數學領域中的發明心理學

6. 當代數學，心理學的名人

心理學主要流派

弗洛伊德 精神分析學派
華生 行為主義心理學
皮亞傑 發生認識論，兒童發展心理學
還有認知心理學、格式塔心理學，代表人物比較多。

這些理論網路就有。

7. 數學家有哪些發明了什麼對世界有多大成就

1、牛頓：微積分的創建、萬有引力。2、歐拉：無窮小分析引論》一書便是他劃時代的代表作，當時數學家們稱他為「分析學的化身」。另外，歐拉還創設了許多數學符號，一直使用至今，如π，i，e，sin，cos，tg，Δx，Σ，f(x)等。而哥德巴赫猜想也是在他與哥德巴赫的通信中首先提出來的。歐拉還首先完成了月球繞地球運動的精確理論，創立了分析力學、剛體力學等力學學科，深化瞭望遠鏡、顯微鏡的設計計算理論等等。4、伽羅瓦：首次引入了「群」的概念，（寄給大數學家柯西審閱，可惜柯西輕視該文，未認真審閱，致使該理論推遲了50年）18歲時，再次寄出，這次寄給大數學家傅立葉，可惜傅立葉病死，未能審閱。19歲時，第三次寄出，這次寄給了大數學家泊松，但是泊松最終給的批語是「完全無法理解」。這些失誤致使「群倫」這一數學最重要的分支遲到了50年的時間。5、亨利·龐加萊，龐加萊一生發表的科學論文約500篇、科學著作約30部，幾乎涉及到數學的所有領域以及理論物理、天體物理等的許多重要領域。6、希爾伯特。希爾伯特的研究涉及現代數學的許多領域，如不變數理論、代數數論、幾何基礎、積分方程和物理學的公理化、數學基礎和數理邏輯等。希爾伯特是對二十世紀數學有深刻影響的數學家之一，對他提出的23個問題，似乎至今仍在促進現代數學的研究和發展。大數學家韋爾（H.Weyl）在希爾伯特去世時的悼詞中曾說：「希爾伯特就像穿雜色衣服的風笛手，他那甜蜜的笛聲誘惑了如此眾多的老鼠，跟著他跳進了數學的深河。」7、陳省身：陳省身開創並領導著整體微分幾何、纖維叢微分幾何、「陳省身示性類」等領域的研究，他是有史以來唯一獲得世界數學界最高榮譽「沃爾夫獎」的華人，被稱為「當今最偉大的數學家」，被國際數學界尊為「微分幾何之父」。
國際著名數學大師，沃爾夫數學獎得主，陳省身
1931年入清華大學研究院，1934軍獲碩士學位．1934年去漢堡大學從Blaschke學習.1937年回國任西南聯合大學教授．1943年到1945年任普林斯頓高等研究所研究員．1949年初赴美，旋任芝加哥大學教授.1960年到加州大學伯克利分校任教授，1979年退休成為名譽教授，仍繼續任教到1984年．1981年到1984年任新建的伯克利數學研究所所長，其後任名譽所長。陳省身的主要工作領域是微分幾何學及其相關分支．還在積分幾何，射影微分幾何，極小子流形，網幾何學，全曲率與各種浸入理論，外微分形式與偏微分方程等諸多領域有開拓性的貢獻．陳省身本有極多榮譽，包括中央研究院院士（1948）．美國國家科學院院士（1961）及國家科學獎章（1975），倫敦皇家學會國外會員（1985），法國科學院國外院士』（1989），中國科學院國外院士等。榮獲1983／1984年度Wolf獎，及1983年度美國科學會Steele獎中的終身成就獎．
2．享有國際盛譽的大數學家，新中國數學事業發展的重要奠基人 華羅庚
