武器。牛頓受其影響很大,其前半生由於自發的唯物主義的思想傾向,使他獲得了巨大成就,而後半生則完全沉迷於神學的研究。

牛頓繼承了培根的經驗主義傳統,特別重視實驗和歸納推理的作用,他曾斷言,自然科學只能從經驗事實出發解釋世界。這在當時對打擊經院哲學的崇尚空談、妄稱神意來歪曲自然界是起過積極作用的。但是「,牛頓卻拘泥於經驗事實,片面強調歸納的重要性。只有大量的感性材料,一切停留在事物的現象上,單獨依靠歸納的方法是得不出系統的普遍性的理性認識來的。在分析和綜合、演繹和歸納的問題上,形而上學使牛頓陷入了矛盾。」[5](p.123)

二、萊布尼茲所處的時代背景及其哲學思想

「萊布尼茲(GottfriedWilhelmLeibniz,1646-1716)生於德國。⋯⋯,1672年赴巴黎,在那裡接觸到惠更斯等一些數學名流,引其進入了數學領域,開始微積分的創造性工作。」[2](p.165)

1684年萊布尼茨發表了數學史上第一篇正式的微積分文獻《一種求極限值和切線的新方法》。這篇文獻是他自1673年以來的微積分研究的概括與成果,其中定義了微分,廣泛地採用了微分符號dx、dy,還給出了和、差、積、商及乘冪的微分法則。同時包括了微分法在求切線、極大、極小值及拐點方面的應用。兩年後,又發表了一篇積分學論文《深奧的幾何與不

變數及其無限的分析》,其中首次使用積分符號「∫」,初步論述了積分(或求積)問題與微分求切線問題的互逆問題。即今天大家熟知的牛頓-萊布尼茨公式∫baf(x)dx=f(b)-f(a),為我們勾畫了微積分學的基本雛形和發展藍圖。
「牛頓建立微積分是從運動學的觀點出發,而萊布尼茲則從幾何學的角度去考慮,所創設的微積分符號遠遠優於牛頓符號,並有效地促進了微積分學的發展。」[6](p.120)牛頓發現微積分(1665-1666年)比萊布尼茨至少早了9年,然而萊布尼茨公開發表它的微積分文章比牛頓早3年。據萊布尼茨本人提供的證據說明他是在1674年形成了微分的思想與方法。如果說,牛頓建立微積分主要是從運動學的觀點出發,而萊布尼茲則是從哲學的和幾何學的角度去考慮,特別是和巴羅的「微分三角形」有密切關系,萊布尼茲稱它為「特徵三角形」。巴羅的微分三角形對萊布尼茲有著重要啟發,對微分三角形的研究,使他意識到求切線和求積問題是一對互逆的問題。萊布尼茲第一個表達出微分和積分之間的互逆關系。

萊布尼茲的許多研究成果和思想的發展,都包含在從1673年起寫的但從未發表過的成百頁的筆記中。1673年左右,他看到求曲線的切線的正問題和反問題的重要性,他完全相信反方法等價於通過求和來求面積和體積。1684年,萊布尼茲發表第一篇微分學論文《一種求極大、極小和切線的新方法,它也適用於分式或無理量,以及這種新方法的奇妙類型的計算》,對他以往的研究作了初步整理,敘述了微分學的基本原理,認為函數的無限小增量是自變數無限小變

化的結果,且把這個函數的增量叫做微分,用字母d表示。1675-1676年間,他從求曲邊形面積出發得到積分的概念,給出微積分基本定理∫baf(x)dx=f(b)-f(a)。1686年萊布尼茲發表積分學論文《潛在的幾何與分析不可分和無限》。1693年,他給出了上述定理的一個證明。以上這些都發表在《教師學報》上。將微分和積分統一起來,是微積分理論得以建立的一個重要標志。萊布尼茲出生在德國路德派諸侯與天主教諸侯之間的對立而引起的「三十年戰爭」結束前。為了改變宗教紛爭的局面,萊布尼茲立志要發現一種新的天主教和路德教都能適合的關於實體的學說,以成為兩派教會得以聯合的哲學基礎。雖然萊布尼茲的意圖是不可能實現的,但他後來卻因此提出了一種與笛卡爾不同的實體學說———單子論。

「單子論是萊布尼茲哲學的核心內容。萊布尼茲認為一切事物都由單子這種精神的實體構成的,這種『單子』既非物質的而又具有一定的質,它是精神性的,萊布尼茲就把它比之於靈魂。只有精神的單子才是真實的存在的實體,從單子是不可分的,即沒有部分的「單純」實體這一點出發,萊布尼茲就推論出它的一系列特徵:單子沒有部分,它就不能以自然的方式通過各部分的組合而產生,或通過各部分的分解而消滅,因此它的生滅只能出於上帝的突然創造或毀滅;單子沒有部分,就不能設想有什麼東西可以進入其內部來造成變化,這樣,單子就成了各自獨立或徹底孤立的東西,各單子之間不能有任何真正的相互作用或影響。單子之間沒有量的差異,而只有質的不同。」[7](p.85)

總之,萊布尼茲的基本觀點是唯心主義的,也是形而上學的。他把宇宙的秩序都歸因於上帝的預先決定。他肯定許多必然真理並非來自經驗,他認為不但認識的對象都是由精神性的「單子」所構成。而且認識的主體也只能作為精神實體的心靈這種「單子」。他把一切發展變化都歸因於上帝的「前定」,實際也就否定了真正的發展,這是他的觀點的消極的一面。但另一方面,萊布尼茲的哲學也有積極方面,它的哲學中含有豐富的辯證法思想,他肯定實體本身就具有力,因而是能動的,實質上肯定了物質與運動不可分的思想,他試圖解決「不可分的點」和「連續性」的矛盾問題,接觸到了個別與全體、間斷性與連續性的對立統一問題,對促進理性和經驗的辯證結合做出了一定的貢獻。

