創造群論

⑴ 群論有什麼用啊

群論，是數學概念。在數學和抽象代數中，群論研究名為群的代數結構。群在抽象代數中具有基本的重要地位：許多代數結構，包括環、域和模等可以看作是在群的基礎上添加新的運算和公理而形成的。群的概念在數學的許多分支都有出現，而且群論的研究方法也對抽象代數的其它分支有重要影響。

群論的重要性還體現在物理學和化學的研究中，因為許多不同的物理結構，如晶體結構和氫原子結構可以用群論方法來進行建模。於是群論和相關的群表示論在物理學和化學中有大量的應用。

(1)創造群論擴展閱讀：

群的概念引發自多項式方程的研究，由埃瓦里斯特·伽羅瓦在18世紀30年代開創。在得到來自其他領域如數論和幾何學的貢獻之後，群概念在1870年左右形成並牢固建立。現代群論是非常活躍的數學學科，它以自己的方式研究群。為了探索群，數學家發明了各種概念來把群分解成更小的、更好理解的部分，比如置換群、子群、商群和單群等。

⑵ 群論是誰提出來的！

群論是法國傳奇式人物伽羅瓦（ Galois，1811~1832年）的發明。他用該理論，具體來說是伽羅瓦群，解決了五次方程問題。在此之後柯西（Augustin-Louis Cauchy,1789~1857年)，阿貝爾（Niels Henrik Abel，1802~1829年）等人也對群論作出了發展。

⑶ 如何通俗的解釋什麼是群論

群論是描述對稱的數學理論。
我們日常所說的對稱，大多是對於幾何圖案：正方形、正三角形、圓、立方體、球等等。如果要數一數有多少個對稱，也不難做到：長方形有兩個（左右對稱，上下對稱），正方形有四個（多了兩條對角線），圓有無數個（相對於每條直徑）。
群的特徵是變換，任何封閉的變換操作集都可以用群表示。
物理里用它來表示對稱，是因為對稱操作總是某種變換操作，而且肯定是封閉的，所以必然成群。