華羅庚是一位人生經歷傳奇的數學家，早年輟學，1930年因在《科學》上發表了關於代數方程式解法的文章，受到熊慶來的重視，被邀到清華大學學習和工作，在楊武之指引下，開始了數論的研究。1936年，作為訪問學者去英國劍橋大學工作。1938年回國，受聘為西南聯合大學教授。1946年應美國普林斯頓高等研究所邀請任研究員，並在普林斯頓大學執教。1948年開始，他為伊大學教授。1950年回國，先後任清華大學教授，中國科學院數學研究所所長，數理化學部委員和學部副主任，中國科學技術大學數學系主任、副校長，中國科學院應用數學研究所所長，中國科學院副院長、主席團委員等職。還擔任過多屆中國數學會理事長。此外，華羅庚還是第一、二、三、四、五屆全國人民代表大會常務委員會委員和中國人民政治協商會議第六屆全國委員會副主席。華羅庚是在國際上享有盛譽的數學家，他的名字在美國施密斯松尼博物館與芝加哥科技博物館等著名博物館中，與少數經典數學家列在一起。他被選為美國科學院國外院士，第三世界科學院院士，聯邦德國巴伐利亞科學院院士。又被授予法國南錫大學、香港中文大學與美國伊利諾伊大學榮譽博士。華羅庚在解析數論、矩陣幾何學、典型群、自守函數論、多復變函數論、偏微分方程、高維數值積分等廣泛數學領域中都作出卓越貢獻。由於華羅庚的重大貢獻，有許多用他他的名字命名的定理、引理、不等式、運算元與方法。他共發表專著與學術論文近三百篇。華羅庚還根據中國實情與國際潮流，倡導應用數學與計算機研製。他身體力行，親自去二十七個省市普及應用數學方法長達二十年之久，為經濟建設作出了重大貢獻。
3．僅次於哥德爾的邏輯數學大師，王浩
1943年於西南聯合大學數學系畢業。1945年於清華大學研究生院哲學部畢業。1948年獲美國哈佛大學哲學博士學位。1950～1951年在瑞士聯邦工學院數學研究所從事研究工作1951～1953年任哈佛大學助理教授。1954～1961年在英國牛津大學作第二套洛克講座講演,又任邏輯及數理哲學高級教職。1961～1967 年任哈佛大學教授。1967年後任美國洛克斐勒大學教授,主持邏輯研究室工作。1985年兼任中國北京大學名譽教授。1986年兼任中國清華大學名譽教授。50年代 初被選為美國國家科學院院士,後又被選為不列顛科學院外國院士，美籍華裔數學家、邏輯學家、計算機科學家、哲學家。
4．著名數學家力學家，美國科學院院士，林家翹
1937年畢業於清華大學物理系。1941年獲加拿大多倫多大學碩士學位。1944年獲美國加州理工學院博士學位。1953 年起先後擔任美國麻省理工學院數學教授、學院教授、榮譽退休教授。 林家翹教授曾獲:美國機械工程師學會Timoshenko獎，美國國家科學院應用數學和數值分析獎，美國物理學會流體力學獎。他是美國國家文理學院院士(1951)，美國國家科學院院士(1962)，台灣「中央研究院」院士(1960)。從40年代開始，林家翹教授在流體力學的流動穩定性和湍流理論方面的工作帶動了整整一代人在這一領域的研究探索。從60年代開始，他進入天體物理的研究領域，開創了星系螺旋結構的密度波理論，並為國際所公認。1994年6月8日當選為首批中國科學院外籍士。
1.費爾馬大定理，起源於三百多年前，挑戰人類3個世紀，多次震驚全世界，耗盡人類眾多最傑出大腦的精力，也讓千千萬萬業余者痴迷。終於在1994年被安德魯·懷爾斯攻克。古希臘的丟番圖寫過一本著名的「算術」，經歷中世紀的愚昧黑暗到文藝復興的時候，「算術」的殘本重新被發現研究。
1637年，法國業余大數學家費爾馬（Pierre de Fremat）在「算術」的關於勾股數問題的頁邊上，寫下猜想：x^n＋ y^n ＝z^n 是不可能的（這里n大於2；a，b，c，n都是非零整數)。此猜想後來就稱為費爾馬大定理。費爾馬還寫道「我對此有絕妙的證明，但此頁邊太窄寫不下」。一般公認，他當時不可能有正確的證明。猜想提出後，經歐拉等數代天才努力，200年間只解決了n＝3,4,5,7四種情形。1847年，庫木爾創立「代數數論」這一現代重要學科，對許多n（例如100以內）證明了費爾馬大定理，是一次大飛躍。
