1. 斐波那契數列的全部規律
斐波拉契數列的簡介斐波拉契數列（又譯作「斐波那契數列」或「斐波那切數列」）是一個非常美麗、和諧的數列，它的形狀可以用排成螺旋狀的一系列正方形來說明（如右詞條圖），起始的正方形(圖中用灰色表示)的邊長為1，在它左邊的那個正方形的邊長也是1 ，在這兩個正方形的上方再放一個正方形，其邊長為2，以後順次加上邊長為3、5、8、13、2l……等等的正方形。這些數字每一個都等於前面兩個數之和，它們正好構成了斐波那契數列。「斐波那契數列」的發明者，是義大利數學家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生於公元1170年，卒於1240年。籍貫大概是比薩）。他被人稱作「比薩的列昂納多」。1202年，他撰寫了《珠算原理》(Liber Abaci)一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業團體聘任為外交領事，派駐地點相當於今日的阿爾及利亞地區，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數學。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數學。斐波那契數列指的是這樣一個數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34…… 這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。它的通項公式為：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}(√5表示5的算術平方根)(19世紀法國數學家敏聶(Jacques Phillipe Marie Binet 1786-1856)很有趣的是：這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。 斐波拉契數列的出現13世紀初，歐洲最好的數學家是斐波拉契；他寫了一本叫做《算盤書》的著作，是當時歐洲最好的數學書。書中有許多有趣的數學題，其中最有趣的是下面這個題目： 「如果一對兔子每月能生1對小兔子，而每對小兔在它出生後的第3個月裏，又能開始生1對小兔子，假定在不發生死亡的情況下，由1對初生的兔子開始，1年後能繁殖成多少對兔子？」 斐波拉契把推算得到的頭幾個數擺成一串：1，1，2，3，5，8…… 這串數里隱含著一個規律：從第3個數起，後面的每個數都是它前面那兩個數的和。而根據這個規律，只要作一些簡單的加法，就能推算出以後各個月兔子的數目了。 於是，按照這個規律推算出來的數，構成了數學史上一個有名的數列。大家都叫它「斐波拉契數列」，又稱「兔子數列」。這個數列有許多奇特的的性質，例如，從第3個數起，每個數與它後面那個數的比值，都很接近於0.618，正好與大名鼎鼎的「黃金分割律」相吻合。人們還發現，連一些生物的生長規律，在某種假定下也可由這個數列來刻畫呢。 斐氏本人對這個數列並沒有再做進一步的探討。直到十九世紀初才有人詳加研究，1960年左右，許多數學家對斐波拉契數列和有關的現象非常感到興趣，不但成立了斐氏學會，還創辦了相關刊物，其後各種相關文章也像斐氏的兔子一樣迅速地增加。斐波拉契數列的來源及關系斐波拉契（Fibonacci）數列來源於兔子問題，它有一個遞推關系，f(1)=1 f(2)=1 f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中n>=2 {f(n)}即為斐波拉契數列。斐波拉契數列的公式它的通項公式為:{[（1＋√5）/2]^n － [（1－√5）/2]^n }/√5 （註：√5表示根號5） 斐波拉契數列的某些性質1)，f(n)f(n)-f(n+1)f(n-1)=(-1)^n;2), f(1)+f(2)+f(3)+……+f(n)=f(n+2)-1 3),arctan[1/f(2n+1)]=arctan[1/f(2n+2)]+arctan[1/f(2n+3)]
2. 斐波那契數列 是什麼
斐波納契數列（Fibonacci Sequence），又稱黃金分割數列。
斐波那契數列指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。
斐波那契數列的發明者，是義大利數學家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生於公元1170年，卒於1240年，籍貫大概是比薩）。他被人稱作「比薩的列昂納多」。1202年，他撰寫了《珠算原理》(Liber Abacci)一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業團體聘任為外交領事，派駐地點相當於今日的阿爾及利亞地區，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數學。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數學。
3. 斐波那契數列和花瓣的聯系什麼 時間發現的