⑷ 關於群論

伽羅瓦群論的誕生

方程論是古典代數的中心課題。直到19世紀中葉，代數仍是一門以方程式論為中心的數學學科，代數方程的求解問題依然是代數的基本問題，特別是用根式求解方程。所謂方程有根式解（代數可解），就是這個方程的解由該方程的系數經過有限次加減乘除以及開整數次方等運算表示出來的。群論也就是起源於對代數方程的研究，它是人們對代數方程求解問題邏輯考察的結果。
一、伽羅瓦群論產生的歷史背景
從方程的根式解法發展過程來看，早在古巴比倫數學和印度數學的記載中，他們就能夠用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，給出的解相當於+，，這是對系數函數求平方根。接著古希臘人和古東方人又解決了某些特殊的三次數字方程，但沒有得到三次方程的一般解法。這個問題直到文藝復興的極盛期（即16世紀初）才由義大利人解決。他們對一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根 x= + ，其中p = ba2，q = a3，顯然它是由系數的函數開三次方所得。同一時期，義大利人費爾拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系數的函數開四次方所得。
用根式求解四次或四次以下方程的問題在16世紀已獲得圓滿解決，但是在以後的幾個世紀里，探尋五次和五次以上方程的一般公式解法卻一直沒有得到結果。1770年前後，法國數學家拉格朗日轉變代數的思維方法，提出方程根的排列與置換理論是解代數方程的關鍵所在，並利用拉格朗日預解式方法，即利用1的任意n次單位根 （ n =1）引進了預解式x1+ x2+ 2x3+…+ n-1xn，詳細分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促進了代數方程論的進步。但是他的這種方法卻不能對一般五次方程作根式解，於是他懷疑五次方程無根式解。並且他在尋求一般n次方程的代數解法時也遭失敗，從而認識到一般的四次以上代數方程不可能有根式解。他的這種思維方法和研究根的置換方法給後人以啟示。
1799年，魯菲尼證明了五次以上方程的預解式不可能是四次以下的，從而轉證五次以上方程是不可用根式求解的，但他的證明不完善。同年，德國數學家高斯開辟了一個新方法，在證明代數基本理論時，他不去計算一個根，而是證明它的存在。隨後，他又著手探討高次方程的具體解法。在1801年，他解決了分圓方程xp-1=0（p為質數）可用根式求解，這表明並非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程還是部分高次方程的問題需進一步查明。
隨後，挪威數學家阿貝爾開始解決這個問題。1824年到1826年，阿貝爾著手考察可用根式求解的方程的根具有什麼性質，於是他修正了魯菲尼證明中的缺陷，嚴格證明：如果一個方程可以根式求解，則出現在根的表達式中的每個根式都可表示成方程的根和某些單位根的有理數。並且利用這個定理又證明出了阿貝爾定理：一般高於四次的方程不可能代數地求解。接著他進一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的問題。在高斯分圓方程可解性理論的基礎上，他解決了任意次的一類特殊方程的可解性問題，發現這類特殊方程的特點是一個方程的全部根都是其中一個根（假設為x）的有理函數，並且任意兩個根q1(x)與q2(x)滿足q1q2(x)=q2q1(x)，q1，q2為有理函數。現在稱這種方程為阿貝爾方程。其實在對阿貝爾方程的研究中已經涉及到了群的一些思想和特殊結果，只是阿貝爾沒能意識到，也沒有明確地構造方程根的置換集合（因為若方程所有的根都用根x1來表示成有理函數qj(x1)，j=1,2,3,…,n，當用另一個根xi代替x1時，其中1〈i≤n ，那麼qj(xi)是以不同順序排列的原方程的根，j=1,2,…,n。實際上應說根xi=q1(xi),q2(xi),…,qn(xi)是根x1,x2,…,xn的一個置換），而僅僅考慮可交換性q1q2(x)=q2q1(x)來證明方程只要滿足這種性質，便可簡化為低次的輔助方程，輔助方程可依次用根式求解。
阿貝爾解決了構造任意次數的代數可解的方程的問題，卻沒能解決判定已知方程是否可用根式求解的問題。法國數學家伽羅瓦正是處在這樣的背景下，開始接手阿貝爾未競的事業。
二.伽羅瓦創建群理論的工作
伽羅瓦仔細研究了前人的理論，特別是拉格朗日、魯菲尼、高斯、阿貝爾等人的著作，開始研究多項式方程的可解性理論，他並不急於尋求解高次方程的方法，而是將重心放在判定已知的方程是否有根式解。如果有，也不去追究該方程的根究竟是怎樣的，只需證明有根式解存在即可。峰
1.伽羅瓦群論的創建
伽羅瓦在證明不存在一個五次或高於五次的方程的一般根式解法時，與拉格朗日相同，也從方程根的置換入手。當他系統地研究了方程根的排列置換性質後，提出了一些確定的准則以判定一個已知方程的解是否能通過根式找到，然而這些方法恰好導致他去考慮一種稱之為「群」的元素集合的抽象代數理論。在1831年的論文中，伽羅瓦首次提出了「群」這一術語，把具有封閉性的置換的集合稱為群，首次定義了置換群的概念。他認為了解置換群是解決方程理論的關鍵，方程是一個其對稱性可用群的性質描述的系統。他從此開始把方程論問題轉化為群論的問題來解決，直接研究群論。他引入了不少有關群論的新概念，從而也產生了他自己的伽羅瓦群論，因此後人都稱他為群論的創始人。
對有理系數的n次方程 x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1）
假設它的n個根x1,x2,…,xn的每一個變換叫做一個置換，n個根共有n!個可能的置換，它們的集合關於置換的乘法構成一個群，是根的置換群。方程的可解性可以在根的置換群的某些性質中有所反映，於是伽羅瓦把代數方程可解性問題轉化為與相關的置換群及其子群性質的分析問題。現在把與方程聯系起的置換群（它表現了方程的對稱性質）稱為伽羅瓦群，它是在某方程系數域中的群。一個方程的伽羅瓦群是對於每一個其函數值為有理數的關於根的多項式函數都滿足這個要求的最大置換群，也可以說成對於任一個取有理數值的關於根的多項式函數，伽羅瓦群中的每個置換都使這函數的值不變。
2.伽羅瓦群論的實質
我們可以從伽羅瓦的工作過程中，逐步領悟伽羅瓦理論的精髓。首先分析一下他是怎樣在不知道方程根的情況下，構造伽羅瓦群的。仍然是對方程（1），設它的根x1,x2,…,xn中無重根，他構造了類似於拉格朗日預解式的關於x1,x2,…,xn的一次對稱多項式 △1=a1x1+a2x2+…+anxn，其中ai(i=1,2,3,…,n)不必是單位根，但它必是一些整數且使得n!個形如△1的一次式△1,△2,…,△n!各不相同，接著又構造了一個方程 =0 (2)
該方程的系數必定為有理數（可由對稱多項式定理證明），並且能夠分解為有理數域上的不可約多項式之積。設f(x)=是的任意一個給定的m次的不可約因子，則方程(1)的伽羅瓦群是指n!個△i中的這m個排列的全體。同時他又由韋達定理知伽羅瓦群也是一個對稱群，它完全體現了此方程的根的對稱性。但是計算一個已知方程的伽羅瓦群是有一定困難的，因此伽羅瓦的目的並不在於計算伽羅瓦群，而是證明：恆有這樣的n次方程存在，其伽羅瓦群是方程根的可能的最大置換群s(n)，s(n)是由n!個元素集合構成的，s(n)中的元素乘積實際上是指兩個置換之積。現在把s(n)中的元素個數稱為階，s(n)的階是n!。
伽羅瓦找出方程系數域中的伽羅瓦群g後，開始尋找它的最大子群h1，找到h1後用一套僅含有理運算的手續（即尋找預解式）來找到根的一個函數。的系數屬於方程的系數域r，並且在h1的置換下不改變值，但在g的所有別的置換下改變值。再用上述方法，依次尋找h1的最大子群h2，h2的最大子群h3，…於是得到h1,h2,…,hm，直到hm里的元素恰好是恆等變換（即hm為單位群i）。在得到一系列子群與逐次的預解式的同時，系數域r也隨之一步步擴大為r1,r2,…,rm，每個ri對應於群hi。當hm=i時，rm就是該方程的根域，其餘的r1,r2,…,rm-1是中間域。一個方程可否根式求解與根域的性質密切相關。例如，四次方程 x4+px2+q=0 (3)
p與q獨立，系數域r添加字母或未知數p、q到有理數中而得到的域，先計算出它的伽羅瓦群g，g是s(4)的一個8階子群，g={e，e1，e2，…e7}，其中

