1. 等比數列求和說課稿
等比數列的前n項和公式》說課稿
今天我將要為大家講的課題是等比數列前n項和。對於這個課題，我主要從下面六個方面來進行講解。
一、教材結構與內容分析：
《等比數列前n項和公式》是高中數學二年級第二學期第十三章第五節內容。教學對象為高二學生，教學課時為2課時。本節課為第一課時。在此之前，學生已學習了數列的定義、等比數列、等比數列的通項公式等知識內容,這為過渡到本節的學習起著鋪墊作用，而本節內容也為後面學習數列求和、數列極限打下基礎。本節課既是本章的重點，同時也是教材的重點。
從高中數學的整體內容來看，《數列與數學歸納法》這一章是高中數學的重要內容之一，在整個高中數學領域里占據著重要地位，也起著作用性的作用。首先：數列有著廣泛的實際應用。例如產品的規格設計、儲蓄、分期付款的有關計算等。其次：數列有著承前啟後的作用。數列是函數的延續，它實質上是一種特殊的函數；學習數列又為進一步學習數列的極限等內容打下基礎。再次：數列也是培養提高學生思維能力的好題材。學習數列要經常觀察、分析、猜想,還要綜合運用前面的知識解決數列中的一些問題，這些都有利於學生數學能力的提高。
本節的教學重點是等比數列前n項和公式及應用。
教學難點是等比數列前n項和公式的推導。
二、教學目標分析：
作為一名數學老師,不僅要傳授給學生數學知識,更重要的是傳授給學生數學思想、數學意識。根據上述教材結構與內容分析，考慮到學生已有的認知結構心理特徵，我制定了如下的教學目標：
1、知識目標：理解等比數列前n項和公式的推導方法，掌握等比數列前n項和公式及應用。
2、能力目標：培養學生觀察問題、思考問題的能力，並能靈活運用基本概念分析問題解決問題的能力,鍛煉數學思維能力。
3、情感目標：培養學生學習數學的積極性，鍛煉學生遇到困難不氣餒的堅強意志和勇於創新的精神。
三、學生情況分析：
學生在學習本節內容之前已經學習等差、等比數列的概念和通項公式，等差數列的前N項和的公式，具備一定的數學思想方法，能夠就接下來的內容展開思考，而且在情感上也具備了學習新知識的渴求。
四、教學方法分析：
教法：數學是一門培養和發展人的思維的重要學科，因此在教學中不僅要讓學生「知其然」，還要「知其所以然」，為了體現以學生發展為本，遵循學生的認知規律，體現循序漸進和啟發式教學原則，我進行這樣的教學設計：在教師的引導下，創設情景，通過開放式問題的設置來啟發學生進行思考，在思考中體會數學概念形成過程中蘊涵的數學方法和思想，使之獲得內心感受。
本節課將採用「多媒體優化組合—激勵—發現」式教學模式進行教學。該模式能夠將教學過程中的各要素，如教師、學生、教材、教法等進行積極的整合，使其融為一體，創造最佳的教學氛圍。主要包括啟發式講解、互動式討論、研究式探索、反饋式評價。
學法：根據二期課改的精神，轉變學生的學習方式也是本次課改的重要內容，數學作為基礎教育的核心學科之一，轉變學生的數學學習方式，變學生被動接受式學習為主動參與式學習，不僅有利於提高學生的整體數學素養，也有利於促進學生整體學習方式的轉變。在課堂結構上我根據學生的認知層次，設計了（1）創設情景（2）觀察歸納（3）討論研究（4）即時訓練（5）總結反思（6）任務延續，六個層次的學法，他們環環相扣，層層深入，從而順利完成教學目的。自主探索、觀察發現、類比猜想、合作交流。
教學手段，利用多媒體和POWERPOINT軟體進行輔助教學。
五、教學程序設計：
1、創設情景：