歷史上費爾馬大定理高潮迭起，傳奇不斷。其驚人的魅力，曾在最後時刻挽救自殺青年於不死。他就是德國的沃爾夫斯克勒，他後來為費爾馬大定理設懸賞10萬馬克（相當於現在160萬美元多），期限1908－2007年。無數人耗盡心力，空留浩嘆。最現代的電腦加數學技巧，驗證了400萬以內的N，但這對最終證明無濟於事。1983年德國的法爾廷斯證明了：對任一固定的n，最多隻有有限多個a，b，c振動了世界，獲得費爾茲獎（數學界最高獎）。
歷史的新轉機發生在1986年夏，貝克萊·瑞波特證明了:費爾馬大定理包含在「谷山豐—志村五朗猜想 」 之中。童年就痴迷於此的懷爾斯，聞此立刻潛心於頂樓書房7年，曲折卓絕，匯集了20世紀數論所有的突破性成果。終於在1993年6月23日劍橋大學牛頓研究所的「世紀演講」最後，宣布證明了費爾馬大定理。立刻震動世界，普天同慶。不幸的是，數月後逐漸發現此證明有漏洞，一時更成世界焦點。這個證明體系是千萬個深奧數學推理連接成千個最現代的定理、事實和計算所組成的千百回轉的邏輯網路，任何一環節的問題都會導致前功盡棄。懷爾斯絕境搏鬥，毫無出路。1994年9月19日，星期一的早晨，懷爾斯在思維的閃電中突然找到了迷失的鑰匙：解答原來就在廢墟中！他熱淚奪眶而出。懷爾斯的歷史性長文「模橢圓曲線和費爾馬大定理」1995年5月發表在美國《數學年刊》第142卷，實際占滿了全卷，共五章，130頁。1997年6月27日，懷爾斯獲得沃爾夫斯克勒10萬馬克懸賞大獎。離截止期10年，圓了歷史的夢。他還獲得沃爾夫獎(1996.3），美國國家科學家院獎（1996.6），費爾茲特別獎（1998.8）。
2.四色問題的內容是：「任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。」用數學語言表示，即「將平面任意地細分為不相重疊的區域，每一個區域總可以用1，2，3，4這四個數字之一來標記，而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字。」（右圖）
這里所指的相鄰區域，是指有一整段邊界是公共的。如果兩個區域只相遇於一點或有限多點，就不叫相鄰的。因為用相同的顏色給它們著色不會引起混淆。
四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯·格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現了一種有趣的現象：「看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。」這個現象能不能從數學上加以嚴格證明呢？他和在大學讀書的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙已經堆了一大疊，可是研究工作沒有進展。
1852年10月23日，他的弟弟就這個問題的證明請教了他的老師、著名數學家德·摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，於是寫信向自己的好友、著名數學家漢密爾頓爵士請教。漢密爾頓接到摩爾根的信後，對四色問題進行論證。但直到1865年漢密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。
1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理，大家都認為四色猜想從此也就解決了。
肯普的證明是這樣的：首先指出如果沒有一個國家包圍其他國家，或沒有三個以上的國家相遇於一點，這種地圖就說是「正規的」（左圖）。如為正規地圖，否則為非正規地圖（右圖）。一張地圖往往是由正規地圖和非正規地圖聯系在一起，但非正規地圖所需顏色種數一般不超過正規地圖所需的顏色，如果有一張需要五種顏色的地圖，那就是指它的正規地圖是五色的，要證明四色猜想成立，只要證明不存在一張正規五色地圖就足夠了。