e=，e1=，e2=，e3=，e4=，e5=， e6=， e7=。

要把r擴充到r1，需在r中構造一個預解式，則預解式的根，添加到r中得到一個新域r1，於是可證明原方程（3）關於域r1的群是h1，h1={e，e1，e2，e3}，並發現預解式的次數等於子群h1在母群g中的指數8÷4=2（即指母群的階除以子群的階）。第二步，構造第二個預解式，解出根 ，於是在域r1中添加得到域r2，同樣找出方程（3）在r2中的群h2，h2={e，e1}，此時，第二個預解式的次數也等於群h2在h1中的指數4÷2=2。第三步，構造第三個預解式，得它的根 ，把添加到r2中得擴域r3，此時方程（3）在r3中的群為h3，h3={e}，即h3=i，則r3是方程（3）的根域，且該預解式的次數仍等於群h3在h2中的指數2÷1=2。在這個特殊的四次方程中，系數域到根域的擴域過程中每次添加的都是根式，則方程可用根式解。這種可解理論對於一般的高次方程也同樣適用，只要滿足系數域到根域的擴域過程中每次都是添加根式，那麼一般的高次方程也能用根式求解。
現仍以四次方程（3）為例，伽羅瓦從中發現了這些預解式實質上是一個二次的二項方程，既然可解原理對高次方程也適用，那麼對於能用根式求解的一般高次方程，它的預解式方程組必定存在，並且所有的預解式都應是一個素數次p的二項方程xp=a。由於高斯早已證明二項方程是可用根式求解的。因此反之，如果任一高次方程所有的逐次預解式都是二項方程，則能用根式求解原方程。於是，伽羅瓦引出了根式求解原理，並且還引入了群論中的一個重要概念「正規子群」。
他是這樣給正規子群下定義的：設h是g的一個子群，如果對g中的每個g都有gh=hg，則稱h為g的一個正規子群，其中gh表示先實行置換g，然後再應用h的任一元素，即用g的任意元素g乘h的所有置換而得到的一個新置換集合。定義引入後，伽羅瓦證明了當作為約化方程的群(如由g 約化到h1)的預解式是一個二項方程xp=a (p為素數)時，則h1是g的一個正規子群。反之，若h1是g的正規子群，且指數為素數p，則相應的預解式一定是p次二項方程。他還定義了極大正規子群：如果一個有限群有正規子群，則必有一個子群，其階為這有限群中所有正規子群中的最大者，這個子群稱為有限群的極大正規子群。一個極大正規子群又有它自己的極大正規子群，這種序列可以逐次繼續下去。因而任何一個群都可生成一個極大正規子群序列。他還提出把一個群g生成的一個極大正規子群序列標記為g、h、i、j…, 則可以確定一系列的極大正規子群的合成因子[g/h]，[h/i]，[i/g]…。合成因子[g/h]=g的階數/ h的階數。對上面的四次方程(3)，h1是g的極大正規子群， h2是h1的極大正規子群，h3又是h2的極大正規子群，即對方程(3)的群g 生成了一個極大正規子群的序列g、h1、h2、h3。
隨著理論的不斷深入，伽羅瓦發現對於一個給定的方程，尋找它在伽羅瓦群及其極大不變子群序列完全是群論的事。因此，他完全用群論的方法去解決方程的可解性問題。最後，伽羅瓦提出了群論的另一個重要概念「可解群」。他稱具有下面條件的群為可解群：如果它所生成的全部極大正規合成因子都是質數。
根據伽羅瓦理論，如果伽羅瓦群生成的全部極大正規合成因子都是質數時，方程可用根式求解。若不全為質數，則不可用根式求解。由於引入了可解群，則可說成當且僅當一個方程系數域上的群是可解群時，該方程才可用根式求解。對上面的特殊四次方程(3)，它的[g/h]=8/4=2，[h1/h2]=2/1=2，2為質數，所以方程(3)是可用根式解的。再看一般的n次方程，當n=3時，有兩個二次預解式t2=a和t3=b，合成序列指數為2與3，它們是質數，因此一般三次方程可根式解。同理對n=4，有四個二次預解式，合成序列指數為2，3，2，2，於是一般四次方程也可根式求解。一般n次方程的伽羅瓦群是s(n)，s(n)的極大正規子群是a(n) (實際a(n)是由s(n)中的偶置換構成的一個子群。如果一個置換可表為偶數個這類置換之積，則叫偶置換。)，a(n)的元素個數為s(n)中的一半，且a(n)的極大正規子群是單位群i，因此[s(n)/a(n)]=n!/(n!/2)=2，[a(n)/i]=(n!/2)/1=n!/2， 2是質數，但當n ≥5時，n！/2不是質數，所以一般的高於四次的方程是不能用根式求解的。至此，伽羅瓦完全解決了方程的可解性問題。
順帶提一下，阿貝爾是從交換群入手考慮問題的，他的出發點與伽羅瓦不同，但他們的結果都是相同的，都為了證其為可解群，並且伽羅瓦還把阿貝爾方程進行了推廣，構造了一種現在稱之為伽羅瓦方程的方程，伽羅瓦方程的每個根都是其中兩個根的帶有系數域中系數的有理函數。
三.伽羅瓦群論的歷史貢獻
伽羅瓦創立群論是為了應用於方程論，但他並不局限於此，而是把群論進行了推廣，作用於其他研究領域。可惜的是，伽羅瓦群論的理論畢竟太深奧，對十九世紀初的人們來說是很難理解的，連當時的數學大師都不能理解他的數學思想和他的工作的實質，以至他的論文得不到發表。更不幸的是伽羅瓦在二十一歲時便因一場愚蠢的決斗而早逝，我們不得不為這位天才感到惋惜。到十九世紀六十年代，他的理論才終於為人們所理解和接受。
伽羅瓦群理論被公認為十九世紀最傑出的數學成就之一。他給方程可解性問題提供了全面而透徹的解答，解決了困擾數學家們長達數百年之久的問題。伽羅瓦群論還給出了判斷幾何圖形能否用直尺和圓規作圖的一般判別法，圓滿解決了三等分任意角或倍立方體的問題都是不可解的。最重要的是，群論開辟了全新的研究領域，以結構研究代替計算，把從偏重計算研究的思維方式轉變為用結構觀念研究的思維方式，並把數學運算歸類，使群論迅速發展成為一門嶄新的數學分支，對近世代數的形成和發展產生了巨大影響。同時這種理論對於物理學、化學的發展，甚至對於二十世紀結構主義哲學的產生和發展都發生了巨大的影響。

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⑸ 群論是干什麼的

抽象代數一般沒什麼直接作用，倒是物理學用得比較多。群的重點是集合上的運算，圖，特別是有向圖可以通過類似「向量連接」的方式組成群，許許多多常用的結構都是群，比如整數加群，乘法群等，用群的觀點可以看得更本質，注意力集中在代數結構上而非集合元素上，就好像用拓撲的觀點看幾何圖形一樣。

