㈠ 格林公式的理解
格林公式把第二類曲面積分轉換為二重積分。
因為第二類曲線積分的積分路徑是有方向的，所以格林公式需要考慮正、反向，書上公式是在正向也就是逆時針方向條件下給出的。如果積分曲線的路徑是順時針方向，那麼最後結果得加個負號
㈡ 格林公式是什麼意思怎麼得來的
,格林公式 一元微積分學中最基本的公式 — 牛頓,萊布尼茲公式 表明:函數在區間上的定積分可通過原函數在這個區間的兩個端點處的值來表示. 無獨有偶,在平面區域上的二重積分也可以通過沿區域的邊界曲線上的曲線積分來表示,這便是我們要介紹的格林公式. 1,單連通區域的概念 設為平面區域,如果內任一閉曲線所圍的部分區域都屬於,則稱為平面單連通區域;否則稱為復連通區域. 通俗地講,單連通區域是不含"洞"(包括"點洞")與"裂縫"的區域. 2,區域的邊界曲線的正向規定 設是平面區域的邊界曲線,規定的正向為:當觀察者沿的這個方向行走時,內位於他附近的那一部分總在他的左邊. 簡言之:區域的邊界曲線之正向應適合條件,人沿曲線走,區域在左手. 3,格林公式 【定理】設閉區域由分段光滑的曲線圍成,函數及在上具有一階連續偏導數,則有 (1) 其中是的取正向的邊界曲線. 公式(1)叫做格林(green)公式. 【證明】先證 假定區域的形狀如下(用平行於軸的直線穿過區域,與區域邊界曲線的交點至多兩點) 易見,圖二所表示的區域是圖一所表示的區域的一種特殊情況,我們僅對圖一所表示的區域給予證明即可. 另一方面,據對坐標的曲線積分性質與計演算法有 因此 再假定穿過區域內部且平行於軸的直線與的的邊界曲線的交點至多是兩點,用類似的方法可證 綜合有 當區域的邊界曲線與穿過內部且平行於坐標軸( 軸或軸 )的任何直線的交點至多是兩點時,我們有 , 同時成立. 將兩式合並之後即得格林公式 注:若區域不滿足以上條件,即穿過區域內部且平行於坐標軸的直線與邊界曲線的交點超過兩點時,可在區域內引進一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個部分區域,使得每個部分區域適合上述條件,仍可證明格林公式成立. 格林公式溝通了二重積分與對坐標的曲線積分之間的聯系,因此其應用十分地廣泛. 若取,, ,則格林公式為 故區域的面積為 【例1】求星形線 所圍成的圖形面積. 解:當從變到時,點依逆時針方向描出了整個封閉曲線,故 【例2】設是任意一條分段光滑的閉曲線,證明 證明:這里 , 從而 這里是由所圍成的區域. 二,平面曲線積分與路徑無關的條件 1,對坐標的曲線積分與路徑無關的定義 【定義一】設是一個開區域, 函數,在內具有一階連續偏導數,如果對於內任意兩點,以及內從點到點的任意兩條曲線,,等式 恆成立,就稱曲線積分在內與路徑無關;否則,稱與路徑有關. 定義一還可換成下列等價的說法 若曲線積分與路徑無關, 那麼 即: 在區域內由所構成的閉合曲線上曲線積分為零.反過來,如果在區域內沿任意閉曲線的曲線積分為零,也可方便地導出在內的曲線積分與路徑無關. 【定義二】曲線積分在內與路徑無關是指,對於內任意一條閉曲線,恆有 . 2,曲線積分與路徑無關的條件 【定理】設開區域是一個單連通域, 函數,在內具有一階連續偏導數,則在內曲線積分與路徑無關的充分必要條件是等式 在內恆成立. 證明:先證充分性 在內任取一條閉曲線,因單連通,故閉曲線所圍成的區域全部在內.從而 在上恆成立. 由格林公式,有 依定義二,在內曲線積分與路徑無關. 再證必要性(採用反證法) 假設在內等式不恆成立,那麼內至少存在一點,使 不妨設 由於在內連續,在內存在一個以為圓心,半徑充分小的圓域,使得在上恆有 由格林公式及二重積分性質有 這里是的正向邊界曲線,是的面積. 這與內任意閉曲線上的曲線積分為零的條件相矛盾.故在內等式 應恆成立. 註明:定理所需要的兩個條件 缺一不可. 【反例】討論 ,其中是包圍原點的一條分段光滑曲線且正向是逆時針的. 這里 , 除去原點外,在所圍成的區域內存在,連續,且 . 在內,作一半徑充分小的圓周 在由與所圍成的復連通域內使用格林公式有 三,二元函數的全微分求積 若曲線積分在開區域內與路徑無關,那它僅與曲線的起點與終點的坐標有關.