肯普是用歸謬法來證明的，大意是如果有一張正規的五色地圖，就會存在一張國數最少的「極小正規五色地圖」，如果極小正規五色地圖中有一個國家的鄰國數少於六個，就會存在一張國數較少的正規地圖仍為五色的，這樣一來就不會有極小五色地圖的國數，也就不存在正規五色地圖了。這樣肯普就認為他已經證明了「四色問題」，但是後來人們發現他錯了。
不過肯普的證明闡明了兩個重要的概念，對以後問題的解決提供了途徑。第一個概念是「構形」。他證明了在每一張正規地圖中至少有一國具有兩個、三個、四個或五個鄰國，不存在每個國家都有六個或更多個鄰國的正規地圖，也就是說，由兩個鄰國，三個鄰國、四個或五個鄰國組成的一組「構形」是不可避免的，每張地圖至少含有這四種構形中的一個。
肯普提出的另一個概念是「可約」性。「可約」這個詞的使用是來自肯普的論證。他證明了只要五色地圖中有一國具有四個鄰國，就會有國數減少的五色地圖。自從引入「構形」，「可約」概念後，逐步發展了檢查構形以決定是否可約的一些標准方法，能夠尋求可約構形的不可避免組，是證明「四色問題」的重要依據。但要證明大的構形可約，需要檢查大量的細節，這是相當復雜的。
11年後，即1890年，在牛津大學就讀的年僅29歲的赫伍德以自己的精確計算指出了肯普在證明上的漏洞。他指出肯普說沒有極小五色地圖能有一國具有五個鄰國的理由有破綻。不久，泰勒的證明也被人們否定了。人們發現他們實際上證明了一個較弱的命題——五色定理。就是說對地圖著色，用五種顏色就夠了。後來，越來越多的數學家雖然對此絞盡腦汁，但一無所獲。於是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。
進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。1913年，美國著名數學家、哈佛大學的伯克霍夫利用肯普的想法，結合自己新的設想；證明了某些大的構形可約。後來美國數學家富蘭克林於1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國推進到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨後又推進到了50國。看來這種推進仍然十分緩慢。
高速數字計算機的發明，促使更多數學家對「四色問題」的研究。從1936年就開始研究四色猜想的海克，公開宣稱四色猜想可用尋找可約圖形的不可避免組來證明。他的學生丟雷寫了一個計算程序，海克不僅能用這程序產生的數據來證明構形可約，而且描繪可約構形的方法是從改造地圖成為數學上稱為「對偶」形著手。
他把每個國家的首都標出來，然後把相鄰國家的首都用一條越過邊界的鐵路連接起來，除首都(稱為頂點)及鐵路(稱為弧或邊)外，擦掉其他所有的線，剩下的稱為原圖的對偶圖。到了六十年代後期，海克引進一個類似於在電網路中移動電荷的方法來求構形的不可避免組。在海克的研究中第一次以頗不成熟的形式出現的「放電法」，這對以後關於不可避免組的研究是個關鍵，也是證明四色定理的中心要素。
電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的進程。美國伊利諾大學哈肯在1970年著手改進「放電過程」，後與阿佩爾合作編制一個很好的程序。就在1976年6月，他們在美國伊利諾斯大學的兩台不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明，轟動了世界。
這是一百多年來吸引許多數學家與數學愛好者的大事，當兩位數學家將他們的研究成果發表的時候，當地的郵局在當天發出的所有郵件上都加蓋了「四色足夠」的特製郵戳，以慶祝這一難題獲得解決。