⑹ 什麼是群論群論研究的是什麼請講一下群論的基礎知識。

在數學和抽象代數中，群論研究名為群的代數結構。群在抽象代數中具有基本的重要地位：許多代數結構，包括環、域和模等可以看作是在群的基礎上添加新的運算和公理而形成的。群的概念在數學的許多分支都有出現，而且群論的研究方法也對抽象代數的其它分支有重要影響。群論的重要性還體現在物理學和化學的研究中，因為許多不同的物理結構，如晶體結構和氫原子結構可以用群論方法來進行建模。於是群論和相關的群表示論在物理學和化學中有大量的應用。

⑺ 群論講什麼通俗一點

什麼是群論
群論一般說來，群指的是滿足以下四個條件的一組元素的集合：（1）封閉性 （2）結合律成立 （3）單位元存在 （4）逆元存在。群論是法國傳奇式人物Golois的發明。他用該理論解決了五次方程問題。今天，群論經常應用於物理領域。粗略地說，我們經常用群論來研究對稱性，這些對稱性能夠反映出在某種變化下的某些變化量的性質。
在物理上，置換群是很重要的一類群。置換群包括S3群，二維旋轉群，三維旋轉群以及和反應四維時空相對應的洛侖茲群。洛侖茲群加上四維變換就構成了Poincare群。
在研究群時，使用表象而非群元是較方便的，因為群元一般來說都是抽象的事物。表象可以看成矩陣，而矩陣具有和群元相同的性質。不可約表象和單位表象是表象理論中的重要概念。

人們在尋找五次方程的解法中，一個新的數學分支--群論誕生了！
伽羅瓦是第一個使用群的系統地研究群的數學家。他在19歲時，就使用群的思想解次了五次方程的問題。
伽羅瓦1811年10月26日出生在法國巴黎一個小市鎮上，他小時候和高斯正好相反，根本沒有人認為他是"神童"。他的教師曾說伽羅瓦"沒有智慧，不然就是把智慧藏得太深了，我沒法去發現。"有的教師乾脆說："伽羅瓦什麼也不懂。"其實伽羅瓦在中學時代就對數學表現了非凡的天賦。他從16歲起就致力於五次方程各五次以上方程的根式解法的研究。教科書滿足不了人求知的慾望，他就直接深入學習和了解數學專著。前輩數學家勒讓德的《幾何原理》，拉格朗日的《論方程的代數解法》、《解析函數論》，歐拉和高斯等數學大師的著作使他樂而忘返。尤其是對同輩挪威數學家阿貝爾成果的研究，更直接影響了伽羅瓦群論思想的產生。阿貝爾是一位富於創造才能的數學家，當他還是中學生時就開始著手探討高次方程的可解性問題。但命運不濟，他寫的關於橢圓函數的論文被巴黎科學院打入了冷宮，阿貝爾並沒有放棄，終於又在不久以後發表論文證明了一般五次以上的代數方程，它們的根式解法是不存在的，只有某些特殊的五次以上的方程，可以用根式解法。阿貝爾的成果轟動了世界，使延續了3個世紀的五次方程難題解決了。但由於過於勞累，年僅278歲的阿貝爾就在貧病交加中逝世了。同時，也留下了問題給世人，究竟哪些方程可用根式解，哪些不能？完成這個艱巨任務的就是伽羅瓦。
伽羅瓦17歲開始研究方程可解性問題，提出群的用於處理可解性問題，獲得了重大成果。但他性格倔強，比阿貝爾更加生不逢時，3次把研究論文交法國科學院審查，都未能得到及時的肯定。不僅如此，由於伽羅致詞熱烈支持和參與法國"七月革命"，人在進入巴黎高等師范學校的第一年就被開除學籍；之後又兩次被抓進監獄，獲釋後的一個月，1832年5月31日，在和反動軍官的決斗中，伽羅瓦被擊中要害，第二天--1832年5月31日早晨，一顆數學新星殞落了。死時還不滿21歲，決斗前夕，伽羅瓦把他的研究工作寫成信件，托朋友轉交《網路評論》雜志。
然而不幸的是，伽羅瓦的群論思想由於超越時代太遠而未及時地被人們理解和接受，以致埋沒了10年多，幸好手稿保存下來。1843年9月，法國數學家劉維爾重新整理了伽羅瓦的數學手稿，向法國科學院作了報告，並於1846年，在他自己辦的數學雜志上發表了它，這才引起了數學界的注意。
數學家們在伽羅瓦群論思想的基礎上，開始追蹤、研究和發展，逐漸開創了一個新的數學分支--抽象代數學。它包括群論、環論域論、布爾代數等。
伽羅瓦是不幸的，生前他沒有得到他應有的榮譽和地位。但人那顆被冷遇的倍愛創傷的心，卻始終充滿著對未來的熱情、期待和對追求。

⑻ 群論和群理論有區別嗎群論的主要內容是什麼

我們知道群論是數學的一個重要分支，它在很多學科都有重要的應用，例如在物理中的應用，群論是量子力學的基礎。本課程的目的是為了使學生對群論的基本理論有感性的認識和理性的了解。本課程介紹群論的基本理論及某些應用。 主要內容有：首先介紹群、子群、 群同構的概念及有關性質，這是了解群的第一步。然後較為詳細地討論了兩類最常見的群：循環群與置換群，包括一些例題和練習，可以熟悉群的運算和性質， 加深對群的理解。並且介紹置換群的某些應用。

然後對群論中某些重要的概念作專題討論。首先定義並討論群的子集的運算；由群的子集的運算，引出並討論了子群的陪集的概念與性質。定義並討論了正規子群與商群的概念與性質。藉助於商群的概念證明了群同態基本定理， 從而對群的同態象作出了系統的描述。這部分內容是群論中最基本的內容，是任何一個希望學習群論的讀者所必須掌握的。並且給出群的直積的概念，這是研究群的結構不可缺少的工具。