引例：某公司，由於資金短缺，決定向銀行進行貸款，雙方約定，在3年內，公司每月向銀行借款10萬元，為了還本付息，公司第一個月要向銀行還款10元，第二個月還款20元，第三個月還款40元，……。即每月還款的數量是前一個月的2倍，請問，假如你是公司經理或銀行主管，你會在這個合約上簽字嗎？
這是一個懸念式的實例，後面的「假如」又把學生帶入了實例創設的情境，讓學生直接參與了「市場經濟」。根據心理學，情境具有暗示作用，在暗示作用下，學生自覺不自覺地參與了情境中的角色，這樣他們的學習積極性和思維活動就會極大的調動起來。
這樣引入課題有以下幾個好處：
(1) 利用學生求知好奇心理，以一個實際問題為切入點，便於調動學生學習本節課的趣味性和積極性。
(2) 在實際情況下進行學習，可以使學生利用已有知識與經驗，同化和索引出當前學習的新知識，這樣獲取的知識，不但易於保持，而且易於遷移到陌生的問題情境中。
(3) 問題內容緊扣本節課教學內容的主題與重點。
(4) 有利於知識的遷移，使學生明確知識的現實應用性。
在教師的誘導下，學生根據自己掌握的知識和經驗，很快建立起兩個等比數列的數學模型。數列{an}是以100000為首項，1為公比的等比數列，即常數列。數列{bn}是以10為首項，2為公比的等比數列。
當學生躍躍欲試要求這兩個數列的和的時候，課題的引入已經水到渠成。教師再由特殊到一般、具體到抽象的啟示，正式引入課題。
2、講授新課：
本節課有兩項主要內容，等比數列的前n項和公式的推導和等比數列的前n項和公式及應用。等比數列的前n項和公式的推導是本節課的難點。依據如下：
(1) 從認知領域上講,它在陳述性知識、程序性知識與策略性知識的分類中，屬於學生最高需求層次的掌握策略與方法的策略性知識。
(2) 從學科知識上講,推導屬於學科邏輯中的「瓶頸」，突破這一「瓶頸」則後面的問題迎刃而解。
(3) 從心理學上講,學生對這項學習內容的「熟悉度」不高，原有知識薄弱，不易理解。
這里我講述的主要是怎樣利用多媒體激勵、啟發學生思維，突破教材難點。
等比數列有兩大類：公比q=1和q 1兩種情形
當q=1時，Sn=na1
當q 1時，Sn=a1+a1q+……+a1qn-1=
q 1時，Sn的結果是怎麼推導出來的呢？本節課的難點就在於此。
預習過課本的學生會知道這個結果以及推導過程，但是他們知其然而不知其所以然，可以說大部分學生根據他們掌握的知識和經驗是難以推出這個公式的。
這時候我們可以首先讓學生們進行思考，如果運用數學中「從特殊到一般」的數學思想方法，能不能向這個結果靠攏呢？
我們不難得到下述結論：
S1=a1,
S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)
S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)
……
Sn=a1+a2+……+an=a1(1+q+q2+……+qn-1)
不少同學根據這個式子可能會想到
a1(1+q+q2+……+qn-1)= a1(1+q+q2+……+qn-1)（1-q）/(1-q)=
這時我要向學生說明，這種從特殊到一般，逐步歸納的思想方法很好，是我們解決數學問題中經常會運用到的方法。然後又要指出在現階段，我們還無法對這個過程進行證明，因此它的給出是不嚴密的。這樣不僅讓學生再一次體會到數學的最基本特點，嚴密的邏輯性。也為將來學習二項式展開的內容打下了伏筆。
此時，僅僅從形式上進行的歸納在現階段是無法進行系統而嚴謹的證明的，那我們只能在思想的過程中另闢蹊徑，因此，要通過復習等差數列的求和公式，藉助推導等差數列求和公式的思想方法，來找到推導等比數列的前n項和公式的方法！