假設曲線的起點為,終點為,可用記號 或 來表示,而不需要明確地寫出積分路徑. 顯然,這一積分形式與定積分非常相似, 事實上,我們有下列重要定理 【定理一】設是一個單連通的開區域,函數,在內具有一階連續偏導數,且 ,則 是的單值函數,這里為內一固定點,且 亦即 【證明】依條件知,對內任意一條以點為起點,點為終點的曲線,曲線積分 與路徑無關,僅與的起點和終點的坐標有關,亦即, 確為點的單值函數. 下面證明 由於可以認為是從點沿內任何路徑到點的曲線積分,取如下路徑,有 類似地可證明 因此 【定理二】設是單連通的開區域,,在上具有一階連續偏導數,則在內為某一函數全微分的充要條件是 在內恆成立. 【證明】顯然,充分性就是定理一 下面證明必要性 若存在使得 ,則 由於,在 內連續, 則二階混合偏導數適合等式 從而 【定理三】設是一個單連通的開區域, 函數,在內具有一階連續偏導數, 若存在二元函數使得 則 其中,是內的任意兩點. 【證明】由定理1知,函數 適合 於是 或 因此(是某一常數 ) 即 而 這是因為由點沿任意內的路徑回到點構成一條封閉曲線,故 因此□ 【確定的全微分函數的方法】 因為,而右端的曲線積分與路徑無關,為了計算簡便,可取平行於坐標軸的直線段所連成的折線作為積分路徑(當然折線應完全屬於單連通區域). ------------------------------------------------------- 上面這個詞條無公式，無圖，完全不可能看得懂，本人附上詳細的格林公式及其證明的Word版，請自己下載觀看。 格林公式證明鏈接（Word版）： http://www.jyu.e.cn/shuxue/math/kecheng/course/shuxuefenxi/jiaoan/21/21_3.doc
㈢ 格林公式的歷史
一,格林公式
一元微積分學中最基本的公式 — 牛頓,萊布尼茲公式
表明:函數在區間上的定積分可通過原函數在這個區間的兩個端點處的值來表示.
無獨有偶,在平面區域上的二重積分也可以通過沿區域的邊界曲線上的曲線積分來表示,這便是我們要介紹的格林公式.
1,單連通區域的概念
設為平面區域,如果內任一閉曲線所圍的部分區域都屬於,則稱為平面單連通區域;否則稱為復連通區域.
通俗地講,單連通區域是不含"洞"(包括"點洞")與"裂縫"的區域.
2,區域的邊界曲線的正向規定
設是平面區域的邊界曲線,規定的正向為:當觀察者沿的這個方向行走時,內位於他附近的那一部分總在他的左邊.
簡言之:區域的邊界曲線之正向應適合條件,人沿曲線走,區域在左手.
3,格林公式
【定理】設閉區域由分段光滑的曲線圍成,函數及在上具有一階連續偏導數,則有
(1)
其中是的取正向的邊界曲線.
公式(1)叫做格林(green)公式.
【證明】先證
假定區域的形狀如下(用平行於軸的直線穿過區域,與區域邊界曲線的交點至多兩點)
易見,圖二所表示的區域是圖一所表示的區域的一種特殊情況,我們僅對圖一所表示的區域給予證明即可.
另一方面,據對坐標的曲線積分性質與計演算法有
因此
再假定穿過區域內部且平行於軸的直線與的的邊界曲線的交點至多是兩點,用類似的方法可證
綜合有
當區域的邊界曲線與穿過內部且平行於坐標軸( 軸或軸 )的任何直線的交點至多是兩點時,我們有
,
同時成立.
將兩式合並之後即得格林公式
注:若區域不滿足以上條件,即穿過區域內部且平行於坐標軸的直線與邊界曲線的交點超過兩點時,可在區域內引進一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個部分區域,使得每個部分區域適合上述條件,仍可證明格林公式成立.
格林公式溝通了二重積分與對坐標的曲線積分之間的聯系,因此其應用十分地廣泛.
若取,, ,則格林公式為
故區域的面積為
【例1】求星形線 所圍成的圖形面積.
解:當從變到時,點依逆時針方向描出了整個封閉曲線,故
【例2】設是任意一條分段光滑的閉曲線,證明
證明:這里 ,
從而
這里是由所圍成的區域.