最後是群表示論的基本理論及應用，包括矢量空間與函數空間，矩陣的秩與直積，不變子空間與可約表示、shur 引理、正交理論、特徵標、正規函數、基函數、表示的直積等的概念。

在群的表示理論之後，就是它在量子力學中的應用，例如從群論的角度解決一些量子力學問題，主要包括哈密頓算符的對稱性，距陣元定理和選擇定則。從而達到了解群論的基礎知識以及有限群的表示理論，為群論在物理學中的應用打下基礎的目的。

Group theory is one of the great simplifying and unifying ideas in modern mathematics, and it has important applications in many scientific fields. For example, group theory is the ground of Quantum Mechanics. It was introced in order to understand the solutions to polynomial equations, but only in the last one hundred years has its full significance, as a mathematical formulation of symmetry, been understood. It plays a role in our understanding of fundamental particles, the structure of crystal lattices and the geometry of molecules. In this unit we will study the simple axioms satisfied by groups and begin to develop basic group theory in an axiomatic way. The aim of the course is to introce students to the concept of groups, the notion of an axiomatic system through the example of group theory, to investigate elementary properties of groups, to illustrate these with a number of important examples, such as general linear groups and symmetric groups.

We give the necessary notations and basic definitions that we use throughout the thesis. First the concept of subclass is defined and discussed, the concept of the coset, the problems group factorization, coset. intersection, and double coset member for the subclass, etc. The content of this part is the most basic content and is necessary to learn for students.

An important tool for the study of groups (particularly finite groups and with compact groups) is representation theory. Broadly speaking, this asks for possible ways to view a group as a permutation group or a linear group. A number of attractive areas of representation theory link representations of a group with those of its subgroups, especially normal subgroups, algebraic subgroups, and local subgroups. Representation theory also considers images of groups in the automorphism groups of other abelian groups than simply complex vector spaces; these then are the group moles. (This is a somewhat more flexible setting than abstract group theory, since we move into an additive category); molar representation theory studies the case in which the moles are vector spaces over fields with positive characteristic.

At last, the course is on the application of group theory to Quantum Mechanics. We consider a symmetry operation of the system. Symmetry operation transform to the Hamilton operator symmetry, which is associated with the representation matrix. So there is matrix element theorem, and theory choice.

方程論是古典代數的中心課題。直到19世紀中葉，代數仍是一門以方程式論為中心的數學學科，代數方程的求解問題依然是代數的基本問題，特別是用根式求解方程。所謂方程有根式解（代數可解），就是這個方程的解由該方程的系數經過有限次加減乘除以及開整數次方等運算表示出來的。群論也就是起源於對代數方程的研究，它是人們對代數方程求解問題邏輯考察的結果。本文正是從方程論的發展入手，闡述伽羅瓦群論的產生過程，及其伽羅瓦理論的實質。

一. 伽羅瓦群論產生的歷史背景

從方程的根式解法發展過程來看，早在古巴比倫數學和印度數學的記載中，他們就能夠用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，給出的解相當於+，，這是對系數函數求平方根。接著古希臘人和古東方人又解決了某些特殊的三次數字方程，但沒有得到三次方程的一般解法。這個問題直到文藝復興的極盛期（即16世紀初）才由義大利人解決。他們對一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根x= +，其中p=ba2，q=a3，顯然它是由系數的函數開三次方所得。同一時期，義大利人費爾拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系數的函數開四次方所得。

用根式求解四次或四次以下方程的問題在16世紀已獲得圓滿解決，但是在以後的幾個世紀里，探尋五次和五次以上方程的一般公式解法卻一直沒有得到結果。1770年前後，法國數學家拉格朗日轉變代數的思維方法，提出方程根的排列與置換理論是解代數方程的關鍵所在，並利用拉格朗日預解式方法，即利用1的任意n次單位根（n=1）引進了預解式x1+x2+2x3+…+n-1xn，詳細分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促進了代數方程論的進步。但是他的這種方法卻不能對一般五次方程作根式解，於是他懷疑五次方程無根式解。並且他在尋求一般n次方程的代數解法時也遭失敗，從而認識到一般的四次以上代數方程不可能有根式解。他的這種思維方法和研究根的置換方法給後人以啟示。

1799年，魯菲尼證明了五次以上方程的預解式不可能是四次以下的，從而轉證五次以上方程是不可用根式求解的，但他的證明不完善。同年，德國數學家高斯開辟了一個新方法，在證明代數基本理論時，他不去計算一個根，而是證明它的存在。隨後，他又著手探討高次方程的具體解法。在1801年，他解決了分圓方程xp-1=0（p為質數）可用根式求解，這表明並非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程還是部分高次方程的問題需進一步查明。

隨後，挪威數學家阿貝爾開始解決這個問題。1824年到1826年，阿貝爾著手考察可用根式求解的方程的根具有什麼性質，於是他修正了魯菲尼證明中的缺陷，嚴格證明：如果一個方程可以根式求解，則出現在根的表達式中的每個根式都可表示成方程的根和某些單位根的有理數。並且利用這個定理又證明出了阿貝爾定理：一般高於四次的方程不可能代數地求解。接著他進一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的問題。在高斯分圓方程可解性理論的基礎上，他解決了任意次的一類特殊方程的可解性問題，發現這類特殊方程的特點是一個方程的全部根都是其中一個根（假設為x）的有理函數，並且任意兩個根Q1(x)與Q2(x)滿足Q1Q2(x)=Q2Q1(x)，Q1，Q2為有理函數。現在稱這種方程為阿貝爾方程。其實在對阿貝爾方程的研究中已經涉及到了群的一些思想和特殊結果，只是阿貝爾沒能意識到，也沒有明確地構造方程根的置換集合（因為若方程所有的根都用根x1來表示成有理函數Qj(x1)，j=1,2,3,…,n，當用另一個根xI代替x1時，其中1〈I≤n ，那麼Qj(xI)是以不同順序排列的原方程的根，j=1,2,…,n。實際上應說根xI=Q1(xI),Q2(xI),…,Qn(xI)是根x1,x2,…,xn的一個置換），而僅僅考慮可交換性Q1Q2(x)=Q2Q1(x)來證明方程只要滿足這種性質，便可簡化為低次的輔助方程，輔助方程可依次用根式求解。