讓學生們一起回憶一下等差數列的前n項和公式的推導過程。
可以發現當時我們是將a1與an， a2與an-1，所有與首末等距兩項交換位置，得到Sn的倒序和的形式。然後兩式相加。這樣2Sn就是一個有n 項的每一項都是a1+an的常數列。從而導出了Sn的公式。
等差數列的求和方法是根據等差數列的特點和根據學生的知識結構和認知水平產生的，形式上是倒序相加，本質上就是消去數列中項與項之間的差異，構造一個新的各項相同的常數列，然後根據常數列的和導出 Sn的公式來，其本質特徵是等差數列從第二項起，每一項都比前一項多了一個d。
那麼等比數列是不是也可以用類似的方法，構造出一個常數列或者部分常數列呢？讓學生親自去試一試，結果呢？
這時候學生們很自然的會用倒序相加的方法來進行思考。結果顯然是行不通的。
此時教師的主要任務是要讓學生的思維迅速發散——從倒序相加的定勢中解脫出來。抓住學生迫切想解決這個問題的心態，及時地通過媒體進行啟發。老師要告訴學生，構造常數列或者部分常數列的思路是正確的。既然倒序行不通，那麼還有沒有其它的方式構造常數列呢？
接著要引導學生從等比數列的定義出發，進一步認識等比數列從第二項起，每一項都是前一項的q倍，也就是說將每一項乘以q以後就變成了它的後一項，那麼將Sn這個和式的兩邊同時乘以q，在q Sn這個和式中的第一項就是Sn的第二項，也就是Sn和q Sn之間產生了一個錯位。由兩個和式能否構造常數列或者部分常數列的和式呢？相加行不行？顯然不行！相減行不行？顯然行。
將Sn和 q Sn相減後，中間就得到了n－1項各項都是0的常數列, 找到了這個常數列，難點就突破了， Sn的導出就容易了，導出了Sn就基本上達到了本節課的認知目標。
為了加深理解，這時還應該對等差、等比兩種數列的求和公式的推導過程進行類比和分析：
兩種數列求和的基本思路都是構造常數列，構造常數列的思想也是其他一些數列求和的基本思想。等比數列在構造常數列的過程中，採用「錯位相減」，等差數列採用的是「倒序相加」，倒序相加本質上也是「錯位相加」，是一種大幅度的「錯位相加」，等比數列只不過是步幅為1的小幅度的「錯位相加」。說明一下，在Sn的和式中，兩邊同時乘以q是解決問題——構造常數列的關鍵所在，是推導等比數列求和公式的一把鑰匙。
所以，這兩種數列的求和公式的推導方法，從數學思想和數學方法上來講是一致的，但是它們也有差異，即錯位的方法不同。正是由於這種差異，教師才有了更大的教學空間。當教師把學生從「倒序相加」的思維定式中引導出來的時候，學生的數學思維的深刻性、廣闊性等思維品質就得到了提高，思維品質提高了，思維能力也就提高了。這樣，這節課的認知目標和素質目標就基本上都達到了。
推導出公式之後，對公式的特徵要加以說明，以便學生記憶。同時還要對公式的另一種表示形式和應用中的注意事項加以說明。幫助學生弄清其形式和本質，明確其內涵和外延，為靈活運用公式打下基礎。
有了求和公式後，回頭讓學生親自計算一下引例中的錢款數量，從計算結果中讓學生明確實際問題的解決離不開數學，在市場經濟中必須有敏銳的數學頭腦才行。
3.例題講解。
我們在講解例題時，不僅在於怎樣解，更在於為什麼這樣解，而及時對解題方法和規律進行概括，有利於發展學生的思維能力。本節課設置如下兩種類型的例題：
1） 等比數列中知三求二的解答題
例：求首項為2，公比為2的等比數列的前8項和以及第5項的值。
以及書上的例4
2） 實際應用題。
例：某製糖廠第1年製糖5萬噸，如果平均每年的產量比上一年增加10%，那麼從第1年起，約幾年內可使總產量達到30萬噸（保留到個位）?
