剩餘定理的發明家

㈠ 中國剩餘定理的證明

方法一（直接構造）：
由m,n互素，存在u,v使得u*m+v*n=1（裴蜀定理）。令x=v*n*a+u*m*b，則一方面，x=(v*n)*a+u*m*b=(1-u*m)*a+u*m*b=a-u*m*a+u*m*b=(u*b-u*a)*m+a；另一方面，x=v*n*a+(u*m)*b=v*n*a+(1-v*n)*b=v*n*a+b-v*n*b=(v*a-v*b)*n+b。取p=u*b-u*a，q=v*a-v*b即可。
如果這樣得到的x不是正的，可以加上m*n的足夠多倍，不改變除以m或n所得的余數。

方法二（鴿巢原理）：
定義集合S={0,1,...,m*n-1}，A={0,1,...,m-1}，B={0,1,...,n-1}；定義映射f:S->A*B：對任意x屬於S（0<=x<=m*n-1），f(x)的第一個分量為x除以m的余數，第二個分量為x除以n的余數。則原命題等價於f是滿射。

聲明：f為單射。
證明：假設存在x,y屬於S使得f(x)=f(y)，即x除以m的余數等於y除以m的余數，x除以n的余數等於y除以n的余數。前面說明x-y被m整除，後面說明x-y被n整除，所以x-y能夠被m和n的最小公倍數整除。由m,n互素，最小公倍數即為m*n，所以x-y能夠被m*n整除。但由0<=x,y<=mn-1知-(m*n-1)<=x-y<=m*n-1。唯一的可能是x-y=0，即x=y。從而f是單射。

S中有m*n個元素，A*B中也有m*n個元素，f為S到A*B的單射，所以由鴿巢原理，f也是滿射。證畢。

㈡ 中國剩餘定理的別稱是什麼

中國剩餘定理，被稱為孫子定理。

在《孫子算經》中有這樣一個問題：「今有物專不知其數，三三數之屬剩二（除以3餘2），五五數之剩三（除以5餘3），七七數之 剩二（除以7餘2），問物幾何？」這個問題稱為「孫子問題」，該問題的一般解法國際上稱為「中國剩餘定理」。

即，一個整數除以三餘二，除以五餘三，除以七餘二，求這個整數。《孫子算經》中首次提到了同餘方程組問題，以及以上具體問題的解法，因此在中文數學文獻中也會將中國剩餘定理稱為孫子定理。宋朝數學家秦九韶於1247年《數書九章》卷一、二《大衍類》對「物不知數」問題做出了完整系統的解答。明朝數學家程大位將解法編成易於上口的《孫子歌訣》：「三人同行七十稀，五樹梅花廿一支，七子團圓正半月，除百零五使得知.「

這個歌訣給出了模數為3、5、7時候的同餘方程的秦九韶解法。意思是：將除以3得到的余數乘以70，將除以5得到的余數乘以21，將除以7得到的余數乘以15，全部加起來後除以105（或者105的倍數），得到的余數就是答案。比如說在以上的物不知數問題裡面，按歌訣求出的結果就是23。

㈢ 中國剩餘定理——孫子定理講的是什麼呢

我國古代的重要數學著作《孫子算經》中有一問題：「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何?」答曰：「二十三。」這段話譯成白話是：「有一堆東西不知有多少個，如果三個三個數，剩二個，如果五個五個數，剩三個，如果七個七個數剩二個。問這堆東西有多少?答案是二十三個。」這個問題的解決，叫「孫子定理」，國外稱為「中國剩餘定理」。

這個問題的解法明朝程大位寫成一首詩是：「三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。」這首詩里隱含著70、21、15、105這4個數，只要牢記這4個數，解答此題便輕而易舉了。在《孫子算經》中詳細介紹了這種奇妙演算法：凡是每3個一數最後餘1的，就取1個70，最後餘2的，便取2個70；每5個一數最後餘1的，就取1個21，餘2的，就取2個21；每7個一數最後餘1的，就取1個15，餘2的取2個15。把這些數加起來，如果得數比105大，減去105，所得的兩組數便是眾多答案中最小的一個和第二最小的。比如，上題是取2個70，取3個21，取2個15。由於2×70＋3×21＋2×15＝233，比105大，減去105，再減105，得23。只此寥寥幾步，便解了此題，可謂神奇。