二,平面曲線積分與路徑無關的條件
1,對坐標的曲線積分與路徑無關的定義
【定義一】設是一個開區域, 函數,在內具有一階連續偏導數,如果對於內任意兩點,以及內從點到點的任意兩條曲線,,等式
恆成立,就稱曲線積分在內與路徑無關;否則,稱與路徑有關.
定義一還可換成下列等價的說法
若曲線積分與路徑無關, 那麼
即: 在區域內由所構成的閉合曲線上曲線積分為零.反過來,如果在區域內沿任意閉曲線的曲線積分為零,也可方便地導出在內的曲線積分與路徑無關.
【定義二】曲線積分在內與路徑無關是指,對於內任意一條閉曲線,恆有
.
2,曲線積分與路徑無關的條件
【定理】設開區域是一個單連通域, 函數,在內具有一階連續偏導數,則在內曲線積分與路徑無關的充分必要條件是等式
在內恆成立.
證明:先證充分性
在內任取一條閉曲線,因單連通,故閉曲線所圍成的區域全部在內.從而 在上恆成立.
由格林公式,有
依定義二,在內曲線積分與路徑無關.
再證必要性(採用反證法)
假設在內等式不恆成立,那麼內至少存在一點,使
不妨設
由於在內連續,在內存在一個以為圓心,半徑充分小的圓域,使得在上恆有
由格林公式及二重積分性質有
這里是的正向邊界曲線,是的面積.
這與內任意閉曲線上的曲線積分為零的條件相矛盾.故在內等式
應恆成立.
註明:定理所需要的兩個條件
缺一不可.
【反例】討論 ,其中是包圍原點的一條分段光滑曲線且正向是逆時針的.
這里
,
除去原點外,在所圍成的區域內存在,連續,且 .
在內,作一半徑充分小的圓周
在由與所圍成的復連通域內使用格林公式有
三,二元函數的全微分求積
若曲線積分在開區域內與路徑無關,那它僅與曲線的起點與終點的坐標有關.假設曲線的起點為,終點為,可用記號
或
來表示,而不需要明確地寫出積分路徑.
顯然,這一積分形式與定積分非常相似, 事實上,我們有下列重要定理
【定理一】設是一個單連通的開區域,函數,在內具有一階連續偏導數,且 ,則
是的單值函數,這里為內一固定點,且
亦即
【證明】依條件知,對內任意一條以點為起點,點為終點的曲線,曲線積分 與路徑無關,僅與的起點和終點的坐標有關,亦即, 確為點的單值函數.
下面證明
由於可以認為是從點沿內任何路徑到點的曲線積分,取如下路徑,有
類似地可證明
因此
【定理二】設是單連通的開區域,,在上具有一階連續偏導數,則在內為某一函數全微分的充要條件是
在內恆成立.
【證明】顯然,充分性就是定理一
下面證明必要性
若存在使得 ,則
由於 ,在 內連續, 則二階混合偏導數適合等式
從而
【定理三】設是一個單連通的開區域, 函數,在內具有一階連續偏導數, 若存在二元函數使得
則
其中,是內的任意兩點.
【證明】由定理1知,函數
適合
於是 或
因此 (是某一常數 )
即
而
這是因為由點沿任意內的路徑回到點構成一條封閉曲線,故
因此 □
【確定的全微分函數的方法】
因為,而右端的曲線積分與路徑無關,為了計算簡便,可取平行於坐標軸的直線段所連成的折線作為積分路徑(當然折線應完全屬於單連通區域).