「四色問題」的被證明僅解決了一個歷時100多年的難題，而且成為數學史上一系列新思維的起點。在「四色問題」的研究過程中，不少新的數學理論隨之產生，也發展了很多數學計算技巧。如將地圖的著色問題化為圖論問題，豐富了圖論的內容。不僅如此，「四色問題」在有效地設計航空班機日程表，設計計算機的編碼程序上都起到了推動作用。
不過不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法。直到現在，仍由不少數學家和數學愛好者在尋找更簡潔的證明方法。
3.史上和質數有關的數學猜想中，最著名的當然就是「哥德巴赫猜想」了。
1742年6月7日，德國數學家哥德巴赫在寫給著名數學家歐拉的一封信中，提出了兩個大膽的猜想：
一、任何不小於6的偶數，都是兩個奇質數之和；
二、任何不小於9的奇數，都是三個奇質數之和。
這就是數學史上著名的「哥德巴赫猜想」。顯然，第二個猜想是第一個猜想的推論。因此，只需在兩個猜想中證明一個就足夠了。
同年6月30日，歐拉在給哥德巴赫的回信中， 明確表示他深信哥德巴赫的這兩個猜想都是正確的定理，但是歐拉當時還無法給出證明。由於歐拉是當時歐洲最偉大的數學家，他對哥德巴赫猜想的信心，影響到了整個歐洲乃至世界數學界。從那以後，許多數學家都躍躍欲試，甚至一生都致力於證明哥德巴赫猜想。可是直到19世紀末，哥德巴赫猜想的證明也沒有任何進展。證明哥德巴赫猜想的難度，遠遠超出了人們的想像。有的數學家把哥德巴赫猜想比喻為「數學王冠上的明珠」。
我們從6＝3＋3、8＝3＋5、10＝5＋5、……、100＝3＋97＝11＋89＝17＋83、……這些具體的例子中，可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。有人甚至逐一驗證了3300萬以內的所有偶數，竟然沒有一個不符合哥德巴赫猜想的。20世紀，隨著計算機技術的發展，數學家們發現哥德巴赫猜想對於更大的數依然成立。可是自然數是無限的，誰知道會不會在某一個足夠大的偶數上，突然出現哥德巴赫猜想的反例呢？於是人們逐步改變了探究問題的方式。
1900年，20世紀最偉大的數學家希爾伯特，在國際數學會議上把「哥德巴赫猜想」列為23個數學難題之一。此後，20世紀的數學家們在世界范圍內「聯手」進攻「哥德巴赫猜想」堡壘，終於取得了輝煌的成果。
20世紀的數學家們研究哥德巴赫猜想所採用的主要方法，是篩法、圓法、密率法和三角和法等等高深的數學方法。解決這個猜想的思路，就像「縮小包圍圈」一樣，逐步逼近最後的結果。
1920年，挪威數學家布朗證明了定理「9＋9」，由此劃定了進攻「哥德巴赫猜想」的「大包圍圈」。這個「9＋9」是怎麼回事呢？所謂「9＋9」，翻譯成數學語言就是：「任何一個足夠大的偶數，都可以表示成其它兩個數之和，而這兩個數中的每個數，都是9個奇質數之積。」 從這個「9＋9」開始，全世界的數學家集中力量「縮小包圍圈」，當然最後的目標就是「1＋1」了。
1924年，德國數學家雷德馬赫證明了定理「7＋7」。很快，「6＋6」、「5＋5」、「4＋4」和「3＋3」逐一被攻陷。1957年，我國數學家王元證明了「2＋3」。1962年，中國數學家潘承洞證明了「1＋5」，同年又和王元合作證明了「1＋4」。1965年，蘇聯數學家證明了「1＋3」。
1966年，我國著名數學家陳景潤攻克了「1＋2」，也就是：「任何一個足夠大的偶數，都可以表示成兩個數之和，而這兩個數中的一個就是奇質數，另一個則是兩個奇質數的積。」這個定理被世界數學界稱為「陳氏定理」。
由於陳景潤的貢獻，人類距離哥德巴赫猜想的最後結果「1＋1」僅有一步之遙了。但為了實現這最後的一步，也許還要歷經一個漫長的探索過程。有許多數學家認為，要想證明「1＋1」，必須通過創造新的數學方法，以往的路很可能都是走不通的。