㈣ 中國剩餘定理的典故

「
中國古代數學有著輝煌的成就，今天大小吳將為大家介紹在中國數學史上非常著名的中國剩餘定理。
1 韓信點兵問題

這個問題首先要從一個叫做「韓信點兵」的故事說起。

秦末時期，楚漢相爭，漢初三傑之一的韓信有一次帶1500名兵士打仗，戰死四五百人。為了統計剩餘士兵的個數，韓信令士兵3人一排，多出2人；5人一排，多出4人；7人一排，多出6人。韓信據此很快說出人數：1049人。漢軍本來就十分信服韓信大將軍，經此之後就更加相信韓信是「天神下凡，神機妙算"，於是士氣大振，鼓聲喧天，在接下來的戰役中漢軍步步緊逼，楚軍亂作一團，大敗而逃。韓信由此名揚天下，被後世譽為「兵仙「，「神帥」。

那麼韓信是如何快速算出士兵人數的呢？韓信點兵問題可以用現代數學語言描述如下：若士兵人數是，則有除以3餘2，除以5餘4，除以7餘6.

我們也可以用同餘式來表示這個問題：

我們發現，若將，則可以同時被3、5、7整除，即

所以一定是3、5、7的最小公倍數的整數倍，由於3、5、7兩兩互素，則

所以

即

其中是正整數，當時

這樣，韓信就計算出了剩餘士兵的人數。

2 孫子算經與物不知數問題

實際上，這類問題就是在求解初等數論中的同餘方程組。在數學史上韓信點兵問題也被稱為物不知數問題，最早記載於一千多年前的《孫子算經》中：

「
今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？
轉化為現代數學語言，即解整數滿足的同餘式

這個問題和上文所說的韓信點兵問題類似，但是，它不具備上一個問題那麼好的性質，因為無論使加上或減去一個數，都無法同時被3、5、7整除。那麼，這個問題該如何解決呢？

宋朝數學家秦九韶於1247年《數書九章》卷一、二《大衍類》對「物不知數」問題做出了完整系統的解答。明朝數學家程大位將解法編成易於上口的《孫子歌訣》：

「
三人同行七十稀，五樹梅花廿一支（二十一），七子團圓正半月，除百零五使得知。
這首詩的意思是：將除以3得到的余數乘以70，將除以5得到的余數乘以21，將除以7得到的余數乘以15，全部加起來後除以105得到的余數就是答案。

根據這個演算法，可得：

因此物不知數問題的最小正整數解即為，事實上，23確實滿足除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，這個問題的通解為

其中是自然數。

3 中國剩餘定理

對於這個問題，如果是一般情況，該如何處理呢？例如，有同餘式：

我們把這個問題分解成三個同餘式方程組

那麼初始問題就有最小正整數解

因此只要能找到滿足條件的即可。以為例，由同餘式可得，

因此

所以存在使得

因此

其中的存在性可以證明，因為有如下定理：

「
若，則必然存在使得
對於這個定理的證明，可以考慮集合中的最小正整數，只要證明這個最小正整數就是1即可。

考慮其中最小的正整數，，只需證明且，由於互素，所以只能為1.

這件事可以用反證法證明：若不能整除，則必有

因此

因此余數也可以表示成一個整數乘以加上另一個整數乘以的形式，又因為是小於的，這就和最開始的假設是最小的正整數相矛盾了，因此必有

因此存在性得證。

事實上這樣的不僅存在，而且也比較好尋找，其中70就是既能被5、7同時整除又能除以3餘1的最小正整數，所以，同理可得，，因此這類問題就有了通解：

原來上面的古詩中出現的70、21、15這三個數是這么來的！

一般來講，給定個不同的素數，則同餘方程組

一定是有解的，求解這個問題只需構造基礎解系:

因此有

因為都是素數，因此的存在性是顯然的。

求解上述問題的過程與方法就稱為「中國剩餘定理」，又稱為「孫子定理」。

中國剩餘定理的傳播最早在1852年由英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經》中「物不知數」問題的解法傳至歐洲。1874年，英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關於同餘式解法的一般性定理，因而西方稱之為「中國剩餘定理」，成為了初等數論中非常重要的一個定理。

㈤ 中國剩餘定理是什麼的別稱

是孫子定理的別稱。

孫子定理是中國古代求解一次同餘式組（見同餘）的方法。是數論中一個重要定理。又稱中國余數定理。一元線性同餘方程組問題最早可見於中國南北朝時期（公元5世紀）的數學著作《孫子算經》卷下第二十六題，叫做「物不知數」問題，原文如下：