http://tieba..com/p/1465436180 這里對斐波那契數列講的比較詳細~
4. 斐波那契數列發明的意義
A.斐波那契數列在歐美可謂是盡人皆知，於是在電影這種通俗藝術中也時常出現，比如在風靡一時的《達芬奇密碼》里它就作為一個重要的符號和情節線索出現，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘會計時隨口問的問題。可見此數列就像黃金分割一樣流行。可是雖說叫得上名，多數人也就背過前幾個數，並沒有深入理解研究。在電視劇中也出現斐波那契數列，比如：日劇《考試之神》第五回，義嗣做全國模擬考試題中的最後一道數學題~
B.人類文明的斐波那契演進
古老的<馬爾薩斯理論>已經顯靈馬爾薩斯認為：每當社會財富快速積累，人口快速增長，就會出現：戰爭、瘟疫、飢荒、自然災害來削減人口。2000年科技泡沫達到繁榮的極限，到處都是財富神話！然後盛極而衰，全球經濟急轉直下轉入衰退、長期蕭條。於是：911、阿富汗戰爭、伊拉克戰爭、 SARS、印度洋海嘯、颶風襲擊美利堅、禽流感、寒流襲擊歐羅巴。這一切集中在一起接二連三地發生！2000年是自上世紀30年代全球經濟大蕭條後，一個長達約70年的經濟增長周期的結束點，後面將是一個長期蕭條周期。上世紀30年代全球經濟大蕭條導致了二次世界大戰，被艾略特稱之為：底部戰爭。現在又是一個與上世紀30年代全球經濟大蕭條同級別的經濟蕭條周期，2000年來的經濟蕭條將持續至 2021年才會結束（預測附在下面）。後面是否又會發生被艾略特稱之為的：底部戰爭？至少有不良苗頭：哈馬斯執政、伊朗核問題糾纏，世界將走向何方？ 是否還記得那個著名的： 1999年7月之上 （誤差了2年） 恐怖大王從天而降 （911） 使安哥魯摩阿大王為之復活 （美國發動反恐戰爭） 這期間由馬爾斯借幸福之名統治四方 （唯一待驗證） 社會群體心理、群體行為、群體價值觀，乃至國際政治、經濟、軍事，一切皆是自相似系統分形幾何運行階段的反映和結果。 1、自2000年來的全球經濟蕭條將持續至2021年，說明未來將是長期蕭條。 2、之前會有若干次小級別、溫和的經濟擴張和收縮，2010、2011、2018年是拐點。 3、2021年是一個黑暗的年份，人們悲觀、恐懼、絕望的情緒會達到一個極點。到時絕大多數經濟學家會一致悲觀！接著柳岸花明經濟開始復甦，經濟學家們又挨了一記大耳光。 首先，列出一組計算公式： （公元1937年 – 公元1932年）X 3.618 + 公元1982年 = 公元2000年 （公元1966年 – 公元1942年）/1.382 + 公元1982年 = 公元1999年 （公元1837年 – 公元1789年）X 1.382 + 公元1932年 = 公元1998年 （公元1325年 – 公元950年）X 0.618 – （公元1650年 – 公元1490年） + （公元1789年– 公元1650年） + 公元1789年 = 公元2000年 其中： 公元950年 商業革命的起點 公元1325年 商業革命的結束點 公元1490年 資本主義革命的起點 公元1650年 資本主義革命的結束點 公元1789年 工業革命的起點 公元1837年 公元1789年後第一輪經濟擴張的結束點 公元1932年 自公元1929年資本主義世界股災的結束點 公元1937 年 公元1929年股災後第一輪經濟擴張的結束點 公元1942年 公元1929年股災後第二輪經濟擴張的起點 公元1966年 公元1929年股災後第二輪經濟擴張的結束點 公元1982年 70年代全球經濟滯脹的結束點 0.618、1.382、3.618 是斐波那契比率，來源於斐波那契數列 前2個計算公式的含義： 自上世紀30年代資本主義世界經濟大蕭條以來，新的一個自公元1932年開始的上升5浪的經濟擴張周期已經結束，結束點為公元2000年。那麼接著是一個調整期（經濟蕭條期），如果是對公元1932年至公元2000年，長度68年的經濟擴張周期的調整，那麼它的長度應該比之前小一浪級的第4浪（公元 1966年至公元公元1982年，長16年）要長，那麼斐波那契數列中最接近的數字是21年。另外，貝納理論對時間周期的推導，公元2000年為一個重要的高點，公元2003年為一個重要的低點，下一個重要的低點是公元2021年，相互吻合。並且，公元2000年的全球經濟繁榮的拐點、公元2003年的低點已經被全球經濟運行的事實所確認。其中，第2個計算公式誤差了1年。 第3個計算公式的含義： 公元1932年至公元2000年，長度68年的經濟擴張的上升5浪，又是更大浪級一個上升5浪（公元1789年至公元2000年，長度211年）的第5子浪，公元2000年同時又是長211年上升5浪的結束點。該計算公式的結果誤差了2年。那麼，接下來的調整（經濟蕭條期）可就不是21年這么短，而是211年的 38.2%、50%、61.8%（斐波那契回盪） ，也就是長度幾十年至百年級的。 第4個計算公式的含義： 公元1789年至公元2000年，長211年上升5浪的經濟擴張周期，又是更大浪級公元950年至公元2000年千年浪（浪3）的第5子浪，說明公元 2000年同時又是長度1050年的一個千年浪（浪3）的結束點。那麼說明接下來的調整（浪4，經濟蕭條期）將是對千年浪（浪3）的幾百年級的。