㈣ 格林公式的含義是什麼 怎麼理解
1.格林公式的含義是：平面區域 上的二重積分也可以通過沿區域的邊界曲線上的曲線積分來表示，這便是格林公式。
2.格林公式的理解：P和Q組成了W，即一個水流流速圖。如果某個點水流的流速和周圍不是連續的，它就是一個出水口或者入水口，他的C-R方程值是流入流出水流的速度。
3.單連通區域的概念：設D為平面區域，如果D內任一閉曲線所圍的部分區域都屬於D，則D稱為平面單連通區域；否則稱為復連通區域。
4.區域的邊界曲線的正向規定：設 是平面區域的邊界曲線，規定的正向為：當觀察者沿的這個方向行走時，平面區域(也就是上面的D)內位於他附近的那一部分總在他的左邊。
㈤ 求 格林公式的緒論 是要介紹格林公式的，不是格林這個人的。
一、格林公式
牛頓—萊布尼茲公式 表示： 在區間 上的定積分可以通過它的原函數 在這個區間端點的值來表達．而格林公式表示：在平面區域 上的二重積分可以通過沿閉區域 的邊界曲線 的曲線積分來表達．這樣，牛頓——萊布尼茲公式成為格林公式的特殊情形．
平面單連通域的概念．設 為平面區域，如果 內任一閉曲線所圍的部分都屬於 ，則稱 為平面單連通區域，否則稱為復連通區域．
例如：平面上的圓形區域 ，上半平面 都是單連通區域，圓環形區域 都是復連通區域．
對平面區域 的邊界曲線 ，規定 的正向如下：當觀察者沿 的方向行走時， 總在他的左邊．例如 是邊界曲線 及 所圍成的復連通域(圖8)，作為 的正向邊界， 的正向是逆時針方向，而 的正向是順時針方向．
定理1 設閉區域 由分段光滑的曲線 圍成，函數 及 在 上具有一階連續偏導數，則有
, (1)
其中 是 的取正向的邊界曲線．公式(1)叫做格林公式．
㈥ 這個格林公式怎麼來的
等式中間那裡有個二重積分哈，兩個積分號看見沒有？二重積分的被積函數不就是1嗎。說明代表面積。公式最右邊，格林公式說明了這個積分又可以用這個曲線積分描述，所以它的意義就是用曲線積分計算圍線的面積咯。
：）
㈦ 格林公式是什麼
知道了牛頓-萊布尼茲的定積分公式，就可以引申到格林公式。
從最簡單的解釋就是：牛頓-萊布尼茲公式是一維的，而格林公式是二維的（重積分）。
㈧ 關於高斯公式、格林公式、斯托克斯公式三者的關系
首先要知道三個公式的區別了
格林公式研究的是把平面第二類曲線積分轉化為二重積分來做，但是要注意正方向的選取，以及平面單連通和平面復連通，有時需要取輔助線構成封閉曲線的，但是要計算輔助曲線的曲線積分，因為此時的格林公式值是由兩條曲線疊加後產生的，這個很重要，因為積分與路徑無關都要涉及到平面復連通和單連通的計算……
斯托克斯公式就是格林公式在空間內的推廣，既然格林公式研究的是平面內的第二類曲線積分，那麼斯托克斯公式研究的就是空間內的第二類曲線積分，要知道邊界曲線正方向和曲面正方向成右手定則關系的……區分什麼是空間線單連通，什麼是空間面單連通，這個考試不考，但是很重要，空心球的模型和圓環模型要注意區別了，把這兩個弄懂了就好了
高斯公式就是把第二類曲面積分轉化成三重積分來做了，但是要注意正方向的選取，是取邊界曲面外法線方向，從物理上說，就是流量從內向外……
這3個公式在運用之前，有時要代換的，就是把曲線方程或者是曲面方程帶入被積函數，達到化簡計算的目的，但這只是對於一種曲面的情況，因為被積函數上的每一個點都在曲面、曲線方程上，可帶入，對於多個曲面、曲線構成的分片或者分段的邊界，不可以帶入，因為不是每一個被積函數的點都滿足曲面、曲線方程，這時曲面、曲線方程有很多的，有的點滿足這個，有的點滿足那個，不一定，所以不能帶入……另外通過公式化成二重積分和三重積分後也不能帶入，因為此時不是曲線積分或者曲面積分的題目了，轉變為普通的二三重積分了，帶入肯定出錯的……
希望寫的對你要幫助……
㈨ 格林公式是什麼如題，格林公式的意義是什麼
高斯公式和、格林公式在現實中還可以容易的找到例子 但是斯托克斯公式就是解決物理問題的理論因為你要知道 很多數學知識都是從物理學科中抽象出來的 當初正是為了解決物理問題才提出的這個公式 所以從現實的日常生活中根本找不到例子只要知道 可以通過這個公式 用曲線積分求解曲面積分即可不要太苛求了就好希望幫到你 有問題歡迎補充
㈩ 格林公式是什麼
在物理學與數學中， 格林定理連結了一個封閉曲線上的線積分與一個邊界為�6�5C�6�5且平面區域為�6�5D�6�5的雙重積分。 格林定理是斯托克斯定理的二維特例，以英國數學家喬治·格林（George Green）命名。設閉區域D由分段光滑的曲線�6�5L�6�5圍成，函數�6�5P(x,y)及�6�5Q(x,y)在�6�5D�6�5上具有一階連續偏導數，則有其中L是D的取正向的邊界曲線。格林公式還可以用來計算平面圖形的面積。此公式叫做格林公式，它給出了沿著閉曲線C的曲線積分與C所包圍的區域D上的二重積分之間的關系。另見格林第一公式、格林第二公式。p好q是�6�5P(x,y)及�6�5Q(x,y)在�6�5D�6�5上具有一階連續偏導數