有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何，即，一個整數除以三餘二，除以五餘三，除以七餘二，求這個整數。《孫子算經》中首次提到了同餘方程組問題，以及以上具體問題的解法，因此在中文數學文獻中也會將中國剩餘定理稱為孫子定理。

(5)剩餘定理的發明家擴展閱讀：

孫子問題出現在公元四世紀的中國算書中，這並不是偶然的。我國古代天文歷法資料表明，一次同餘問題的研究，明顯地受到天文、歷法需要的推動，特別是和古代歷法中所謂「上元積年」的計算密切相關。

大家知道，一部歷法，需要規定一個起算時間，我國古代歷算家把這個起點叫做「歷元」或「上元」，並且把從歷元到編歷年所累積的時間叫做「上元積年」。

上元積年的推算需要求解一組一次同餘式。以公元三世紀三國時期魏國施行的《景初歷》做例，這部歷法規定以冬至、朔旦（朔日子夜）和甲子日零時會合的時刻作為歷元。

設a是一回歸年日數，b是一朔望月日數，當年冬至距甲子日零時是R1日，離平朔時刻是R2日，那麼《景初歷》上元積元數N就是同餘組的解。

㈥ 中國剩餘定理是怎樣的

古時候，我國有一部很重要的數學著作，叫《孫子算經》。書中的許多古算題，如「物不知數」問題、「雞兔同籠」問題等等，都編得饒有情趣，1000多年來，一直在國內外廣為流傳。其中，尤以物不知數問題最為著名。

物不知數問題的大意是：「有一堆物體，不知道它的數目。如果每3個一數，最後會剩下2個；每5個一數，最後會剩3個；每7個一數，最後會剩下2個。求這堆物體的數目。」

這是一個不定方程問題，答案有無窮多組。按照現代解不定方程的一般步驟，解答起來是比較麻煩的。而若按照我國古代人民發明的一種演算法，解答起來就簡單得出奇。有人將這種奇妙的演算法編成了一首歌謠：

三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，

七子團圓正半月，除百零五便得知。

歌謠里隱含著70、21、15、105這4個數。只要記住這4個數，算出物不知數問題的答案就輕而易舉了。尤其可貴的是，這種奇妙的演算法具有普遍的意義，只要是同一類型的題目，都可以用這種方法去解答。

《孫子算經》最先詳細介紹了這種奇妙的演算法。書中說：凡是每3個一數最後剩下1個，就取70；每5個一數最後剩1個，就取21；每7個一數最後剩下1個，就取15。把它們加起來，如果得數比106大，就減去105。最後求出的數就是所有答案中最小的一個。

在物不知數問題里，每3個一數最後剩2，應該取2個70；每5個一數最後剩3，應該取3個21；每7個一數最後剩2，應該取2個15。由於2×70＋3×21＋2×15等於233，比106大，應該減去105；相減後得128，仍比106大，應該再減去105，得23。瞧，只需寥寥幾步，我們就算出了題目的答案。

這種奇妙的演算法有許多有趣的名稱，如「鬼谷算」、「韓信大點兵」、「秦王暗點兵」等等，並被編成許多有趣的數學故事。它於12世紀末就流傳到了歐洲國家。

可是，13世紀下半葉，我國數學家秦九韶遇到了一個與物不知數問題很相似的題目，卻不能用這種奇妙的演算法來解答。

秦九韶遇到的題目叫「余米推數」問題，在數學史上也很名。它有一種有趣的表述形式。

一天夜裡，一群盜賊洗劫了一家米店，放在店堂里的3籮米幾乎被席捲一空。第二天，官府派人勘查了現場，發現3個籮一樣大，中間那個籮里還剩下14合米，而兩邊的籮里只剩下1合米了。

盜賊偷走了多少米呢？店主不記得每個蘿里裝了多少米，只記得它們裝得一樣多。」

後來，行竊的3個盜賊都被抓住了。可是，他們也不知道偷了多少米。那天晚上，店堂里漆黑一團，盜賊甲摸到了一個馬勺，用它從左邊那個籮里舀米；盜賊乙摸到一個木鞋，用它從中間那個籮里舀米；盜賊丙摸到一個漆碗，用它從右邊那個籮里舀米。盜賊們不記得舀了多少次，只記得每次都正好舀滿，舀完最後一次後，籮里剩下的米都已不夠再舀一次了。