這種幾百年級規模的調整不得不要從人類文明級別來考慮！之前：古羅馬帝國於公元476年滅亡，之前是一個一千年的羅馬帝國人類奴隸社會的文明（浪1），公元476 年後接著是一個長達474年動盪的、封建的黑暗中世紀（浪2）。並且，公元2000年的拐點（浪3的結束點）已經被全球經濟運行的事實所證實，按照馬爾薩斯的人口理論：每當社會財富快速積累，人口快速增長，就會出現：戰爭、瘟疫、飢荒、自然災害來削減人口。公元2000年後馬爾薩斯理論在不斷被驗證，而唯一還沒有被證實的飢荒，氣候如此大面積劇烈異常波動，難免會造成連續幾年的糧食減產，馬爾薩斯所提到的飢荒也是不難預期地。以後發生的事情還會繼續不斷地驗證馬爾薩斯理論，不信讓你們的孩子的孩子......的孩子，來繼續鑒證。（自然災害頻發糧食減產，低素質人口猛超生，已經為將來鬧飢荒打下了伏筆。2007-2-15補）公元2000年一個時間窗口打開，之後將會戰爭、瘟疫、飢荒、自然災害頻發，這個逆流（浪4）的長度將是幾百年長度的，未來的幾百年全球人口將會被消減38.2%或50%或61.8%（斐波那契回盪），個人認為38.2%的可能性偏大，也就是說將有大量人口死於非命。即便是沒被消減的，也是活的生不如死。事實已經證明公元2000年是一個千年級的時空 共振點。擴張/收縮、前進/倒退的交替式發展是自然生長、事物發展的自然法則，是不以人的意志為轉移地。況且，人類社會本身就是自然的組成部分。 另外，非常精確的是： 浪3長度是浪2長度的2.236倍（又一個斐波那契比率） 浪3長度= 公元2000年– 公元950年= 1050年 浪2長度= 公元950年– 公元476年= 474年 1050年/2.236 = 470年，與浪2的474年僅很接近，僅誤差4年。 非常巧合的是公元2000年已經被證實是全球經濟運行的重要拐點，同時與上述4個計算公式的計算結果、貝納理論的周期推導結果、還有400多年前的大預言時間出奇的一致！不知道大預言的作者是怎麼計算的？ 1999年7月之上 恐怖大王從天而降 使安哥魯摩阿大王為之復活 這期間由馬爾斯借幸福之名統治四方 至此我們應該明白，我們偉大的人生處於歷史長河的何種階段？下面的幾百年級的調整（浪4），世界將是動盪不安的、到處都充滿仇恨、敵對、剝削、壓迫。有可能會是象偉大革命導師列寧所論述的：資本主義是腐朽的，資本主義是垂死的，無產階級最終是資本主義的掘墓人。人類社會經過幾百年的動盪和無產階級革命（浪4），下一個千年浪（浪5）可能是人類文明的全球普遍社會主義階段，下一個千年浪（浪5）也可能是一個延長浪，其中的第5子浪會上升到共產主義階段，英特納雄耐爾就一定會實現！！ 而西方文明精確理論計算的未來： 根據波浪構造指導方針 1、浪2、4趨於等長，或呈斐波那契關系。 2、一個波浪結構中的5個子浪的第1子浪延長，這個波浪結構之後的調整浪幅度將小於等於第2子浪的底。那麼，浪4的調整比較可能的是與浪2趨於等長。浪4長度 = 公元950年 – 公元476年 = 474年也就是說，上面提到的公元2000年後的戰爭、瘟疫、飢荒、自然災害頻發來消減人口的逆流（浪4），其長度將持續474年。之後的浪5（社會主義至共產主義文明）：浪1、3趨於等長，那麼浪5將是延長浪，長度是浪1、3的1.618（斐波那契比率）倍。浪5長度 = （公元2000年 – 公元950年）X 1.618 = 1699年也就是說，西方文明自公元950年來的浪3（發展的驅動浪，它伴隨商業貿易的興起至資本主義的科技泡沫）已於公元2000年結束，之後的浪4（戰亂、瘟疫、飢荒、自然災害頻發的調整浪）將是長度474年的調整，然後的浪5（發展的驅動浪，社會主義至共產主義文明）長度將是1699年，最後西方文明將於公元2000年 + 474年 + 1699年 = 公元4173年結束。 我們人類在地球上的文明史本身可能就是地球生命發展階段的一個子浪而已。 通過對跨度幾千年的中國歷史朝代表分析，驚異地發現中華文明竟然也是以艾略特波浪的斐波那契方式演進！ 先看中國封建社會: 浪Ⅰ 公元前221年 -- 公元220年 長度441年 統一、發展的秦、漢 浪Ⅱ 公元220年 -- 公元581年 長度361年 動盪、戰亂、分裂的三國、兩晉、南北朝 浪Ⅲ 公元581年 – 公元907年 長度326年 統一、發展的隋、唐 浪Ⅳ 公元907年 – 公元1279年 長度372年 動盪、戰亂、分裂/並存的五代十國、宋、遼、西夏、金 浪Ⅴ 公元1279年 – 公元1911年 長度632年 統一、發展的元、明、清 並且： 1、中國封建社會的三大盛世「文景之治」、「貞觀之治」、「康乾盛世」就出現在Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ三個上升的驅動浪中。 2、浪Ⅴ是延長浪經歷3個朝代，浪Ⅰ、Ⅲ未延長經歷2個朝代。 3、每個驅動浪開頭總有一個短命的朝代：秦、隋、元 4、元/隋 = 89年/37年 = 2.41 隋/秦 = 37年/15年 = 2.47 趨於一致 其間的斐波那契關系： 1、浪Ⅰ長度是浪Ⅲ長度的1.382倍（斐波那契比率），浪Ⅲ長度326年X 1.382 = 451年，與浪Ⅰ長度441年接近。 