這樣設置主要依據：
(1)例題與大綱中規定的教學目標與任務及本節課的重點、難點有相對應的匹配關系。
(2)遵循鞏固性原則和傳授——反饋——再傳授的教學系統的思想確立這樣的例題。
(3)應用題比較切合對智力技能進行檢測，有利於數學能力的提高。同時，它可以使學生在後半程學習中保持興趣的持續性和學習的主動性。
4．形成性練習：
例題處理後，設置一組形成性練習，作為對本節課的實時檢測。練習基本上是直接運用公式求和，三個練習是按由易到難、由簡單到復雜的認識規律和心理特徵設計的，有利於提高學生的積極性。學生練習時，教師巡查，觀察學情，及時從中獲取反饋信息。對學生練習中出現的獨到解法提出表揚和鼓勵，對其中偶發性錯誤進行辨析、指正。通過形成性練習，培養學生的應變和舉一反三的能力，逐步形成技能。
5．課堂小結
本節課的小結從以下幾個方面進行：
(1) 等比數列的前n項和公式
(2) 公式的推導方法——錯位相減法
(3) 求和思路——構造常數列或部分常數列。
通過師生的共同小結，發揮學生的主體作用，有利於學生鞏固所學知識，也能培養學生的歸納和概括能力。進一步完成認知目標和素質目標。
最後用古印度國王西拉謨與國際象棋發明家的故事做為結尾，發明者要國王在他的棋盤上的64格中的第 1格放入1粒麥粒，第2格放入2粒麥粒，第3格放入4粒麥粒，第4格放入8粒麥粒……問應給發明家多少粒麥粒？再讓學生感受一下數學的奇妙，激發他們學習數學的熱情。
6.布置作業
針對學生素質的差異進行分層訓練，既使學生掌握基礎知識，又使學有餘力的學生有所提高，從而達到拔尖和「減負」的目的。
並可布置相應的研究作業，思考如何用其他方法來推導等比數列的前N項和公式，來加深學生對這一知識點的理解程度。
六、教學評價與反饋：
根據高二學生心理特點、教材內容、遵循因材施教原則和啟發性教學思想，本節課的教學策略與方法我採用規則學習和問題解決策略，即「案例—公式—應用」，案例為淺層次要求，使學生有概括印象。公式為中層次要求，由淺入深，重難點集中推導講解，便於突破。應用為綜合要求，多角度、多情境中消化鞏固所學，反饋驗證本節教學目標的落實。
其中，案例是基礎，使學生感知教材；公式為關鍵，使學生理解教材；練習為應用，使學生鞏固知識，舉一反三。
在這三步教學中，以啟發性強的小設問層層推導，輔之以學生的分組小討論並充分運用直觀完整的板書和計算機課件等教輔用具、手段，改變教師講、學生聽的填鴨式教學模式，充分體現學生是主體，教師教學服務於學生的思路，而且學生通過「案例—公式—應用」，由淺入深，由感性到理性，由直觀到抽象，不僅加深了學生理解鞏固與應用，也培養了學生的思維能力。
2. 銀行如何通過貨幣乘數作用創造貨幣的呢請舉例說明~謝謝！
貨幣乘數最簡單的考慮就是只考慮存款准備金
加入准備金是 10%
那麼商業銀行拿專到100的現金存款後（屬這100也是以存款存在的貨幣) 上交10%給中央銀行 他剩90塊
假設銀行把90全貸出去 那麼市場上多了90的貨幣
然後那個得到90貸款的人先把錢全存銀行（這個假設可以放寬，所謂漏存率的引入），銀行又上交 10%給央行 他還剩 81可以貸出去
按照同樣的假設 81存入銀行 上交 又貸 81*(1-10%)
所以最後100的存款 變成了 市場上有 100+100*0.9+100*0.9^2+....這是一個等比數列
創造的貨幣數為 100/10% 這個1/10%就是貨幣乘數 他把100塊的基礎貨幣變成1000了
更復雜的乘數見：
http://ke..com/view/284962.html?wtp=tt
3. 存入銀行100000元．存款准備金率為15％．問可以創造多少存款貨幣
是的，就是100 000/[1-（1-15%）]
因為你將100 000存入銀行，你的存款銀行會向人行上交15%即回15 000的存款准備金，也就是這答個銀行有85 000可以進行貸款；理想狀態他將85 000貸出，這85 000還會存在銀行或支付出去存在另一個企業的開戶行，上交15%即12750准備經，可以有72250可以進行貸款；以此類推，也就是創造的存款為100 000、85 000、72250······這樣就形成了一個以85%為等比的等比數列，根據前n項公式令n趨近無窮就會得出100 000/15%
這個是一個理想的狀態，是建立在許多假設的基礎上的！
4. 等比數列的前n項和的Sn，S2n，S3n有何關系
古人說，為者常成、行者常至，尤其對於青年人來講，只有在路上，才能有未來、有更好的未來。在路上，就不再是「能不幹就不幹」的懈怠，而是「能幹就干，不能幹，創造條件也要干」的志氣昂揚；在路上，就努力把千頭萬緒的事務條分縷析，以求事半功倍；在路上，就給心靈補充營養、給人生增加潛力，用讀書、學習來提高能力、開闊眼界。這樣一來，非但跳出了宿命論的溫柔陷阱，更邁上了正能量的階梯。