在米店裡，人們找到馬勺、木鞋和漆碗，發現馬勺一次能舀19合米，木鞋一次能舀17合米，而漆碗一次只能舀12合米。問米店共被竊走多少米，3個盜賊各盜竊了多少米？

為什麼說余米推數問題與物不知數問題很相似呢？如果把米店被竊走的米數看作是一堆物體，這個題目實際上就是：

有一堆物體，不知道它的數目。如果每19個一數，最後剩下1個，每17個一數，最後剩14個，每12個一數，最後剩下1個。求這堆物體的數目。

秦九韶想，既然這兩個題目很相似，那麼，它們的解法也應該很相似。「鬼谷算」解答不了余米推數問題，說明它還不夠完善，於是他深入探索了古代演算法的奧秘，經過苦心鑽研，終於在古代演算法的基礎上，創造出一種更普遍、更強有力的奇妙演算法。

這種新演算法也就是馳名世界的「大衍求一術」，它是我國古代數學里最有獨創性的成就之一。國外直到19世紀，才由大數學家高斯發現同樣的定理。因此，這個定理也就被人叫做「中國剩餘定理」。

秦九韶也因此獲得了不朽的聲譽。西方著名數學史專家薩頓，對秦九韶創造性的工作給予了極高的評價，稱贊秦九韶是「他的民族、他的時代以至一切時期的最偉大的數學家之一」。

㈦ 中國剩餘定理是怎麼推出來的

這個要從韓信說起， 韓信是漢高祖劉邦手下的大將，他英勇善戰，智謀超群，為漢朝的建立了卓絕的功勞。據說韓信的數學水平也非常高超，他在點兵的時候，為了保住軍事機密，不讓敵人知道自己部隊的實力，先令士兵從1至3報數，然後記下最後一個士兵所報之數；再令士兵從1至5報數，也記下最後一個士兵所報之數；最後令士兵從1至7報數，又記下最後一個士兵所報之數；這樣，他很快就算出了自己部隊士兵的總人數，而敵人則始終無法弄清他的部隊究竟有多少名士兵。
這個故事中所說的韓信點兵的計算方法，就是現在被稱為「中國剩餘定理」的一次同餘式解法。它是中國古代數學家的一項重大創造，在世界數學史上具有重要的地位。
最早提出並記敘這個數學問題的，是南北朝時期的數學著作《孫子算經》中的「物不知數」題目。這道「物不知數」的題目是這樣的：
「今有一些物不知其數量。如果三個三個地去數它，則最後還剩二個；如果五個五個地去數它，則最後還剩三個；如果七個七個地去數它，則最後也剩二個。問：這些物一共有多少？」
用簡練的數學語言來表述就是：求這樣一個數，使它被3除餘2，被5除餘3，被7除餘2。《孫子算經》給出了這道題目的解法和答案，用算式表示即為：

用現代的數學術語來說，這幅「開方作法本源圖」實際上是一個指數為正整數的二項式定理系數表。稍懂代數的讀者都知道：

《孫子算經》實際上是給出了這類一次同餘式組

的一般解：

其中70、21、15和105這四個數是關鍵，所以後來的數學家把這種解法編成了如下的一首詩歌以便於記誦：

「三人同行七十（70）稀，
五樹梅花二一（21）枝。
七子團圓正半月（15），
除百零五（105）便得知。」

《孫子算經》的「物不知數」題雖然開創了一次同餘式研究的先河，但由於題目比較簡單，甚至用試猜的方法也能求得，所以尚沒有上升到一套完整的計算程序和理論的高度。真正從完整的計算程序和理論上解決這個問題的，是南宋時期的數學家秦九韶。秦
九韶在他的《數書九章》（見圖1一7一1）中提出了一個數學方法「大衍求一術」，系統地論述了一次同餘式組解法的基本原理和一般程序。
秦九韶為什麼要把他的這一套計算程序和基本原理稱為「大衍求一術」呢？這是因為其計算程序的核心問題是要「求一」。所謂「求一」，通俗他說，就是求「一個數的多少倍除以另一個數，所得的余數為一」。那麼為什麼要「求一」呢？我們可以從「物不知數」題的幾個關鍵數字70、21、15中找到如下的規律
其中70是5和7的倍數，但被3除餘1；21是3和7的倍數，但被5除餘1；15是3和5的倍數，但被7除餘1，任何一個一次同餘式組，只要根據這個規律求出那幾個關鍵數字，那麼這個一次同餘式組就不難解出了。為此，秦九韶提出了乘率、定數、衍母、衍數等一系列數學概念，並詳細敘述了「大衍求一術」的完整過程。（由於解法過於繁細，我們在這里就不展開敘述了，有興趣的讀者可進一步參閱有關書籍。）直到此時，由《孫子算經》「物不知數」題開創的一次同餘式問題，才真正得到了一個普遍的解法，才真正上升到了
「中國剩餘定理」的高度。
從《孫子算經》到秦九韶《數書九章》對一次同餘式問題的研究成果，在19世紀中期開始受到西方數學界的重視。1852年，英國傳教士偉烈亞力向歐洲介紹了《孫子算經》的「物不知數」題和秦九韶的「大衍求一術」；1876年，德國人馬蒂生指出，中國的這一解法與西方19世紀高斯《算術探究》中關於一次同餘式組的解法完全一致。從此，中國古代數學的這一創造逐漸受到世界學者的矚目，並在西方數學史著作中正式被稱為「中國剩餘定理」。