2、浪Ⅴ長度是浪Ⅰ長度的1.382倍（斐波那契比率），浪Ⅰ長度441年X 1.382 = 609年，與浪Ⅴ長度632年接近。也就是說，（公元220年 – 公元前221年）X 1.382 + 公元1279年 = 公元1888年公式含義：中國封建社會結束點公元1911年之前很多年，就可以通過波浪間的斐波那契關系計算出中國封建社會將於公元1888年結束。只誤差了23年，對於長達2132年的中國封建社會而言，誤差僅為1.08% 3、浪Ⅱ長度是浪Ⅰ長度的0.809倍（斐波那契比率），浪Ⅰ長度441年 X 0.809 =357年，與浪Ⅱ長度361年接近。 4、浪Ⅳ長度372年與浪Ⅱ長度361年趨於等長。 5、浪Ⅴ是延長浪，長度是浪Ⅰ至浪Ⅲ的1.618倍（斐波那契比率）。（441年 – 361年 + 326年）X 1.618 = 657年，與浪Ⅴ長度632年接近。也就是說，（公元220年 – 公元前221年 – 公元581年 + 公元220年 + 公元907年 – 公元581年）X 1.618 + 公元1279年 = 公元1936年 公式含義： 中國封建社會結束點公元1911年之前很多年，就可以通過波浪間的斐波那契關系計算出中國封建社會將於公元1936年結束。只誤差了25年，對於長達2132年的中國封建社會而言，誤差僅為1.17%然而公元前221年至公元1911年長達2132年的中國封建社會僅是更大浪級中華文明的第3子浪。 更大浪級的波浪間存在令人瞠目結舌的精確、完美的斐波那契關系： 浪1 約公元前21世紀 -- 公元前722年，長度約1300年，夏、商、周至春秋/戰國前的中國奴隸社會文明。 浪2 公元前722年 -- 公元前221年，長度501年，動盪、戰亂、分裂的春秋/戰國。 浪3 公元前221年 -- 公元1911年，長度2132年，中國封建社會文明。 (因內容過長,後續略)
5. 斐波那契數列是怎麼發明的
斐波那契數列的發明者，是義大利數學家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生於公元1170年，死於1240年，籍貫大概是比薩）。他被人稱作「比薩的列昂納多」。1202年，他撰寫了《珠算原理》（Liber Abacci）一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。
6. 斐波那契數列由十三世紀義大利科學家斐波那契發現。數列中的一系列數字常常被人們稱為神奇數、奇異數。具
1 1 2 3 5 8 13 21
這個數列在排列里用的很廣泛，比如一個樓梯有x個台階，一次可以上一或兩個台階，一共有多少種上法。就是這個數列。
7. 斐波那契數列有啥規律
「斐波那契數列」或「斐波那切數列」）是一個非常美麗、和諧的數列，它的形狀可以用排成螺旋狀的一系列正方形來說明（如右詞條圖），起始的正方形(圖中用灰色表示)的邊長為1，在它左邊的那個正方形的邊長也是1 ，在這兩個正方形的上方再放一個正方形，其邊長為2，以後順次加上邊長為3、5、8、13、2l……等等的正方形。這些數字每一個都等於前面兩個數之和，它們正好構成了斐波那契數列。「斐波那契數列」的發明者，是義大利數學家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生於公元1170年，卒於1240年。籍貫大概是比薩）。他被人稱作「比薩的列昂納多」。1202年，他撰寫了《珠算原理》(Liber Abaci)一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業團體聘任為外交領事，派駐地點相當於今日的阿爾及利亞地區，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數學。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數學。斐波那契數列指的是這樣一個數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34…… 這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。它的通項公式為：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}(√5表示5的算術平方根)(19世紀法國數學家敏聶(Jacques Phillipe Marie Binet 1786-1856)很有趣的是：這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。 斐波拉契數列的出現13世紀初，歐洲最好的數學家是斐波拉契；他寫了一本叫做《算盤書》的著作，是當時歐洲最好的數學書。書中有許多有趣的數學題，其中最有趣的是下面這個題目： 「如果一對大家都叫它「斐波拉契數列」，又稱「兔子數列」。這個數列有許多奇特的的性質，例如，從第3個數起，每個數與它後面那個數的比值，都很接近於0.618，正好與大名鼎鼎的「黃金分割律」相吻合。人們還發現，連一些生物的生長規律，在某種假定下也可由這個數列來刻畫呢。
8. 斐波那契數列什麼時候會學
高中不會學
不過競賽課程有的