5. 如何求證數列是等比、等差數列
Sn=1/8（an+2）^2 1
Sn-1=1/8 ( an-1 +2)^2 2
1-2
得Sn-Sn-1=1/8*(an^2 - an-1 ^2 + 4an- 4an-1 )
化簡得 an=1/8*(an+an-1)(an-an-1)+ 4an- 4an-1
8an=(an+an-1)(an-an-1)+ 4an- 4an-1
(an+an-1)(an-an-1)- 4an- 4an-1 =0
(an+an-1)(an-an-1)- 4(an + 4an-1) =0
(an+an-1)(an - an-1 -4)=0
得 an - an-1 - 4=0
an - an-1 = 4為常數
所以後項減前項為常數 可證明{an} 為等差數列
設首項=a1 公比為q
S7=[a1(1-q^7)]/(1-q)
S14-S7=[a1(q^7-q^14)]/(1-q)
S21-S14=[a1(q^14-q^21)]/(1-q)
(S14-S7)^2=[a1^2(q^14-2q^21+q^28)]/(1-q)^2
S7*(S21-S14)=[a1^2*(q^14-2q^21+q^18)]/(1-q)^2
所以(S14-S7)^2=S7*(S21-S14)
所以 S7,S14-S7,S21-S14成等比數列
6. 數列題 有沒有會的呀
（1）比較：前n項的和Sn，前n-1項的和S_{n-1}，正好相差第項，作差可以得到通項公式。
（2）計算得an=4n-1，bn=2^{n-1}，注意觀察an*a_{n+1}=(4n-1)(4n+3)，取倒數後得形如1/(f(n)g(n))的式子，想一想在哪裡遇到過這樣的形式呢？當然是通分的時候，1/f(n)+1/g(n)=(f(n)+g(n))/(f(n)g(n))，如果f(n)+g(n)=1就好了。此時要用到一個小技巧，如果f(n)前添一個負號，變為-f(n)，那麼就變成了(f(n)-g(n))/(f(n)g(n))，如果f(n)-g(n)=1也行。這告訴我們一個道理，在數學運算中加減是等價的，當然乘除也是等價的，加法要想到取相反數，乘法要想到取倒數，就能構造出很多奇妙的式子了。當然，如果f(n)±g(n)的結果是常數，對最終的結果也不影響，將常數置於等式最前面就可以了。注意到(4n+3)-(4n-1)=4，因此可以把式子改寫為1/4*[-1/(4n-3)+1/(4n-1)]。最後說說數列，數列無非是一列有規律的數，為了得到規律，常常將第n項表示出來，即通項公式，如果對數學好奇可以把前n項加起來得到前n項和，（然後再把前n項和的前n項加起來，等等），這是研究數列的常用技巧。不可否認，大部分數列前n項加起來根本得不到漂亮的式子，那麼又該如何得到一個賞心悅目的式子呢？答案當然是前n項和總有一些項能被相互抵消，注意觀察最末兩項（有時可能很多項）cn+c_{n-1}=1/4*[-1/(4n-3)+1/(4n-1)-1/(4n-7)+1/(4n-3)]=1/4*[1/(4n-1)-1/(4n-7)]，設想這個式子一直加下去，1/(4n-1)的分母最大了，不可能被約去了，-1/(4n-7)則會被遠遠不斷的相反的項約去，最終得到1/4*[1/(4n-1)-1]。
思考一個小問題哦，令dn=cn+c_{n-1}，再看看最末兩項能不能被約去呢？最末三項呢？如果再令fn=dn+d_{n-1}呢，重復做下去會得到什麼奇妙的結果呢？
（3）等差數列和等比數列求和，書上都有公式。當然，如果有興趣的話，翻一翻書上的證明過程，等差數列求和在掌握了（2）的精妙之後你一定能自行推導，但是等比數列求和用到了一種神奇的相互抵消的方法，即得要融會貫通，成為自己的一個強有力的處理級數求和的工具哦。
（4）其實，在數學中任何一個小問題的思考都是有意義的，如果你認真看了等比級數求和的證明，那麼這個就不在話下了。提示一下，這個其實涉及到了加法和乘法轉化，設想如何把a+b變為含a的式子和含b的式子相乘呢？在最初學指數的性質時，e^a*e^b=e^{a+b}，右邊的指數位置就是a+b，左邊就是乘法。指數作為初等數學的偉大創造，其用途遠不止於此，有興趣的話可以看一看有關指數的科普讀物。那麼問題來了，加法和乘法就建立了一一對應關系，如何繼續使用（2）中相消思想呢？如果給等比數列e^n乘一個e，就變成了e^{n+1}，即等比數列的下一項，如果給等比數列前n項和gn=e^n+e^{n-1}+...+1乘e，就變成了e*gn=g_{n+1}-1，而g_{n+1}又可以寫為g_n+e^{n+1}，解一下方程就得到了等比數列e^n的前n項和。如果給等差數列和等比數列的積的通項公式乘公比，變為了什麼呢？如果給等差數列和等比數列的積的前n項和乘公比，又變為了什麼呢？二者還可以通過簡單作差實現相消嗎？方法就是如此了，只有靜下心來，花費一段時間，親自把這道題的後續步驟完成，我相信，至少在全國卷中和數列有關的高考題，你一定會完美拿下的。