㈧ 中國剩餘定理研究的意義是什麼

剛學習幾何時，最激動人心的是勾股定理，並且它成為了三角學、解析幾何的基礎知識。
可以說，勾股定理，是幾何學中的第一顆耀眼的明珠，或者說恆星。
而中國剩餘定理在數論中的地位，就相當於幾何中的勾股定理了。

我相信，隨著對中國剩餘定理的越來越詳細的了解，越來越深入的研究，會找到越來越多、越來越深刻的意義。
而它的意義，如果從眾分析的話，網路探索一下
中國剩餘定理 意義
就會找到很多相關的內容。
將它們綜合（歸納）一下，再結合自己個人的研究心得，自然能充分的明了它的意義。
我對中國剩餘定理相當的愛好，並且有一定的研習。但是，我很少原創性的分析它的意義。你的提問啟發了我。假以時日，我想我會以此為題，整理出一篇文章來。大綱略提：
一：對於數學教育，尤其是在啟蒙教育中的意義。我對數論的興趣，最大的影響就源於中國剩餘定理。並且對它的研習，樂此不疲。
二：對於數論中的各個分支的宏觀影響。對於某些具體課題和重大數學成果的影響。我覺得，中國剩餘定理，不僅僅是一個數論基礎定理，還應當把它作為一個前沿的，充滿活力和創新機能的種子。它裡面，永遠蘊藏著神秘的力理和挖掘不盡的內容。正如素數分布一樣。唯一不同的是，似乎人們對中國剩餘定理已經很為了解了。但是，正如一個圓，半徑越大，接觸到的未知范圍就越大。我隱隱覺得，中國剩餘定理，是解決一些重大數論難題中舉足輕重的工具。我相信，素數分布問題的最終解決，中國剩餘定理必將在其中發揮極為重大的作用。有一些關於素數分布的想法，包括我個人的在內，還只是讓中國剩餘定理發揮了其定性的作用。而深刻的定量分析，還遠遠不夠。
三：對與數論緊密相關的其他數學分支的影響。如組合論，近世代數(抽象代數，尤其是群論），多項式理論，矩陣論，逼近論，等等，……（我情不自禁的加了個省略號。等等，總讓我有意猶未盡之嫌。而加上……，沒有盡其意，但是更顯得意猶未盡……可惜，我對數學的了解，還那麼的淺薄……）
四：對其它數學分支的影響。
五：對其它科學理論的影響。最重要的是方法論。
六：還有其它。
七：說不出的影響，必定還有很多……
八：我情不自禁的再加一條：……
九：你自己加……
十：我不想再加省略號。但是不想嘎然而止。下面用空白代替吧。
十一：
十二：
十三：無盡的虛無，不是空白所能代替。打住。十三，是超過十的第二個素數了。事不過三。
1001=7*11*13。
；；；；；；
十七：如果能羅列到第十七，我想，對中國剩餘定理的了解和對它意義的闡述，算是足夠充分了。可惜我做不到。附說：2,2+1,4+1,16+1,256+1,65536+1,我想起了費馬素數。我想，它也是數論中的一個重要的迷。天吶，數論這個神秘的東西，叫人如何說得完，叫人如何不著迷。數學中的皇冠，帝王，女王，皇後，明珠，……無法形容。今天說了這么多廢話，相信我以後再不會對數學，數論說這么多廢話了。讓我們一起，踏踏實實的研究吧。只有在踏實的研究中，我們才會發現，一樣東西的更多、更重要、更神奇的意義。
!