斐波那契數列,「斐波那契數列」的發明者，是義大利數學家列昂納多•斐波那契（Leonardo Fibonacci，生於公元1170年，卒於1240年。籍貫大概是比薩）。他被人稱作「比薩的列昂納多」。1202年，他撰寫了《珠算原理》(Liber Abaci)一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業團體聘任為外交領事，派駐地點相當於今日的阿爾及利亞地區，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數學。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數學。
斐波那契數列指的是這樣一個數列：1，1，2，3，5，8，13，21……
這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。它的通項公式為：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根號5】
很有趣的是：這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。
【該數列有很多奇妙的屬性】
比如：隨著數列項數的增加，前一項與後一項之比越逼近黃金分割0.6180339887……
還有一項性質，從第二項開始，每個奇數項的平方都比前後兩項之積多1，每個偶數項的平方都比前後兩項之積少1。
如果你看到有這樣一個題目：某人把一個8*8的方格切成四塊，拼成一個5*13的長方形，故作驚訝地問你：為什麼64＝65？其實就是利用了斐波那契數列的這個性質：5、8、13正是數列中相鄰的三項，事實上前後兩塊的面積確實差1，只不過後面那個圖中有一條細長的狹縫，一般人不容易注意到。
如果任意挑兩個數為起始，比如5、-2.4，然後兩項兩項地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你將發現隨著數列的發展，前後兩項之比也越來越逼近黃金分割，且某一項的平方與前後兩項之積的差值也交替相差某個值。
斐波那契數列的第n項同時也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相鄰正整數的子集個數。
【斐波那契數列別名】
斐波那契數列又因數學家列昂納多•斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為「兔子數列」。
斐波那契數列
一般而言，兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔都不死，那麼一年以後可以繁殖多少對兔子？
我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：
第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對;
兩個月後，生下一對小兔民數共有兩對;
三個月以後，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對;
－－－－－－
依次類推可以列出下表：
經過月數：0123456789101112
兔子對數：1123581321345589144233
表中數字1，1，2，3，5，8－－－構成了一個數列。這個數列有關十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構成了後一項。
這個數列是義大利中世紀數學家斐波那契在＜算盤全書＞中提出的，這個級數的通項公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性質外，還可以證明通項公式為：an=1/√[（1＋√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.....）
【斐波那挈數列通項公式的推導】
斐波那契數列：1，1，2，3，5，8，13，21……
如果設F(n)為該數列的第n項(n∈N+)。那麼這句話可以寫成如下形式：
F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
顯然這是一個線性遞推數列。
通項公式的推導方法一：利用特徵方程
線性遞推數列的特徵方程為：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
則F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根號5】
通項公式的推導方法二：普通方法
設常數r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
則r+s=1, -rs=1
n≥3時，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