三、牛頓、萊布尼茲創立微積分之比較

牛頓和萊布尼茲用各自不同的方法,創立了微積分學。如果說牛頓接近最後的結論要比萊布尼茲早一些,那麼萊布尼茲發表自己的結論要早於牛頓。雖然牛頓的微積分應用遠遠超過萊布尼茲的工作,刺激並決定了幾乎整個十八世紀分析的方向,但是萊布尼茲成功地建立起更加方便的符號體系和計算方法。兩位微積分的奠基人,一位具有英國式的處事謹慎,治學嚴謹的風度,一位具有德國人的哲理思辨心態,熱情大膽。由於陰陽差錯的時代背景,過分追求嚴謹的牛頓遲遲未將自己的發現發表,讓萊布尼茨搶了一個發表的頭籌。

牛頓和萊布尼茲的哲學觀點的不同導致了他們創立微積分的方法不同。牛頓堅持唯物論的經驗論,特別重視實驗和歸納推理。他在研究經典力學規律和萬有引力定律時,遇到了一些無法解決的數學問題,而這些數學問題用歐幾里德幾何學和16世紀的代數學是無法解決的,因此牛頓著手研究新的以求曲率、面積、曲線的長度、重心、最大最小值等問題的方法———流數法。「牛頓的研究採用了最初比和最後比的方法。他認為流數是初生量的最初比或消失量的最後比。初生量的最初比就是在初生的瞬間的比值,消失量的最後比就是量在消失的瞬間的比值。」[4](p.180)這個解釋太模糊了,算不上精確的數學概念,只不過是一種直觀的描述。最初比和最後比的物理原型是初速度與末速度的數學抽象,在物體作位置移動的過程中的每一瞬間具有的速度是自明的,牛頓就是從這個客觀事實出發提出了最初比和最後比的直觀概念。這樣他就給出了極限的觀點。

萊布尼茲的微積分創造始於研究「切線問題」和「求積問題」,他從微分三角形認識到:求曲線的切線依賴於縱坐標之差與橫坐標之差的比值;求曲邊圖形的面積則依賴於在橫坐標的無限小區間上的縱坐標之和或無限薄的矩形之和。萊布尼茲認識到求和與求差運算是可逆的。萊布尼茲用無窮小的思想給出了微積分的基本定理,並發展成為高階微分。萊布尼茲的無窮小是分階的,這源於他哲學中的單子論思想。「萊布尼茲在單子論中指出:不同的單子其知覺

的清晰程度是不一樣的,並從一種知覺向另一種知覺過渡和變化,發展就是由單子構成的事物,由低級向高級的不同等級的序列。」[6](p.91)可以說,萊布尼茲的無窮小的分階正是和它的客觀唯心論的哲學體系中那個不同層次的單子系統是相對應的。萊布尼茲在微積分的研究過程中,連續性原則成為其工作的基石,而連續性原則是紮根於他哲學中無限的本質的思想。

牛頓和萊布尼茲創立微積分的相同點有:從不同的角度創立了一門新的數學學科,使微積分具有廣泛的用途並能應用於一般函數;用代數的方法從過去的幾何形式中解脫出來;都研究了微分與反微分之間的互逆關系。

牛頓和萊布尼茲創立微積分的不同點主要有:牛頓繼承了培根的經驗論,對歸納特別青睞。牛頓的微積分明顯帶著從力學脫胎而來的物理模型的痕跡,以機械運動的數學模型出現,其中的基本概念,如初生量、消失量、瞬、最初比和最後比等概念都來自機械運動,是機械運動瞬間狀態的數學抽象。他建立微積分的目的是為了解決特殊問題,強調的是能推廣的具體結果。而萊布尼茲強調能夠應用於特殊問題的一般方法和演算法,以便統一處理各種問題。萊布尼茲在符號的選擇上花費了大量的時間,發明了一套富有提示性的符號系統。他把sum(和)的第一個字母S拉長表示積分,用dx表示x的微分,這套簡明易懂又便於使用的符號一直沿用至今。

牛頓認為微積分是純幾何的自然延伸,關心的是微積分在物理學中的應用。經驗、具體和謹慎是他的工作特點,這種拘束的做法,使他沒有能盡情發揮。而萊布尼茲關心的是廣泛意義下的微積分,力求創造建立微積分的完善體系。他富於想像,喜歡推廣,大膽而且有思辯性,所以毫不猶豫地宣布了新學科的誕生。

牛頓和萊布尼茲都是他們時代的科學巨人。微積分之所以能成為獨立的學科並給整個自然科學帶來革命性的影響,主要是靠了牛頓與萊布尼茲的工作。從牛頓和萊布尼茲創立微積分的過程中可以看出:當巨人的哲學的沉思變成科學的結論時,對科學發展的影響是深遠的。

⑩ 牛頓萊布尼茨什麼時候發明的微積分

牛頓在1671年寫了《流數法和無窮級數》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，內變數是容由點、線、面的連續運動產生的，否定了以前自己認為的變數是無窮小元素的靜止集合。他把連續變數叫做流動量，把這些流動量的導數叫做流數。牛頓在流數術中所提出的中心問題是：已知連續運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內經過的路程(積分法)。
1684年，德國的萊布尼茨發表了現在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用於分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。他以含有現代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發表了第一篇積分學的文獻。他是歷史上最偉大的符號學者之一，他所創設的微積分符號，遠遠優於牛頓的符號，這對微積分的發展有極大的影響。現在我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨精心選用的。