創造基本不等式歷史

① 基本不等式所有公式

調和平均數=<幾何平均數=<算術平均數=<平方平均數
2/((1/a)+(1/b))=<(ab)^(1/2)=<(a+b)/2=<(a^2+b^2)^(1/2)/2

② 基本不等式的概念

<<不等式的基本性質>>教學設計
一、教學目標：

（一）知識技能

1．掌握不等式的三條基本性質。

2．運用不等式的基本性質將不等式變形。

（二）數學思考

1．通過聯想等式的性質，探索不等式的性質，初步體會「類比」的數學思想。

2．通過觀察、猜想、驗證、歸納等數學活動，經歷從特殊到一般、由具體到抽象的認知過程，感受數學思考過程的條理性，發展思維能力和語言表達能力。

（三）解決問題

1．學生經歷觀察、探究、歸納、總結等過程，獲得解決數學問題的經驗和方法，能夠運用不等式的基本性質解決簡單的問題。

2．通過運用不等式的基本性質將不等式變形，形成解決問題的一些基本策略，發展學生用數學意識。

（四）情感態度

通過探究不等式基本性質的活動，培養學生合作交流的意識和大膽猜想、樂於探究的良好思維品質。培養學生對數學的好奇心與求知慾，並從數學學習活動中獲得成功的體驗，樹立自信心。

二、教學重點：

探索不等式的三條基本性質並能正確運用它們將不等式變形。

三、教學難點：

不等式基本性質3的探索與運用。

四、教學方法：自主探究——合作交流

五、教學媒體：投影儀

六、教學過程:

【活動一】

問題1．舉例說明什麼是不等式？

學生積極口答。

問題2．判斷下列各式是否成立？並說明理由。

( 1 ) 若x－3=12, 則x＝15 ( )

( 2 ) 若3x=12, 則 x＝4 ( )

( 3 ) 若x－3＞12 則 x＞15 ( )

( 4 ) 若3x＞12 則 x＞4 ( )

教師用投影出示問題，學生思考、回答，（1）、（2）小題喚起對舊知識——等式的基本性質的回憶，（3）、（4）小題引導學生大膽說出自己的想法。

教師小結：當我們開始研究不等式的時候，自然會聯想到它是否與等式有相類似的性質。這節課我們就通過類比來探究不等式的基本性質。

在本次活動中，教師應重點關註：（1）學生對等式基本性質的記憶和理解；（2）學生對不等式變形結果的推斷。

設計意圖：通過復習既找准了舊知停靠點，又創設了一種情境，給學生提供了類比、想像的空間，為後續學習做好了鋪墊。

【活動二】

問題2．由等式性質1你能猜想一下不等式具有什麼樣的性質嗎？

估計學生會猜：不等式兩邊都加上或減去同一個數（或同一個整式），所得結果仍是不等式。此時教師加以引導，「＝」沒有方向性，所以可以說所得結果仍是等式，而不等號：「＞，＜，≥，≤」具有方向性，我們應該重點研究它在方向上的變化。

問題3．你能通過實驗、猜想，得出進一步的結論嗎？

同桌同學通過實例驗證得出結論，師生共同總結不等式性質1。

問題4．你能由等式性質2進一步猜想不等式還具有什麼性質嗎？

學生可能會猜：不等式兩邊都乘或除以同一個數（除數不能是0），不等號的方向不變。教師不置可否，而是鼓勵學生實踐是檢驗真理的唯一標准。

問題5．你能和小夥伴一起來驗證你們的猜想嗎？

學生在四人小組內合作交流，發現了在不等式兩邊都乘或除以同一個數時，不等號的方向會出現兩種情況。教師進一步引導學生通過分析、比較探索規律，從而形成共識，歸納概括出不等式性質2和3。

設計意圖：把猜想作為教學的出發點，啟發學生積極思維，探索規律，把課堂變為學生再發現、再創造的樂園。讓學生在「做」數學中學數學，真正成為學習的主人。

問題6．在不等式兩邊都乘0會出現什麼情況？

問題7．如果a、b、c表示任意數，且a＜b，你能用a、b、c把不等式的基本性質表示出來碼？

教師指導學生先作變形再填不等號，對字母c的取值進行討論，培養學生的分類意識。

設計意圖：把文字語言轉化為數學語言，是數學學習中的一項基本能力，這里有意識地進行滲透，對培養學生的思維能力有十分重要的意義。

問題8．想一想，不等式的基本性質與等式的基本性質有什麼相同之處，有什麼不同之處？

學生思考，獨立總結異同點。

在本次活動中，教師應重點關註：（1）學生是否能夠運用類比猜想並通過對具體實例的驗證、歸納、概括，得出不等式的三條基本性質；（2）學生在不等式的基本性質2、3的探索中是否能正確分類；（3）學生對不等式的基本性質2、3與等式的基本性質2的比較與認識。