8. 數學四大領域都研究什麼

這里有詳細介紹：http://www.tjeti.com/math/history/shuxueshi.htm不是一兩句話能說得清楚地；

9. 數學領域中的發明心理學的讀後感

數學有兩種品格，其一是工具品格，其二是文化品格。由於數學在應用上的極端廣泛性，因而在人類社會發展中，那種揮之不去的短期效益思維模式特別是在實用主義觀點日益強化的思潮中，必然會導致數學之工具品格愈來愈受到重視，更會進一步向數學純粹工具論的觀點傾斜。相反的，數學之另一種更為重要的文化品格，卻已面臨被人淡忘的境況。
《數學領域中的發明心理學》是法國著名數學家雅克·阿達瑪的一本名著，是一本數學方法論的經典著作。著重論述了以「無意識思維」為核心的數學發明心理過程，給人以強烈印象。雖然嚴格地說，無意識問題應是專門的心理學家所關心的事，但他同時牽涉到數學和心理學這兩個領域。具有相當深厚的文化理念內涵和價值。他又不僅僅是關於數學方法論的論述，而且還能夠讓學習數學和研究數學的人們從中認識到關於數學發明的一般性思維規律的論述。
在數學的（乃至一般的）發明創造過程中，往往存在著創造靈感，或稱之曰「頓悟」的現象，這種頓悟的出現，既不能簡單地歸之於機遇，也不能無為地說成是邏輯推理「對中間階段的跳躍」，而是經歷了一種很復雜的，至今尚未被我們完全認識的「無意識思維」過程之後的結果。所謂無意識思維，乃是指思維者本人既沒有意識到他的存在，也沒有受到意識支配的一種思維過程。
關於發明所需要的條件，已被近幾十年最偉大的天才人物所闡明，他的名字為科學界所熟知，而且整個近代數學都在隨著他的脈搏跳動，此人就是亨利·龐加萊。龐加萊的例子取自他自己的最了不起的發現中的一個，即他關於富克斯群和富克斯函數理論的研究，在這個理論中閃爍著他的思想光輝。起先，龐加萊對這種函數冥思苦想了整整兩個星期，企圖證明它的不存在，但這個想法以後被證明是錯誤的。後來，在一個不眠之夜，並且是一種我們以後要談到的特定條件下，他構造出了第一類這種函數。就在此時，他又開始地質考察的旅行生活，途中的許多事使他忘掉了自己的數學工作，當他正要去駕車其他地方時，他剛把腳放到馬車上的一剎那，一個思想突然閃現在他的腦海，這個思想就是他用以富克斯函數的變換與非歐幾何的變換是等價的。在旅行結束後，龐加萊給出了這個思想的證明。此後他就把注意力轉換到與此有關系的一些算術運算問題上去，但沒有取得什麼成功，並且看起來也不像與他以前的研究工作有什麼聯系。由於龐加萊對自己的失敗感到厭煩，到海邊度過了幾天，並考慮了一些其他的事情。有一天，當他正在懸崖上散步時，一種新的思想在他的腦海中又和上一次同樣地突然閃出來，而且，同樣是一種簡單而確定的思想，這個思想就是不定三元二次型的算術變換與非歐幾何變換是等價的。
這兩個結果使龐加萊認為：肯定存在著另外的富克斯群，因此也就還存在著與他在那個不眠之夜所想到的富克斯函數不同的富克斯函數，以前找到的只是一類特殊情況。然而更嚴重的困難使得他的工作由此陷於停頓。此時如果堅持不懈地致力於這個問題，或許可以得到好的結果。但他當時沒有這樣做，亦即未能克服面前的困難。直到後來，當龐加萊在軍隊中服役的日子裡，跟上兩次一樣，這一問題卻又出乎意料地獲解了。龐加萊為此而補充說：「最令人驚奇的首先是這種『頓悟』的出現，所說的這種『頓悟』，乃是在此之前的一段長時間內無意識工作的結果。在我看來，在數學的發明中，這種無意識工作的作用確實是毋庸置疑的。」