阿貝爾解決了構造任意次數的代數可解的方程的問題，卻沒能解決判定已知方程是否可用根式求解的問題。法國數學家伽羅瓦正是處在這樣的背景下，開始接手阿貝爾未競的事業。

二.伽羅瓦創建群理論的工作

伽羅瓦仔細研究了前人的理論，特別是拉格朗日、魯菲尼、高斯、阿貝爾等人的著作，開始研究多項式方程的可解性理論，他並不急於尋求解高次方程的方法，而是將重心放在判定已知的方程是否有根式解。如果有，也不去追究該方程的根究竟是怎樣的，只需證明有根式解存在即可。

1.伽羅瓦群論的創建

伽羅瓦在證明不存在一個五次或高於五次的方程的一般根式解法時，與拉格朗日相同，也從方程根的置換入手。當他系統地研究了方程根的排列置換性質後，提出了一些確定的准則以判定一個已知方程的解是否能通過根式找到，然而這些方法恰好導致他去考慮一種稱之為「群」的元素集合的抽象代數理論。在1831年的論文中，伽羅瓦首次提出了「群」這一術語，把具有封閉性的置換的集合稱為群，首次定義了置換群的概念。他認為了解置換群是解決方程理論的關鍵，方程是一個其對稱性可用群的性質描述的系統。他從此開始把方程論問題轉化為群論的問題來解決，直接研究群論。他引入了不少有關群論的新概念，從而也產生了他自己的伽羅瓦群論，因此後人都稱他為群論的創始人。

對有理系數的n次方程

x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1） ，

假設它的n個根x1,x2,…,xn的每一個變換叫做一個置換，n個根共有n!個可能的置換，它們的集合關於置換的乘法構成一個群，是根的置換群。方程的可解性可以在根的置換群的某些性質中有所反映，於是伽羅瓦把代數方程可解性問題轉化為與相關的置換群及其子群性質的分析問題。現在把與方程聯系起的置換群（它表現了方程的對稱性質）稱為伽羅瓦群，它是在某方程系數域中的群。一個方程的伽羅瓦群是對於每一個其函數值為有理數的關於根的多項式函數都滿足這個要求的最大置換群，也可以說成對於任一個取有理數值的關於根的多項式函數，伽羅瓦群中的每個置換都使這函數的值不變。

2.伽羅瓦群論的實質

我們可以從伽羅瓦的工作過程中，逐步領悟伽羅瓦理論的精髓。首先分析一下他是怎樣在不知道方程根的情況下，構造伽羅瓦群的。仍然是對方程（1），設它的根x1,x2,…,xn中無重根，他構造了類似於拉格朗日預解式的關於x1,x2,…,xn的一次對稱多項式

△1=A1x1+A2x2+…+Anxn，

其中AI(I=1,2,3,…,n)不必是單位根，但它必是一些整數且使得n!個形如△1的一次式△1,△2,…,△n!各不相同，接著又構造了一個方程

=0 (2) ，

該方程的系數必定為有理數（可由對稱多項式定理證明），並且能夠分解為有理數域上的不可約多項式之積。設F(x)=是 的任意一個給定的m次的不可約因子，則方程(1)的伽羅瓦群是指n!個△I中的這m個排列的全體。同時他又由韋達定理

知伽羅瓦群也是一個對稱群，它完全體現了此方程的根的對稱性。但是計算一個已知方程的伽羅瓦群是有一定困難的，因此伽羅瓦的目的並不在於計算伽羅瓦群，而是證明：恆有這樣的n次方程存在，其伽羅瓦群是方程根的可能的最大置換群S(n)，S(n)是由n!個元素集合構成的，S(n)中的元素乘積實際上是指兩個置換之積。現在把S(n)中的元素個數稱為階，S(n)的階是n!。

伽羅瓦找出方程系數域中的伽羅瓦群G後，開始尋找它的最大子群H1，找到H1後用一套僅含有理運算的手續（即尋找預解式）來找到根的一個函數。的系數屬於方程的系數域R，並且在H1的置換下不改變值，但在G的所有別的置換下改變值。再用上述方法，依次尋找H1的最大子群H2，H2的最大子群H3，…於是得到H1,H2,…,Hm，直到Hm里的元素恰好是恆等變換（即Hm為單位群I）。在得到一系列子群與逐次的預解式的同時，系數域R也隨之一步步擴大為R1,R2,…,Rm，每個RI對應於群HI。當Hm=I時，Rm就是該方程的根域，其餘的R1,R2,…,Rm-1是中間域。一個方程可否根式求解與根域的性質密切相關。例如，四次方程

x4+px2+q=0 (3) ，

p與q獨立，系數域R添加字母或未知數p、q到有理數中而得到的域，先計算出它的伽羅瓦群G，G是S(4)的一個8階子群，G={E，E1，E2，…E7}，其中

E=，E1=，E2=，E3=，E4=，E5=， E6=， E7=。

要把R擴充到R1，需在R中構造一個預解式，則預解式的根，添加到R中得到一個新域R1，於是可證明原方程（3）關於域R1的群是H1，H1={E，E1，E2，E3}，並發現預解式的次數等於子群H1在母群G中的指數8÷4=2（即指母群的階除以子群的階）。第二步，構造第二個預解式，解出根 ，於是在域R1中添加得到域R2，同樣找出方程（3）在R2中的群H2，H2={E，E1}，此時，第二個預解式的次數也等於群H2在H1中的指數4÷2=2。第三步，構造第三個預解式，得它的根 ，把添加到R2中得擴域R3，此時方程（3）在R3中的群為H3，H3={E}，即H3=I，則R3是方程（3）的根域，且該預解式的次數仍等於群H3在H2中的指數2÷1=2。在這個特殊的四次方程中，系數域到根域的擴域過程中每次添加的都是根式，則方程可用根式解。這種可解理論對於一般的高次方程也同樣適用，只要滿足系數域到根域的擴域過程中每次都是添加根式，那麼一般的高次方程也能用根式求解。