說了這么多，真是感慨萬千啊，當年我學習高中數學時，只是為了一味地刷題，而忽視了數學本身。學數學就應該學出靈動的感覺，要把自己盡可能想像成為一個數學家一樣思考和研究，每一步都想透徹了，想不透就去請教同學和老師，或者自行在網上找一些初等數學中的精彩結果，去欣賞數學的精妙。事實上，對於高中而言，只要認真做好一道好題，就能掌握一類題（其餘的就全部交給計算了），從時間上看，真的是付出一時，受益三年。
加油，付出必然會有收獲。
7. 提問問題
^^1+1/(2^2)+……+1/(2^99)=2*[1+1/(2^2)+……+1/(2^99)]-[1+1/(2^2)+……+1/(2^99)]=2+1/2+1/(2^2)+……+1/(2^98)]-[1+1/(2^2)+……+1/(2^99)]=1+1/2-1/(2^99)
8. 數學的由來
原始公社末期，私有制和貨物交換產生以後，數與形的概念有了進一步的發展，仰韶文化時期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號。到原始公社末期，已開始用文字元號取代結繩記事了。
西安半坡出土的陶器有用1～8個圓點組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創造了規、矩、准、繩等作圖與測量工具。據《史記·夏本紀》記載，夏禹治水時已使用了這些工具。
商代中期，在甲骨文中已產生一套十進制數字和記數法，其中最大的數字為三萬；與此同時，殷人用十個天乾和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期；在周代，又把以前用陰、陽符號構成的八卦表示八種事物發展為六十四卦，表示64種事物。
公元前一世紀的《周髀算經》提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠的方法，並舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環矩可以為圓等例子。《禮記·內則》篇提到西周貴族子弟從九歲開始便要學習數目和記數方法，他們要受禮、樂、射、馭、書、數的訓練，作為「六藝」之一的數已經開始成為專門的課程。
春秋戰國之際，籌算已得到普遍的應用，籌算記數法已使用十進位值制，這種記數法對世界數學的發展是有劃時代意義的。這個時期的測量數學在生產上有了廣泛應用，在數學上亦有相應的提高。
戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，尤其是對於正名和一些命題的爭論直接與數學有關。名家認為經過抽象以後的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出「矩不方，規不可以為圓」，把「大一」(無窮大)定義為「至大無外」，「小一」(無窮小)定義為「至小無內」。還提出了「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」等命題。
而墨家則認為名來源於物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數學定義。例如圓、方、平、直、次(相切)、端(點)等等。
墨家不同意「一尺之棰」的命題，提出一個「非半」的命題來進行反駁：將一線段按一半一半地無限分割下去，就必將出現一個不能再分割的「非半」，這個「非半」就是點。
名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列，墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結果。名家和墨家的數學定義和數學命題的討論，對中國古代數學理論的發展是很有意義的。
中國古代數學體系的形成
秦漢是封建社會的上升時期，經濟和文化均得到迅速發展。中國古代數學體系正是形成於這個時期，它的主要標志是算術已成為一個專門的學科，以及以《九章算術》為代表的數學著作的出現。