面對龐加萊的這種情況呈現在我們面前的解答是：①與前些日子的努力似乎毫無關系，因而難以認為是以前工作的結果；②出現得非常突然，幾乎無暇細想。這種突然性和自發性，在若干年之前也曾被當代科學的偉大學者赫姆霍爾茲指出來過，他在1896年的一個重要講話中就曾說到過這一點。由於赫姆霍爾茲和龐加萊的講話，這種情況已被認為是任何一類發明所共有的。格拉哈姆·沃爾斯在他的《思維的藝術》一文中，提議將這種現象稱為「頓悟」。在頓悟之前一般地有一個醞釀階段，在此階段，研究似乎完全中斷，問題彷彿被丟棄在了一邊。
我們不僅不能否認無意識的存在，而且我們還必須強調指出，如果沒有無意識，恐怕我們什麼事情都做不成。首先，思想只有當用語言表達出來時，才是最清楚的，然而當我們講出一句話的時候，下一句話在哪兒？顯然這第二句話並不在我們當時的意識范圍內，因為此時的意識只有被第一句話所佔有；然而此時我們卻在思考第二句話的內容，這句話是准備在下一時刻出現在我們的意識中的，如果我們此時不在無意識中思考著句話，那麼下一時刻他就不會出現了，但是我們這兒所說的無意識是很表面的，因為他很接近於意識，它可以立即轉化為意識。
這種情況就是弗蘭西斯·高爾頓的所謂意識「前室」現象。為了表示這種較淺的無意識過程，我們當然可以用以與「無意識」涇渭分明的「下意識」這個詞。但是還有另外一個詞，這就是「意識的邊緣」。對心理學而言，在運用內反省法時，下意識狀態是很有用的。事實上，離開了下意識，內部反省是不可能進行的。但是對某種狀態，用下意識這個詞就不一定確切。這一點沃拉斯等心理學家曾用視野做過比喻：「在我們的視野中有一個很小的圓圈，在這圓圈中，我們看的很最清楚，而在這個圓圈的旁邊還是有一個不規則的區域，即視野邊緣。在這個區域中，離開視野中心愈遠，我們就看得愈模糊。人們往往對視野邊緣的存在性不太關心，因為其中任一對象一旦引起我們的關心，我們就會立即把視野中心對准它。由此我們就可明白，為什麼我們往往會忽視意識邊緣中的事情，因為我們一旦對它有興趣，它就立即成為我們的全部意識的對象了。但有時，我們也可作些努力，使它仍然處在意識邊緣的地位而去觀察它。」一般地說，把意識和意識邊緣截然區分開是很困難的，但是關於我們目前感興趣的「發明」這樣一件事中，這種區分就稍微容易些。因為在發明過程中，我們把思想高度集中在問題的求解上，只有當問題獲解之後，我們才有可能去顧及當時在意識邊緣所發生的事情。

現在很多人的問題肯能出現了，問題在於對無意識的理解是否正確，無意識是不是一種特殊的神秘的東西。事實上，真正神秘之處使我們大腦的功能，即我們的大腦為什麼能夠思考！這種精神過程是怎麼回事？人類已有幾千年的歷史，而我們對這些問題的了解即毫無進展，不管是對這種或那種精神過程，我們至今還是一無所知。至於說無意識和意識究竟哪個更高級，我認為提出這種問題是愚蠢的。當你騎在一匹馬上時，你說它比你高級還是低級？當然，馬比你強壯，又比你跑得快，但你卻能讓它做你所要它做的事。同樣的，我也不知道氧氣和氫氣哪個更高級，也不知道左腿和右腿哪個更高級，實際上，它們在行走中是相互合作的，意識和無意識也是這樣，一種合作而相互彼此的關系。
大量的例子表明，這種無意識思維過程的存在，而且，一旦承認了無意識思維的存在性，頓悟現在便得到很好的科學解釋。無意識思維在發明創造中佔有舉足輕重的地位，而且這是由發明的本質所決定的。任何領域中的發明，都是思想組合的方式進行的。也即，發明就是將各種「觀念原子」（這使龐加萊用以描述各種基本思想元素的一個形象化的比喻）進行千千萬萬的組合，再從中選出有用的組合，而這種選擇的標准時所謂「科學的美感」。在發明過程的組合與選擇這樣兩大步驟中，由於無意識思維不受理智之條條框框的約束，而僅僅服從於人的直覺中之和諧的美感，因而比有意識的思維過程更為深刻和奏效。然而我們並不能如下所述那樣去理解上面的說法，即由此而認為當你面對一個問題時，你可以什麼也不要干，而只要抱有求解此問題的願望，然後就可以去睡覺了，等到明天早晨醒來時，答案就會突然出現在你面前。顯然這是一種荒唐可笑的誤解。