現仍以四次方程（3）為例，伽羅瓦從中發現了這些預解式實質上是一個二次的二項方程，既然可解原理對高次方程也適用，那麼對於能用根式求解的一般高次方程，它的預解式方程組必定存在，並且所有的預解式都應是一個素數次p的二項方程xp=A。由於高斯早已證明二項方程是可用根式求解的。因此反之，如果任一高次方程所有的逐次預解式都是二項方程，則能用根式求解原方程。於是，伽羅瓦引出了根式求解原理，並且還引入了群論中的一個重要概念「正規子群」。

他是這樣給正規子群下定義的：設H是G的一個子群，如果對G中的每個g都有gH=Hg，則稱H為G的一個正規子群，其中gH表示先實行置換g，然後再應用H的任一元素，即用G的任意元素g乘H的所有置換而得到的一個新置換集合。定義引入後，伽羅瓦證明了當作為約化方程的群(如由G 約化到H1)的預解式是一個二項方程xp=A (p為素數)時，則H1是G的一個正規子群。反之，若H1是G的正規子群，且指數為素數p，則相應的預解式一定是p次二項方程。他還定義了極大正規子群：如果一個有限群有正規子群，則必有一個子群，其階為這有限群中所有正規子群中的最大者，這個子群稱為有限群的極大正規子群。一個極大正規子群又有它自己的極大正規子群，這種序列可以逐次繼續下去。因而任何一個群都可生成一個極大正規子群序列。他還提出把一個群G生成的一個極大正規子群序列標記為G、H、I、J…, 則可以確定一系列的極大正規子群的合成因子[G/H]，[H/I]，[I/G]…。合成因子[G/H]=G的階數/ H的階數。對上面的四次方程(3)，H1是G的極大正規子群， H2是H1的極大正規子群，H3又是H2的極大正規子群，即對方程(3)的群G 生成了一個極大正規子群的序列G、H1、H2、H3。

隨著理論的不斷深入，伽羅瓦發現對於一個給定的方程，尋找它在伽羅瓦群及其極大不變子群序列完全是群論的事。因此，他完全用群論的方法去解決方程的可解性問題。最後，伽羅瓦提出了群論的另一個重要概念「可解群」。他稱具有下面條件的群為可解群：如果它所生成的全部極大正規合成因子都是質數。

根據伽羅瓦理論，如果伽羅瓦群生成的全部極大正規合成因子都是質數時，方程可用根式求解。若不全為質數，則不可用根式求解。由於引入了可解群，則可說成當且僅當一個方程系數域上的群是可解群時，該方程才可用根式求解。對上面的特殊四次方程(3)，它的[G/H]=8/4=2，[H1/H2]=2/1=2，2為質數，所以方程(3)是可用根式解的。再看一般的n次方程，當n=3時，有兩個二次預解式t2=A和t3=B，合成序列指數為2與3，它們是質數，因此一般三次方程可根式解。同理對n=4，有四個二次預解式，合成序列指數為2，3，2，2，於是一般四次方程也可根式求解。一般n次方程的伽羅瓦群是s(n)，s(n)的極大正規子群是A(n) (實際A(n)是由s(n)中的偶置換構成的一個子群。如果一個置換可表為偶數個這類置換之積，則叫偶置換。)，A(n)的元素個數為s(n)中的一半，且A(n)的極大正規子群是單位群I，因此[s(n)/A(n)]=n!/(n!/2)=2，[A(n)/I]=(n!/2)/1=n!/2， 2是質數，但當n ≥5時，n！/2不是質數，所以一般的高於四次的方程是不能用根式求解的。至此，伽羅瓦完全解決了方程的可解性問題。

順帶提一下，阿貝爾是從交換群入手考慮問題的，他的出發點與伽羅瓦不同，但他們的結果都是相同的，都為了證其為可解群，並且伽羅瓦還把阿貝爾方程進行了推廣，構造了一種現在稱之為伽羅瓦方程的方程，伽羅瓦方程的每個根都是其中兩個根的帶有系數域中系數的有理函數。

四.伽羅瓦群論的歷史貢獻

伽羅瓦創立群論是為了應用於方程論，但他並不局限於此，而是把群論進行了推廣，作用於其他研究領域。可惜的是，伽羅瓦群論的理論畢竟太深奧，對十九世紀初的人們來說是很難理解的，連當時的數學大師都不能理解他的數學思想和他的工作的實質，以至他的論文得不到發表。更不幸的是伽羅瓦在二十一歲時便因一場愚蠢的決斗而早逝，我們不得不為這位天才感到惋惜。到十九世紀六十年代，他的理論才終於為人們所理解和接受。

伽羅瓦群理論被公認為十九世紀最傑出的數學成就之一。他給方程可解性問題提供了全面而透徹的解答，解決了困擾數學家們長達數百年之久的問題。伽羅瓦群論還給出了判斷幾何圖形能否用直尺和圓規作圖的一般判別法，圓滿解決了三等分任意角或倍立方體的問題都是不可解的。最重要的是，群論開辟了全新的研究領域，以結構研究代替計算，把從偏重計算研究的思維方式轉變為用結構觀念研究的思維方式，並把數學運算歸類，使群論迅速發展成為一門嶄新的數學分支，對近世代數的形成和發展產生了巨大影響。同時這種理論對於物理學、化學的發展，甚至對於二十世紀結構主義哲學的產生和發展都發生了巨大的影響。