《九章算術》是戰國、秦、漢封建社會創立並鞏固時期數學發展的總結，就其數學成就來說，堪稱是世界數學名著。例如分數四則運算、今有術(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數值解法)、盈不足術(西方稱雙設法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負數運算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數的方法)等，水平都是很高的。其中方程組解法和正負數加減法則在世界數學發展上是遙遙領先的。就其特點來說，它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數學完全不同的獨立體系。
《九章算術》有幾個顯著的特點：採用按類分章的數學問題集的形式；算式都是從籌算記數法發展起來的；以算術、代數為主，很少涉及圖形性質；重視應用，缺乏理論闡述等。
這些特點是同當時社會條件與學術思想密切相關的。秦漢時期，一切科學技術都要為當時確立和鞏固封建制度，以及發展社會生產服務，強調數學的應用性。最後成書於東漢初年的《九章算術》，排除了戰國時期在百家爭鳴中出現的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論，偏重於與當時生產、生活密切相結合的數學問題及其解法，這與當時社會的發展情況是完全一致的。
《九章算術》在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本，並成為這些國家當時的數學教科書。它的一些成就如十進位值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯，並通過印度、阿拉伯傳到歐洲，促進了世界數學的發展。
9. 等差數列構造法求通項公式的公式是什麼
在高中數學教材中，有很多已知等差數列的首項、公比或公差(或者通過計算可以求出數列的首項,公比),來求數列的通項公式。但實際上有些數列並不是等差、等比數列,給出數列的首項和遞推公式,要求出數列的通項公式。而這些題目往往可以用構造法，根據遞推公式構造出一個新數列，從而間接地求出原數列的通項公式。對於不同的遞推公式，我們當然可以採用不同的方法構造不同的類型的新數列。下面給出幾種我們常見的構造新數列的方法： 一．利用倒數關系構造數列。 例如： 中，若求a n +4, 即＝４， ｝是等差數列。 可以通過等差數列的通項公式求出 ,然再求後數列{ a n }的通項。 練習：1)數列{ a n }中，a n ≠0，且滿足 求a n 2)數列{ a n }中， 求a n 通項公式。 3)數列{ a n }中, 求a n . 二．構造形如 的數列。 例：正數數列{ a n }中，若 解：設 練習：已知正數數列{ a n }中， , 求數列{ a n }的通項公式。 三．構造形如 的數列。 例：正數數列{ a n }中，若a 1 =10,且求a n . 解：由題意得： ， 即 . 即 練習：（選自2002年高考上海卷） 數列{ a n }中，若a 1 =3, ,n是正整數，求數列{ a n }的通項公式。 四．構造形如 的數列。 例：數列{ a n }中，若a 1 =6, a n+1 =2a n +1, 求數列{ a n }的通項公式。 解：a n+1 +1=2a n +2, 即a n+1 +1=2（a n +1） 設b n = a n +1, 則b n = 2 b n-1 則數列{ b n }是等比數列，公比是2,首項b １ = a １ +1＝7, ， 構造此種數列，往往它的遞推公式形如： 。 如：a n+1 ＝c a n +d,設可化成a n+1 +x=c(a n +x), a n+1 =c a n +(c-1)x 用待定系數法得： (c-1)x＝d ∴ x= . 又如：Ｓ n +a n =n+2, 則Ｓ n-1 +a n-1 =n+1, 二式相減得：Ｓ n －Ｓ n-1 +a n －a n-1 =１，即a n +a n －a n-1 =１， ∴ 2 a n －a n-1 =１， a n = a n-1 + . 如上提到b n = a n ＋ d = a n –1 練習：1.數列{ a n }滿足a n+1 =3a n +2, 求a n 2.數列{ a n }滿足Ｓ n +a n =2n+1,求a n 五．構造形如 的數列。 例：數列{ a n }中，若a 1 =１，a ２ =3,a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0 (n N),求a n 。 