設計意圖：引導學生把二者進行比較，有助於加深對不等式基本性質的理解，促成知識的「正遷移」。

【活動三】

問題9．你能運用不等式的基本性質解決問題嗎？

1．課本61頁例2

教師解釋x＞a或x＜a的特點，並由學生依據不等式的基本性質口述解題過程，然後投影示範。

2．課本62頁例3

教師引導學生觀察每個問題是由a＞b經過怎樣的變形得到的，應該應用不等式的哪條基本性質。由學生思考後口答，教師投影示範。

設計意圖：對學生進行推理訓練，讓學生明白，敘述要有根據，進一步提高學生的邏輯思維能力和語言表達能力。

問題10．你認為在運用不等式的基本性質時哪一條性質最容易出錯，應該怎樣記住？

同桌之間互說悄悄話，傳授學習竅門。

設計意圖：及時進行學習反思，總結經驗，通過相互評價學習效果，及時發現問題、解決知識盲點，培養學生的創新精神和實踐能力。

3．小軍的困惑

小軍用不等式的基本性質將不等式m＞n進行變形，兩邊都乘以4，4m＞4n，兩邊都減去4m, 0＞4n－4m,即0＞4(n－m)，兩邊都除以（n－m）,得0＞4，0怎麼會大於4呢？

小軍可糊塗了……

聰明的同學，你能告訴小軍他究竟錯在什麼地方嗎？

同桌討論，教師對活動積極、細心的同學提出表揚。

設計意圖：通過替人排憂解難，強化對不等式三個基本性質的理解與運用，突出重點，突破難點。

4．孫悟空火眼金睛

①a＞2, 則3a___2a

②2a＞3a,則 a ___ 0

在本次活動中，教師應重點關註：學生能否正確運用不等式的基本性質將不等式進行簡單地變形。特別是在運用不等式基本性質3時是否注意到了兩個改變：性質符號的改變和不等號方向的改變。

設計意圖：通過變式訓練，加深學生對新知的理解，培養學生分析、探究問題的能力。

【活動四】

拓廣探索：

你來決策

咱們班的王帥同學准備在五、一期間和他的爸爸、媽媽外出旅遊。青年旅行社的標准為：大人全價，小孩半價；方正旅行社的標准為：大人、小孩一律八折。若兩家旅行社的基本價一樣，你能幫王帥同學考慮一下選擇哪家旅行社更合算嗎？

教師投影出示題目，學生在小組內討論交流，教師深入學生之中，點撥、引導，最後展示解題過程。

在本次活動中，教師應重點關註：學生在面臨實際問題時，是否主動嘗試著從數學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略。

設計意圖：利用所學的數學知識，解決生活中的問題，加強數學與生活的聯系，體驗數學是描述現實世界的重要手段。既培養了學生用數學知識解決實際問題的能力，又樹立了學好數學的信心。

七、小結：

這節課你有哪些收獲？有何體會？你認為自己的表現如何？

教師引導學生回顧、思考、交流。

教師重點關註：（1）學生歸納總結能力；（2）能否對問題有進一步思考；（3）能否發表自己的見解，傾聽他人的意見，反思學習過程；（4）學生對性質的理解程度。

設計意圖：回顧、總結、矯正、提高。學生自覺形成本節的課的知識網路。

③ 關於基本不等式的一道題

圖

④ 基本不等式的介紹

任兩個正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數。

⑤ 基本不等式怎麼推出來的

2ab≤a2+b2
兩邊同時加上a2+b2，得到
a2+b2+2ab≤2(a2+b2)
∴(a+b)2≤2(a2+b2)

兩邊同時除以4即可得到書上的不等式。

⑥ 基本不等式的變形公式一共有幾個

基本不等式通常是指均值不等式，在（a>=0,b>=0）常見的有變形有以下幾種：

①√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)

②√(ab)≤(a+b)/2

③a²+b²≥2ab

④ab≤(a+b)²/4

⑤||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|

(6)創造基本不等式歷史擴展閱讀：

基本不等式在學習的過程中一定要理清大小關系，以及大於等於中等於存在的條件，另外在學習的時候還需要注意根號下函數的定義域。

基本不等式是主要應用於求某些函數的最值及證明的不等式。其表述為：兩個正實數的算術平均數大於或等於它們的幾何平均數。

⑦ 關於基本不等式的一直沒搞清。

不等式右邊哪個是定值，才有可能出現ab的最值

⑧ 基本不等式研究背景

不知所雲！