參考文獻：

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⑼ 群論的歷史

群論是法國數學家伽羅瓦（Galois）的發明。他用該理論，具體來說是伽羅瓦群，解決了五次方程問題。在此之前柯西（Augustin-Louis Cauchy)，阿貝爾（Niels Henrik Abel）等人也對群論作出了貢獻。
最先產生的是n個文字的一些置換所構成的置換群，它是在研究當時代數學的中心問題即五次以上的一元多項式方程是否可用根式求解的問題時，經由J.-L.拉格朗日、P.魯菲尼、N.H.阿貝爾和E.伽羅瓦引入和發展，並有成效地用它徹底解決了這個中心問題。某個數域上一元n次多項式方程，它的根之間的某些置換所構成的置換群被定義作該方程的伽羅瓦群，1832年伽羅瓦證明了：一元 n次多項式方程能用根式求解的一個充分必要條件是該方程的伽羅瓦群為「可解群」（見有限群）。由於一般的一元n次方程的伽羅瓦群是n個文字的對稱群Sn，而當n≥5時Sn不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽羅瓦還引入了置換群的同構、正規子群等重要概念。應當指出，A.-L.柯西早在1815年就發表了有關置換群的第一篇論文，並在1844～1846年間對置換群又做了很多工作。至於置換群的系統知識和伽羅瓦用於方程理論的研究，由於伽羅瓦的原稿是他在決斗致死前夕趕寫成的，直到後來才在C.若爾當的名著「置換和代數方程專論」中得到很好的介紹和進一步的發展。置換群是最終產生和形成抽象群的第一個最主要的來源。
在數論中，拉格朗日和C.F.高斯研究過由具有同一判別式D的二次型類，即f=ax^2+2bxy+cy^2，其中a、b、с為整數，x、y 取整數值，且D=b^2-aс為固定值，對於兩個型的"復合"乘法，構成一個交換群。J.W.R.戴德金於1858年和L.克羅內克於1870年在其代數數論的研究中也引進了有限交換群以至有限群。這些是導致抽象群論產生的第二個主要來源。
在若爾當的專著影響下，（C.）F.克萊因於1872年在其著名的埃爾朗根綱領中指出，幾何的分類可以通過無限連續變換群來進行。克萊因和（J.-）H.龐加萊在對 "自守函數」的研究中曾用到其他類型的無限群（即離散群或不連續群）。在1870年前後，索菲斯·李開始研究連續變換群即解析變換李群，用來闡明微分方程的解，並將它們分類。這無限變換群的理論成為導致抽象群論產生的第三個主要來源。
A.凱萊於1849年、 1854年和 1878年發表的論文中已然提到接近有限抽象群的概念。F.G.弗羅貝尼烏斯於1879年和E.內托於1882年以及W.F.A.von迪克於 1882～1883年的工作也推進了這方面認識。19世紀80年代，綜合上述三個主要來源，數學家們終於成功地概括出抽象群論的公理系統，大約在1890年已得到公認。20世紀初，E.V.亨廷頓，E.H.莫爾，L.E.迪克森等都給出過抽象群的種種獨立公理系統，這些公理系統和現代的定義一致。
在1896～1911年期間，W.伯恩賽德的「有限群論」先後兩版，頗多增益。G.弗羅貝尼烏斯、W.伯恩賽德、I.舒爾建立起有限群的矩陣表示論後，有限群論已然形成。無限群論在20世紀初，也有專著，如1916年Ο.ю.施米特的著作。群論的發展導致20世紀30年代抽象代數學的興起。尤其是近30年來，有限群論取得了巨大的進展，1981年初，有限單群分類問題的完全解決是一個突出的成果。與此同時，無限群論也有快速的進展。
時至今日，群的概念已經普遍地被認為是數學及其許多應用中最基本的概念之一。它不但滲透到諸如幾何學、代數拓撲學、函數論、泛函分析及其他許多數學分支中而起著重要的作用，還形成了一些新學科如拓撲群、李群、代數群、算術群等，它們還具有與群結構相聯系的其他結構如拓撲、解析流形、代數簇等，並在結晶學、理論物理、量子化學以至（代數）編碼學、自動機理論等方面，都有重要的應用。作為推廣「群」的概念的產物：半群和幺半群理論及對計算機科學和對運算元理論的應用，也有很大的發展。群論的計算機方法和程序的研究，已在迅速地發展。
就科學內容而言，群論屬於數學范疇，在許多數學分支中都有它的應用。它還被廣泛用於物理、化學及工程科學等許多領域，尤其是物理學成為受惠最多的學科。從經典物理中對稱性和守恆律的研究到量子力學中角動量理論及動力學對稱性的探索再到同位旋、超荷和SU（3）對稱性在現代基本粒子物理中的應用等無不閃耀著群論思想的光輝。 粗略地說，我們經常用群論來研究對稱性，這些對稱性能夠反映出在某種變化下的某些變化量的性質。它也跟物理方程聯系在一起。基礎物理中常被提到的李群，就類似與伽羅瓦群被用來解代數方程，與微分方程的解密切相關。
在物理上，置換群是很重要的一類群。置換群包括S3群，二維旋轉群，三維旋轉群以及和四維時空相對應的洛侖茲群。洛侖茲群加上四維變換就構成了Poincare群。
另外，晶體學中早期的關於晶體的各種結構的問題中，也是靠群論中的費得洛夫群的研究給出了答案。群論指出，空間中互不相同的晶體結構只有確定的230種。
在研究群時，使用表象而非群元是較方便的，因為群元一般來說都是抽象的事物。表象可以看成矩陣，而矩陣具有和群元相同的性質。不可約表象和單位表象是表象理論中的重要概念。
在許多研究群論的數學家眼中，也即指在抽象群論中，數學家關心的是各元素間的運算關系，也即群的結構，而不管一個群的元素的具體含義是什麼。舉一個具體的例子，根據凱萊定理，任何一個群都同構於由群的元素組成的置換群。於是，特別是對研究有限群來說，研究置換群就是一個重要的問題了。