將以上n-2個式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化簡得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那麼：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（這是一個以s^(n-1)為首項、以r^(n-1)為末項、r/s為公差的等比數列的各項的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1, -rs=1的一解為 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
則F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
【C語言程序】
main()
{
long fib[40] = {1,1};
int i;
for(i=2;i<40;i++)
{
fib[i ] = fib[i-1]+fib[i-2];
}
for(i=0;i<40;i++)
{
printf("F%d==%d\n", i, fib);
}
return 0;
}
【Pascal語言程序】
var
fib: array[0..40]of longint;
i: integer;
begin
fib[0] := 1;
fib[1] := 1;
for i:=2 to 39 do
fib[i ] := fib[i-1] + fib[i-2];
for i:=0 to 39 do
write('F', i, '=', fib[i ]);
end.
【數列與矩陣】
對於斐波那契數列1,1,2,3,5,8,13…….有如下定義
F(n)=f(n-1)+f(n-2)
F(1)=1
F(2)=1
對於以下矩陣乘法
F(n+1) = 1 1 * F(n)
F(n) 1 0 F(n-1)
它的運算就是
F(n+1)=F(n)+F(n-1)
F(n)=F(n)
可見該矩陣的乘法完全符合斐波那契數列的定義
設1 為B，1 1為C
1 1 0
可以用迭代得到:
斐波那契數列的某一項F(n)=(BC^(n-2))1
這就是斐波那契數列的矩陣乘法定義.
另矩陣乘法的一個運演算法則A¬^n(n為偶數)=A^(n/2)* A^(n/2).
因此可以用遞歸的方法求得答案.
時間效率：O(logn)，比模擬法O(n)遠遠高效。
代碼（PASCAL）
{變數matrix是二階方陣, matrix是矩陣的英文}
program fibonacci;
type
matrix=array[1..2,1..2] of qword;
var
c,cc:matrix;
n:integer;
function multiply(x,y:matrix):matrix;
var
temp:matrix;
begin
temp[1,1]:=x[1,1]*y[1,1]+x[1,2]*y[2,1];
temp[1,2]:=x[1,1]*y[1,2]+x[1,2]*y[2,2];
temp[2,1]:=x[2,1]*y[1,1]+x[2,2]*y[2,1];
temp[2,2]:=x[2,1]*y[1,2]+x[2,2]*y[2,2];
exit(temp);
end;
function getcc(n:integer):matrix;
var
temp:matrix;
t:integer;
begin
if n=1 then exit(c);
t:=n div 2;
temp:=getcc(t);
temp:=multiply(temp,temp);
if odd(n) then exit(multiply(temp,c))
else exit(temp);
end;
procere init;
begin
readln(n);
c[1,1]:=1;
c[1,2]:=1;
c[2,1]:=1;
c[2,2]:=0;
if n=1 then
begin
writeln(1);
halt;
end;
if n=2 then
begin
writeln(1);
halt;
end;
cc:=getcc(n-2);
end;
procere work;
begin
writeln(cc[1,1]+cc[1,2]);
end;
begin
init;
work;
end.
【數列值的另一種求法】
F(n) = [ (( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) ^ n ]
其中[ x ]表示取距離 x 最近的整數。
【數列的前若干項】
1 1
2 2
3 3
4 5
5 8
6 13
7 21
8 34
9 55
10 89
11 144
12 233
13 377
14 610
15 987
16 1597
17 2584
18 4181
19 6765
20 10946
9. 斐波那契數列的通項公式是誰第一個正確求出來的
法國數學家棣莫弗，可以參看維基網路英文條目closed-form expression部分http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number
這個是很簡單的問題，中學競賽就有。不可能到1976年才做出來。