解： a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0得： a n+2 － a n+1 = - 5（a n ＋１ － a n ） 設b n = a n ＋１ －a n ， 則數列{ b n }是等比數列，公比是-5,首項b １ = a 2 - a 1 ＝2, ∴a n ＋１ －a n =2(-5) n-1 即a ２ －a １ =2(-5) a ３ －a ２ =2(-5) ２ a ４ －a ３ =2(-5) ３ ┄ a n －a n －１ =2(-5) n-2 以上各式相加得：a n －a １ =2［（-5）＋(-5) ２ ＋(-5) ３ ＋┄＋（-5） n-1 ］ 即：a n －a １ =2 ，即，（n 當遞推公式中，a n ＋１ 與a n 的系數相同時，我們可構造b n = a n ＋１ －a n ， 然後用疊加法得：b 1 +b 2 +b 3 +b 4 +┄+b n = a n -a 1 通過求出數列｛b n ｝前n-1項和的方法，求出數列{ a n }的通項公式。 1) 當遞推公式中形如: a n+1 =a n +an+b ; a n+1 =a n +q n (q≠1) ; a n+1 =a n +q n +an+b 等情形時， 可以構造b n = a n ＋１ －a n ,得: b n = an+b； b n = q n ; b n =q n +an+b。 求出數列前n-1項的和T n-1 , T n-1 = ; T n-1 =； T n-1 = + 即： a n －a １ = ; a n －a １ = ; a n －a １ = + 從而求出 a n =a １ + ; a n = a １ + ; a n =a １ + + 。 2）當遞推公式中形如: a n+1 =a n +；a n+1 =a n +；a n+1 =a n + 等情形 可以構造b n = a n ＋１ －a n ,得:：b n =；b n =；b n = 即b n =；b n =；b n = 從而求出求出數列前n-1項的和T n-1 , T n-1 =；T n-1 =；T n-1 = 即： a n －a １ = ; a n －a １ = ; a n －a １ = 從而求出 a n =a １ + ; a n = a １ + ; a n =a １ + 練習：1）數列{ a n }中，若a 1 =1，a n+1 -a n =2n, 求通項a n. 2）數列{ a n }中，若a 1 =1，a n+1 -a n =2 n , 求通項a n. 3) 數列{ a n }中，若a 1 =2， ，求通項a n. 六．構造形如 的形式。 例：數列{ a n }中，若a 1 =1， ，求a n. 解：由得： ∴，，，… 用累乘法把以上各式相乘得： ∴。 當遞推公式形如： ；； 等形式，我們可以構造 。 可得: ; ; . 然後用疊乘法得： 。 令數列{b n }的前n-1項的積為A n-1 ,則 ； ; 從而得到： ；； ；；。 練習：1）數列{ a n }中，若a 1 =2， ，求a n. 七．構造形如 的形式。 例：數列{ a n }中，a 1 =2，S n =4a n-1 +1，求a n. 解：S n =4a n-1 +1，S n-1 =4a n-2 +1 二式相減：S n -S n-1 =4a n-1 -4a n-2 a n =4a n-1 -4a n-2 a n -2a n-1 =2（a n-1 -a n-2 ） 設b n =a n+1 -2a n ， 當遞推公式形如 S n+1 =4a n +2;a n+2 =pa n+1 +qa n (p+q=1) 等形式時，因a n -2a n+1 =2(a n+1 -2a n );a n+2 -a n+1 =(p-1)(a n+1 -a n ), 我們構造b n =a n+1 -2a n ; b n =a n+1 -a n , 由等比數列知識得b n =(a 2 -a 1 )·2 n-1 ; b n =(a 2 -a 1 )·(p-1) n-1 從而得到a n+1 =2a n +(a 2 -a 1 )2 n-1 ;a n+1 =a n (a 2 -a 1 )(1-q) n-1 由類型四求出a n 。 總之，對於很多數列，我們都可以由遞推公式構造新數列的方法求出他們的通項公式。當然，在教學中我們應當充分調動學生的積極性，努力培養學生的創造能力，讓學生自己去構造，自己去探索，使學生親嘗到成功樂趣，激起他們強烈的求知慾和創造欲。 望採納。謝謝
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