事實上，情況完全不是這樣，任何問題，只有經過了深思熟慮以後，認識才會產生飛躍。例如，我們在開頭所提到的，龐加萊把腳放在馬車他班上時所發生的事情，就是在此之前經過了深思熟慮以後所產生的飛躍。牛頓關於萬有引力的發現也是一個典型的例子。他曾經被問到，他是如何發現這個定律的。他回答說：「我就是不斷地想，想，想。」這件事也許是軼事，但是始終如一的努力，一定是發現這個定律的必要條件。他有一個信念，即任何東西（不論是不是蘋果）既然都掉向地球，那麼月亮也一定是這樣掉向地球，正是這種自覺的信念和頑強的努力，才使他發現了萬有引力定律。如果不是經過一定時間的有意識的艱苦努力，盡管這些努力沒有產生結果，完全是一種盲目的摸索，那麼突然的靈感是不會產生的，可是這些努力並不是白費的。實際上，正是通過這些努力才使得無意識機器能以開動起來，亦即如果沒有這些艱苦努力，無意識機器是不會開動起來的，從而什麼靈感也不會出現，那麼牛頓也只是看著蘋果掉下來，只是有幸撿到了一個蘋果，而發現不了萬有引力定律。
伴隨著靈感而出現的絕對的感覺一般是正確的，但是也可能欺騙我們。究竟是對是錯，還要由我們稱之為「理由」的東西來確定，或者說，還要去證明它們。當然這一證明過程是有意識的。龐加萊說過，無意識不可能做相當長的運算。如果我們以為無意識具有這種能力，具有自動運算的性質，那我們就可以在睡覺之前考慮一個代數運算的問題，而到第二天早晨醒來時就得到結果了，顯然永遠不會有這種事發生。實際上，對於無意識的自動性質是不能這樣來理解的。正確的運算必須注意力高度集中，並且具有頑強的意志和符合規則，因而完全是自覺的和有意識的工作。這種工作是在靈感產生以後的又一個有意識階段。如此，我們這里似乎遇到了一種自相矛盾的結論，當然我將對此做些說明，如同我對牛頓的情況所作的說明那樣。所說的自相矛盾，就是一方面我們看到了作為我們靈魂的最高本能之一，我們的願望，我們的意識在整個發明中占據相當重要的地位，他是支配著無意識的；但在這里，他似乎是從屬於無意識的，因為他是在無意識以後產生的。但實際上，這兩個階段不僅很難分開，而且是相輔相成的，也就是說，它們是一件事情的兩個方面。
至此，我以根據阿達瑪在數學發明工作中的體會，以及對我所了解的無意識思維有關問題就此結束。總之，我們所觀察到的在發明過程中所出現的無意識的種種情況，都將在數學之文化品格和心理學中放射光芒。
數學乃是一切科學的基礎、工具和精髓，因為數學的內容和方法不僅要滲透到其他任何一個學科中去，而且要是真的沒有了數學，則就無法想像其他任何學科的存在和發展了。尤其是我們談到的數學之文化品格之無意識思維，會讓我們更好地學習數學，了解數學，體會數學的本意，並實際的運用在我們日常生活之中，服務我們，方便我們。書中說到過的：對於那些當年接受過立足於數學之文化品格數學訓練的學生來說，當他們後來真正成為哲學大師、著名律師或運籌帷幄的將帥時，可能早已把學生時代所學到的那些非實用性的數學知識忘得一干二凈了。但那種銘刻於頭腦中的數學精神和數學文化理念，卻會長期的在他們的事業中發揮著重要作用。也就是說，他們當年所受到的數學訓練，一隻會在他們的生存方式和思維方式中潛在地起著根本性的作用，並且受用終身。

10. 陳景潤在數學領域上獲得過哪些成就

1966年發表《表達偶數為一個素數及一個不超過兩個素數的乘積之和》（簡稱「1+2」），成為哥德巴赫猜想研究上的里程碑。而他所發表的成果也被稱之為陳氏定理。這項工作還使他與王元、潘承洞在1978年共同獲得中國自然科學獎一等獎。
著作
《算術級數中的最小素數》 《表達偶數為一個素數及一個不超過兩個素數的乘積之和》 《數學趣味談》《組合數學》《哥德巴赫猜想》